マグナス膨張

n × n  係数行列A ( t )が与えられたとき、線形常微分方程式に関連する初期値問題を解きたい。

${\displaystyle Y'(t)=A(t)Y(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0}}$

未知のn次元ベクトル関数Y ( t )について。

n  = 1の場合 、解は積積分として与えられる。

${\displaystyle Y(t)=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}A(s)\,ds\right)Y_{0}.}$

行列A ( t )が任意の t 、 t 1 および t 2 の値の組に対して A ( t 1 ) A ( t 2 ) = A ( t 2 ) A ( t 1 ) を満たす場合、 _n > 1_の場合でもこれは_有効です。特に、_行列Aがtに_依存しない場合に_この条件が満たされ ます。ただし、一般の場合、上記の式はもはや問題の解ではありません。 

マグナスが行列の初期値問題を解くために導入したアプローチは、あるn × n  行列関数 Ω( t , t ₀ )の指数関数を用いて解を表現することである。

${\displaystyle Y(t)=\exp {\big (}\Omega (t,t_{0}){\big )}\,Y_{0},}$

これはその後、級数展開として構築される。

${\displaystyle \Omega (t)=\sum _{k=1}^{\infty }\Omega _{k}(t),}$

ここで、簡略化のため、 Ω( t , t ₀ )をΩ( t )と表記し、 t ₀ = 0とするのが慣例である。  

マグナスは、⁠ d / dt ⁠ ( e ^Ω ) e ^−Ω = A ( t )であることから、ポアンカレ・ハウスドルフ行列恒等式を用いて、Ωの時間微分をベルヌーイ数の生成関数およびΩの随伴自己準同型と関連付けることができると理解した。

${\displaystyle \Omega '={\frac {\operatorname {ad} _{\Omega }}{\exp(\operatorname {ad} _{\Omega })-1}}A,}$

ΩをAに関して再帰的に解くために、 「BCH展開の連続アナログ」として、後続のセクションで概説します。

上記の式は、行列線形初期値問題の解法におけるマグナス展開、またはマグナス級数を構成する。この級数の最初の4項は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{1}(t)&=\int _{0}^{t}A(t_{1})\,dt_{1},\\\Omega _{2}(t)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\,[A(t_{1}),A(t_{2})],\\\Omega _{3}(t)&={\frac {1}{6}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int _{0}^{t_{2}}dt_{3}\,{\Bigl (}{\big [}A(t_{1}),[A(t_{2}),A(t_{3})]{\big ]}+{\big [}A(t_{3}),[A(t_{2}),A(t_{1})]{\big ]}{\Bigr )},\\\Omega _{4}(t)&={\frac {1}{12}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int _{0}^{t_{2}}dt_{3}\int _{0}^{t_{3}}dt_{4}\,\left({\Big [}{\big [}[A_{1},A_{2}],A_{3}{\big ]},A_{4}{\Big ]}\right.\\&\qquad +{\Big [}A_{1},{\big [}[A_{2},A_{3}],A_{4}{\big ]}{\Big ]}+{\Big [}A_{1},{\big [}A_{2},[A_{3},A_{4}]{\big ]}{\Big ]}+\left.{\Big [}A_{2},{\big [}A_{3},[A_{4},A_{1}]{\big ]}{\Big ]}\right),\end{aligned}}}$

ここで、[ A , B ] ≡ A B − B AはAとBの行列交換子です。

これらの式は次のように解釈できます。Ω ₁ ( t ) はスカラー( n  = 1 )の場合の指数と完全に一致しますが、この式だけでは完全な解を与えることはできません。指数表現 (リー群 )をどうしても使用したい場合は、指数を修正する必要があります。マグナス級数の残りの部分は、その修正を体系的に提供します。Ωまたはその一部は、解のリー群のリー代数に含まれます。

実際の応用では、マグナス級数を正確に合計することはほとんど不可能であり、近似解を得るためには級数を切り捨てる必要がある。マグナス提案の主な利点は、他の従来の摂動理論と同様に、切り捨てられた級数が厳密解と重要な定性的性質を共有することが多い点にある。例えば、古典力学では、時間発展のシンプレクティック性はあらゆる近似次数で保持される。同様に、量子力学における時間発展演算子のユニタリー性も保持される（例えば、同じ問題を解くダイソン級数とは対照的である）。

数学的な観点から見ると、収束問題は次のようになります。ある行列A ( t )が与えられたとき、指数 Ω( t )はいつマグナス級数の和として得られるのでしょうか？

