指数応答式

数学において、指数応答公式(ERF) は、指数応答や複素置換とも呼ばれ、任意の次数の非同次線型常微分方程式の特殊解を求めるために使用される手法です。 ^{[1] [2]}指数応答公式は、関数が多項式、正弦関数、指数関数、またはこれら3つを組み合わせたものである場合、定数係数の非同次線型常微分方程式に適用できます。^[2]非同次線型常微分方程式の一般解は、関連する同次常微分方程式の一般解と非同次常微分方程式の特殊解の重ね合わせです。^[1] 高次の常微分方程式を解く別の方法として、未定係数法とパラメータ変分法があります。

非同次微分方程式の特定の解を求める ERF 法は、非同次方程式が の形に変形できるか、または変形できる場合に適用できます。ここで、は実数または複素数で、 は任意の次数の同次線形微分方程式です。次に、指数応答式をそのような方程式の右辺の各項に適用できます。線形性のため、右辺に項がある限り、指数応答式を適用できます。 これらの項は、重ね合わせの原理によって加算されます。${\displaystyle f(t)=B_{1}e^{\gamma _{1}t}+B_{2}e^{\gamma _{2}t}+\cdots +B_{n}e^{\gamma _{n}t}}$${\displaystyle B,\gamma }$${\displaystyle f(t)}$

複素置換は、方程式の非同次項を複素指数関数に変換する方法であり、これにより、与えられた微分方程式が複素指数関数になります。

微分方程式を考えてみましょう。 ${\displaystyle y''+y=\cos(t)}$

複雑な置換を行うには、オイラーの公式を使用できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(t)&=\operatorname {Re} (e^{it})=\operatorname {Re} (\cos(t)+i\sin(t))\\\sin(t)&=\operatorname {Im} (e^{it})=\operatorname {Im} (\cos(t)+i\sin(t))\end{aligned}}}$

したがって、与えられた微分方程式は に変わります。複素微分方程式の解は として求められ、その実部は元の方程式の解です。 ${\displaystyle z''+z=e^{it}}$${\displaystyle z(t)}$

複素置換は、非同次項が正弦関数または指数関数で表現され、微分および積分によって複素指数関数に変換できる場合に、微分方程式を解くために使用されます。このような複素指数関数は、元の関数よりも操作が簡単です。

非同次項が指数関数として表現される場合、ERF 法または未定係数法を使用して特定の解を見つけることができます。非同次項を複素指数関数に変換できない場合は、パラメータのラグランジュ変分法を使用して解を見つけることができます。

微分方程式は自然現象をシミュレートする上で重要です。特に、バネの振動、LRC回路、梁のたわみ、信号処理、制御理論、フィードバックループを備えたLTIシステムなど、高次線形微分方程式で記述される現象は数多くあります。^{[1] [3]}

数学的には、入力が応答を持つときはいつでも、任意の定数「a」に対して、入力が応答を持つ場合、システムは時間不変です。物理的には、時間不変とは、システムの応答が入力の開始時間に依存しないことを意味します。たとえば、バネ質量システムが平衡状態にある場合、力がいつ適用されたかに関係なく、与えられた力に対して同じように応答します。 ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle f(t-a)}$${\displaystyle x(t-a)}$

時間不変システムが線形でもある場合、それは線形時間不変システム (LTI システム) と呼ばれます。これらの LTI システムのほとんどは線形微分方程式から導出され、非同次項は入力信号と呼ばれ、非同次方程式の解は応答信号と呼ばれます。入力信号が指数的に与えられた場合、対応する応答信号も指数的に変化します。

次の次線形微分方程式 を考える${\displaystyle n}$

${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{0}y=f(t)\qquad \qquad \quad (1)}$

および示す

${\displaystyle L=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{1}D^{1}+a_{0}I,}$

${\displaystyle D^{k}={\frac {d^{k}}{dt^{k}}}(k=1,2,\ldots ,n),}$

ここで、 は定数係数であり、線形かつ時間不変でLTI 演算子として知られる微分演算子 を生成します。演算子 は、その特性多項式から得られます。 ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle P(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

