アナイアレーター法

数学において、消滅法は、特定の種類の非同次常微分方程式(ODE)の特殊解を求めるために用いられる手順である。 ^{[ 1 ]} これは未定係数法に似ているが、未定係数法では特殊解を推測するのに対し、この手法では特殊解が体系的に決定される。未定係数という用語は、消滅法において係数を計算するステップを指す場合にも用いられる。

消滅法は次のように使用されます。常微分方程式が与えられた場合${\displaystyle P(D)y=f(x)}$別の微分演算子を見つける${\displaystyle A(D)}$そのため${\displaystyle A(D)f(x)=0}$この演算子は消滅演算子と呼ばれ、それがメソッド名にもなっています。${\displaystyle A(D)}$常微分方程式の両辺に を加えると、同次常微分方程式が得られる。${\displaystyle {\big (}A(D)P(D){\big )}y=0}$我々は、その解の基底を見つける。${\displaystyle \{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$これまでと同様です。次に、元の非斉次常微分方程式を使用して、線形結合の係数が常微分方程式を満たすように制限する連立方程式を構築します。

この方法は、消滅器が常に存在するとは限らないという意味で、パラメータ変動法ほど一般的ではない。

どこ${\displaystyle k}$自然数の中にあり、${\displaystyle k,b,a,c_{1},\cdots ,c_{k}}$実数です。

もし${\displaystyle f(x)}$表に示された式の合計から成り、消滅演算子は対応する消滅演算子の積です。

与えられた${\displaystyle y''-4y'+5y=\sin(kx)}$、${\displaystyle P(D)=D^{2}-4D+5}$最も単純な破壊者${\displaystyle \sin(kx)}$は${\displaystyle A(D)=D^{2}+k^{2}}$. のゼロ${\displaystyle A(z)P(z)}$は${\displaystyle \{2+i,2-i,ik,-ik\}}$なので、${\displaystyle A(D)P(D)}$は${\displaystyle \{y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\}=\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x},e^{ikx},e^{-ikx}\}.}$

設定${\displaystyle y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4}}$私たちは発見します

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(kx)&=P(D)y\\[8pt]&=P(D)(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4})\\[8pt]&=c_{1}P(D)y_{1}+c_{2}P(D)y_{2}+c_{3}P(D)y_{3}+c_{4}P(D)y_{4}\\[8pt]&=0+0+c_{3}(-k^{2}-4ik+5)y_{3}+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)y_{4}\\[8pt]&=c_{3}(-k^{2}-4ik+5)(\cos(kx)+i\sin(kx))+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)(\cos(kx)-i\sin(kx))\end{aligned}}}$

システムに

${\displaystyle i=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(-k^{2}+4ik+5)c_{4}}$

${\displaystyle 0=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(k^{2}-4ik-5)c_{4}}$

解決策がある

${\displaystyle c_{3}={\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}}$、${\displaystyle c_{4}={\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}}$

解集合を与える

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}y_{3}+{\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}y_{4}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)-(k^{2}-5)\sin(kx)}{(k^{2}+4ik-5)(k^{2}-4ik-5)}}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}.\end{aligned}}}$

この解は、均質部分と非均質部分に分解できます。具体的には、${\displaystyle y_{p}={\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}}$は非同次微分方程式の特殊積分であり、${\displaystyle y_{c}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}$は対応する同次方程式の補完解です。${\displaystyle c_{1}}$そして${\displaystyle c_{2}}$これらの値は通常、一連の初期条件によって決定されます。これは2階微分方程式であるため、これらの値を決定するには2つの初期条件が必要です。

根本的な解決策${\displaystyle y_{1}=e^{(2+i)x}}$そして${\displaystyle y_{2}=e^{(2-i)x}}$オイラーの公式を用いてさらに書き換えることができる。

${\displaystyle e^{(2+i)x}=e^{2x}e^{ix}=e^{2x}(\cos x+i\sin x)}$

${\displaystyle e^{(2-i)x}=e^{2x}e^{-ix}=e^{2x}(\cos x-i\sin x)}$

それから${\displaystyle c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{2x}(\cos x+i\sin x)+c_{2}e^{2x}(\cos x-i\sin x)=(c_{1}+c_{2})e^{2x}\cos x+i(c_{1}-c_{2})e^{2x}\sin x}$定数を適切に再割り当てすると、相補解のより単純で理解しやすい形式が得られます。${\displaystyle y_{c}=e^{2x}(c_{1}\cos x+c_{2}\sin x)}$。