シフト定理

数学において、（指数）シフト定理は、多項式微分演算子（D演算子）と指数関数に関する定理です。これにより、特定のケースで、 D演算子の下から指数関数を消去することができます。

定理は、P ( D )がD演算子の多項式である場合、十分に微分可能な任意の関数yに対して、

${\displaystyle P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.}$

結果を証明するには、帰納法で進めます。特別な場合のみ

${\displaystyle P(D)=D^{n}}$

一般的な結果はD演算子 の線形性によって導かれるので、証明する必要があります。

この結果はn = 1の場合 に明らかに正しい。

${\displaystyle D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.}$

ここで、 n  =  kの場合に結果が真であると仮定します。つまり、

${\displaystyle D^{k}(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^{k}y.}$

それから、

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{k+1}(e^{ax}y)&\equiv {\frac {d}{dx}}\left\{e^{ax}\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}{\frac {d}{dx}}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}+ae^{ax}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}\left\{\left({\frac {d}{dx}}+a\right)\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}(D+a)^{k+1}y.\end{aligned}}}$

これで証明は完了です。

シフト定理は逆演算子にも同様に適用できます。

${\displaystyle {\frac {1}{P(D)}}(e^{ax}y)=e^{ax}{\frac {1}{P(D+a)}}y.}$

ラプラス変換（ ）のシフト定理に似たバージョンがあります： ${\displaystyle t<a}$

${\displaystyle e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{f(ta)\}.}$

指数関数シフト定理は、指数関数と別の関数の積で与えられる関数の高次導関数の計算を高速化するために使用できます。たとえば、の場合、 ${\displaystyle f(x)=\sin(x)e^{x}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}D^{3}f&=D^{3}(e^{x}\sin(x))=e^{x}(D+1)^{3}\sin(x)\\&=e^{x}\left(D^{3}+3D^{2}+3D+1\right)\sin(x)\\&=e^{x}\left(-\cos(x)-3\sin(x)+3\cos(x)+\sin(x)\right)\end{aligned}}}$$

指数シフト定理のもう一つの応用は、特性多項式が重根を持つ線形微分方程式を解くことである。 ^[1]

• モリス、テネンバウム、ポラード、ハリー（1985年）。『常微分方程式：数学、工学、科学を学ぶ学生のための初等教科書』ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 0486649407. OCLC  12188701.