ここで不定値を微分演算子で正式に置き換えると ${\displaystyle D}$

${\displaystyle L=P(D)}$

${\displaystyle P(D)=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{0}I}$

したがって、式（１）は次のように書ける。

${\displaystyle P(D)y=f(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)}$

上記のLTI微分方程式を指数入力 で考えると、と は与えられた数値です。すると、特定の解は次のようになります。 ${\displaystyle f(t)=Be^{\gamma t}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \gamma }$

それだけを提供します。 ${\displaystyle P(\gamma )\neq 0}$

証明:演算子の線形性により、方程式は次のように書ける。 ${\displaystyle P(D)}$

${\displaystyle P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)(e^{\gamma t})\qquad \qquad (3)}$

一方、

${\displaystyle P(D)\left(e^{\gamma t}\right)=P(\gamma )e^{\gamma t},}$

これを式（３）に代入すると、

${\displaystyle P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)\left(e^{\gamma t}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(\gamma )e^{\gamma t}=Be^{\gamma t}.}$

したがって、は非同次微分方程式の特殊解です。 ${\displaystyle y_{p}}$

したがって、特定の応答に対する上記の式は、与えられた指数入力に対する指数応答式 (ERF) と呼ばれます。 ${\displaystyle y_{p}}$

特に、 の場合、式（２）の解は次のように与えられる。 ${\displaystyle P(\gamma )=0}$

${\displaystyle y_{p}={\frac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}},\qquad P'(\gamma )\neq 0}$

これは共鳴応答式と呼ばれます。

2 次線形非同次 ODE の特殊解を見つけましょう。

${\displaystyle 2x''+x'+x=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t).}$

特性多項式は である。また、非同次項は次のように書ける。 ${\displaystyle P(s)=2s^{2}+s+1}$${\displaystyle f(t)=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t)}$

${\displaystyle f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)+f_{3}(t),f_{1}(t)=1,f_{2}(t)=2e^{t},f_{3}(t)=e^{-t}\cos(t).}$

すると、およびに対応する特定の解がそれぞれ見つかります。 ${\displaystyle f_{1}(t),f_{2}(t)}$${\displaystyle f_{3}(t)}$

まず、非同次項 を考えます。この場合、 および であるため、となります。 ${\displaystyle f_{1}(t)=1}$${\displaystyle f_{1}(t)=1=e^{0\cdot t},\gamma =0}$${\displaystyle P(\gamma )=P(0)=1\neq 0}$

ERF から、 に対応する特定の解を見つけることができます。 ${\displaystyle f_{1}(t)}$

${\displaystyle x_{1p}={\frac {f_{1}(t)}{P(0)}}={\frac {1}{1}}=1}$。

同様に、 に対応する特定の解を見つけることができます。 ${\displaystyle f_{2}(t)}$

${\displaystyle x_{2p}={\frac {f_{2}(t)}{P(1)}}={\frac {2e^{t}}{4}}={\frac {e^{t}}{2}}.}$

3番目の項に対応するDEの特定の解を見つけましょう。

${\displaystyle 2x''+x'+x=e^{-t}\cos(t).}$

これを実行するには、方程式を複素数値方程式に置き換える必要があります。複素数値方程式の実部は次のようになります。

${\displaystyle 2z''+z'+z=e^{(-1+i)t}.}$

指数関数的応答式（ERF）を適用すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{p}&={\frac {e^{(-1+i)t}}{P(-1+i)}}\\&={\frac {ie^{(-1+i)t}}{3}}&&P(-1+i)=2(-1+i)^{2}+(-1+i)+1=-3i\end{aligned}}}$

そして本当の部分は

${\displaystyle x_{3p}=-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).}$

したがって、与えられた方程式の特定の解は、 ${\displaystyle x_{p}}$

${\displaystyle x_{p}=x_{1p}+x_{2p}+x_{3p}=1+{\frac {e^{t}}{2}}-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).}$

未定係数法は、非同次項の形に応じて解の種類を適切に選択し、非同次方程式を満たすように未定定数を決定する方法である。^[4]一方、ERF法は微分演算子に基づいて特殊解を求める。^[2]両方法の類似点は、考慮する方程式の形がどちらの方法も同じであるにもかかわらず、定数係数を持つ非同次線型微分方程式の特殊解が得られることである。

たとえば、未定係数法で の特殊解を求めるには、特性方程式 を解く必要があります。次に、非同次項を考慮します。 は特性根 ではないため、 の形で特殊解が与えられます。ここで、は未定定数です。 を方程式に代入して仮定数を決定すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle y''+y=e^{t}}$${\displaystyle \lambda ^{2}+1=0,\lambda =\pm i}$${\displaystyle f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1}$${\displaystyle \gamma =1}$${\displaystyle y_{p}(t)=Ae^{\gamma t}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda ^{2}Ae^{\lambda t}+Ae^{\lambda t}=e^{\lambda t}}$

したがって

${\displaystyle A={\frac {1}{\lambda ^{2}+1}}.}$

特定の解は次の形式で見つけることができます: ^[5]

${\displaystyle y_{p}(t)=Ae^{\lambda t}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.}$

一方、指数応答式法では、特性多項式を求め、その後、非同次項を複素数で置き換えます。次に、式を使用して特定の解を求めます。 ${\displaystyle P(s)=s^{2}+1}$${\displaystyle f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1}$

${\displaystyle y_{p}(t)={\frac {e^{\lambda t}}{P(\lambda )}}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.}$

の場合、指数応答式法について説明しました。 の場合、共振応答式も考慮されます。 ${\displaystyle P(\gamma )\neq 0}$${\displaystyle P(\gamma )=0,P'(\gamma )\neq 0}$

の場合、このセクションでは ERF 法がどのように記述されるかについて説明します。 ${\displaystyle P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0,P^{k}(\gamma )\neq 0}$

を定数係数の多項式演算子とし、その- 次導関数とする。すると 常微分方程式は${\displaystyle P(D)}$${\displaystyle P^{(m)}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle P(D)y=Be^{\gamma t}}$、ここで は実数または複素数です。${\displaystyle \gamma }$

次のような特別な解があります。

• ${\displaystyle P(\gamma )\neq 0}$この場合、特定の解は次のように与えられます。(指数応答式)${\displaystyle y_{p}(t)={\tfrac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}}$

• ${\displaystyle P(\gamma )=0}$ しかし、この場合、特定の解は次のように与えられます。(共鳴応答式)${\displaystyle P'(\gamma )\neq 0}$${\displaystyle y_{p}(t)={\tfrac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}}}$

• ${\displaystyle P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0}$しかし、この場合、特定の解は次のように与えられる。${\displaystyle P^{k}(\gamma )\neq 0}$

上記の式は一般化指数応答式と呼ばれます。

次の ODE の特定の解を見つけます。

${\displaystyle y'''-3y'+2y=6e^{t}.}$

特性多項式は です。 ${\displaystyle P(s)=s^{3}-3s+2}$

計算すると次のようになります。

${\displaystyle P(1)=0,P'(1)=0,P''(1)=6\neq 0.}$

元の指数応答式は、ゼロ除算のため、この場合には適用できません。したがって、一般化された指数応答式と計算された定数を使用すると、特定の解は次のようになります。

${\displaystyle y_{p}(t)={\frac {6t^{2}e^{t}}{P''(1)}}={\frac {6t^{2}e^{t}}{6}}=t^{2}e^{t}.}$

変位を伴うバネからぶら下がっている物体。作用する力は、重力、バネ力、空気抵抗、およびその他の外力です。 ${\displaystyle d}$

フックの法則から、物体の運動方程式は次のように表される。^{[6] [4]}

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+r{\frac {dx}{dt}}+kx=F(t),}$

外力は どこにあるか。${\displaystyle F(t)}$

ここで、抗力は無視され、 と仮定します。ここで、（外力の周波数は固有周波数と一致します）。したがって、正弦波の強制項を持つ 調和振動子は次のように表されます。${\displaystyle F(t)=F_{0}\cos(\omega t)}$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=F(t).}$

そして、特定の解決策は

${\displaystyle x_{p}={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).}$

複素置換とERFの適用：複素DEの解である 場合${\displaystyle z_{p}}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+kz=F_{0}e^{i\omega t},}$

すると、与えられた DE の解が得られます。 ${\displaystyle x_{p}=\operatorname {Re} (z_{p})}$

特性多項式は、 、なのでとなる。しかし なのでとなる。したがって、ERF の共鳴ケースは次式となる。 ${\displaystyle P(s)=ms^{2}+k}$${\displaystyle \gamma =i\omega }$${\displaystyle P(\gamma )=0}$${\displaystyle P'(s)=2ms}$${\displaystyle P'(\gamma )=P'(i\omega )=2m\omega i\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{p}&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}te^{i\omega t}}{P'(\gamma )}}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}t(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))}{2mi\omega }}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {-F_{0}t(i\cos(\omega t)-\sin(\omega t))}{2m\omega }}\right)\\[4pt]&={\frac {F_{0}t\sin(\omega t)}{2m\omega }}\\[4pt]&={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).\end{aligned}}}$

抵抗（ ）、コンデンサ（）、コイル線（）、電池（ ）が直列に接続された電気回路を流れる電流を考えます。^{[3] [6]}${\displaystyle R}$${\displaystyle C}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$

このシステムは、キルヒホッフによって発見された積分微分方程式、キルヒホッフの電圧法則によって記述され、抵抗器、コンデンサ、インダクタ、電池、および回路内の 電流を次のように関連付けます。${\displaystyle R}$${\displaystyle C}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle LI'(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{t_{0}}^{t}I(s)\,ds=\int _{t_{0}}^{t}E(s)\,ds}$

上記の式の両辺を微分すると、次の常微分方程式が生成されます。

${\displaystyle LI''(t)+RI'(t)+{\frac {1}{C}}I(t)=E(t)}$

ここ で、 と仮定します。 (はLRC 回路の共振周波数と呼ばれます)。上記の仮定の下で、入力に対応する出力 (特定の解) を見つけることができます。これを行うには、与えられた入力を複素形式に変換します。 ${\displaystyle E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)}$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\tfrac {1}{LC}}}}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)=\operatorname {Im} (E_{0}e^{i\omega _{0}t})}$

特性多項式は であり、ここで である。したがって、ERF から、特定の解は次のように得られる。 ${\displaystyle P(s)=Ls^{2}+Rs+{\frac {1}{s}}}$${\displaystyle P(i\omega _{0})=i\omega _{0}R\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}{P(i\omega _{0})}}\right)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}{i\omega _{0}R}}\right)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {-E_{0}(i\cos(\omega _{0}t)-\sin(\omega _{0}t))}{\omega _{0}R}}\right)\\[4pt]&={\frac {-E_{0}\cos(\omega _{0}t)}{\omega _{0}R}}\end{aligned}}}$

一般的なLTIシステムを考慮すると

${\displaystyle P(D)x=Q(D)f(t)}$

ここで、 は入力であり、は多項式演算子が与えられ、 であると仮定します。 の場合、与えられた方程式の特定の解は ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle P(D),Q(D)}$${\displaystyle P(s)\neq 0}$${\displaystyle f(r)=F_{0}\cos(\omega t)}$

${\displaystyle x_{p}(t)=\operatorname {Re} \left(F_{0}{\frac {Q(i\omega )}{P(i\omega )}}e^{i\omega t}\right).}$

主に物理学と信号処理で使用される次の概念を考慮します。

• 入力の振幅は です。これは入力量と同じ単位を持ちます。${\displaystyle F_{0}}$
• 入力の角周波数は です。単位はラジアン/時間です。技術的には周波数の単位はサイクル/時間ですが、多くの場合、周波数と呼ばれます。${\displaystyle \omega }$
• 応答の振幅は です。これは応答量と同じ単位を持ちます。${\displaystyle A=F_{0}|Q(i\omega )/P(i\omega )|}$
• ゲインは です。ゲインは、応答の振幅を得るために入力振幅に掛けられる係数です。入力単位を出力単位に変換するために必要な単位があります。${\displaystyle g(\omega )=|Q(i\omega )/P(i\omega )|}$
• 位相遅れは です。位相遅れの単位はラジアンです。つまり、無次元です。${\displaystyle \phi =-\operatorname {Arg} (Q(i\omega )/P(i\omega ))}$
• 時間遅れは です。これは時間の単位を持ちます。これは、出力のピークが入力のピークより遅れる時間です。${\displaystyle \phi /\omega }$
• 複素ゲインは です。これは、複素出力を得るために複素入力に掛けられる係数です。${\displaystyle Q(i\omega )/P(i\omega )}$

• 演算子と指数応答式
• 一般化指数応答式