この級数がt ∈ [0, T )で収束するための十分条件は

${\displaystyle \int _{0}^{T}\|A(s)\|_{2}\,ds<\pi ,}$

どこ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$は行列ノルムを表します。この結果は、任意のt > Tに対して級数が発散するような特定の行列A ( t )を構成できるという意味で一般的です。

マグナス展開のすべての項を生成する再帰的手順では、再帰的に定義された行列S _n ^{( k )を使用します。}

${\displaystyle S_{n}^{(j)}=\sum _{m=1}^{nj}\left[\Omega _{m},S_{nm}^{(j-1)}\right],\quad 2\leq j\leq n-1,}$

${\displaystyle S_{n}^{(1)}=\left[\Omega _{n-1},A\right],\quad S_{n}^{(n-1)}=\operatorname {ad} _{\Omega _{1}}^{n-1}(A),}$

そして、

${\displaystyle \Omega _{1}=\int _{0}^{t}A(\tau )\,d\tau ,}$

${\displaystyle \Omega _{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\int _{0}^{t}S_{n}^{(j)}(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2.}$

ここで、ad ^k _Ωは反復交換子の略記法です（随伴自己準同型を参照）。

${\displaystyle \operatorname {ad} _{\Omega }^{0}A=A,\quad \operatorname {ad} _{\Omega }^{k+1}A=[\Omega ,\operatorname {ad} _{\Omega }^{k}A],}$

B _jはベルヌーイ数であり、 B ₁ = −1/2である。

最後に、この漸化式を明示的に解くと、Ω _n ( t )をn個の行列Aを含むn − 1 個の入れ子になった交換子のn重積分の線形結合として表現することが可能になります。  

${\displaystyle \Omega _{n}(t)=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\sum _{k_{1}+\cdots +k_{j}=n-1 \atop k_{1}\geq 1,\ldots ,k_{j}\geq 1}\int _{0}^{t}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{1}}(\tau )}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{2}}(\tau )}\cdots \operatorname {ad} _{\Omega _{k_{j}}(\tau )}A(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2,}$

nが増えるにつれて、ますます複雑になります。

マグナス展開のすべての項に対する非再帰的な表現は、再帰の組み合わせ論を単一の積分に符号化することによっても定式化できる。これは、1969年にビアリニツキ＝ビルラ、ミエルニク、プレバンスキーによって発見された。^{[ 1 ]}初期値問題の反復解Y (t,t_0)は次のように記述できる。${\displaystyle Y(t,t_{0})=I+\sum _{n=1}^{\infty }\int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\dots \int _{t_{0}}^{t}A(t_{n})\theta _{n,n-1}dt_{1}A(t_{n-1})\dots \theta _{2,1}A(t_{1})\qquad \theta _{k,l}={\begin{cases}1,\quad t_{k}\geq t_{l}\\0,\quad t_{k}<t_{l}\end{cases}}}$次に、この表現を使用して、次の正準表現を導出できます。${\displaystyle \Omega _{n}}$関数を使用して${\displaystyle \Theta _{n}(t_{1},\dots ,t_{n})}$これは時間順序を数え、それによって展開の組み合わせ構造を符号化する。

${\displaystyle \Theta _{n}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\theta _{n,n-1}+\theta _{n-1,n-2}+\dots \theta _{2,1}}$

${\displaystyle \Omega _{n}={\frac {1}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\dots \int _{t_{0}}^{t}dt_{1}(-1)^{n-\Theta -1}\Theta$ !(n-\Theta -1)!A(t_{n})\cdots A(t_{1})}

この形式は、積分範囲が独立しており、任意の次数に対して閉じた形式であるため、多くの用途で有利です。^{[ 2 ] [ 3 ]}

確率的ケースへの拡張では、${\textstyle \left(W_{t}\right)_{t\in [0,T]}}$になる${\textstyle \mathbb {R} ^{q}}$次元ブラウン運動、${\textstyle q\in \mathbb {N} _{>0}}$確率空間において${\textstyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$ 有限の時間軸で${\textstyle T>0}$そして自然濾過。ここで、線形行列値確率伊藤微分方程式（添え字jに関するアインシュタインの総和規約付き）を考えます。

${\displaystyle dX_{t}=B_{t}X_{t}dt+A_{t}^{(j)}X_{t}dW_{t}^{j},\quad X_{0}=I_{d},\qquad d\in \mathbb {N} _{>0},}$

どこ${\textstyle B_{\cdot },A_{\cdot }^{(1)},\dots ,A_{\cdot }^{(j)}}$段階的に測定可能${\textstyle d\times d}$-値有界確率過程と${\textstyle I_{d}}$は単位行列である。確率的設定による変更を加えた決定論的ケースと同じアプローチに従うと^{[ 4 ]、}対応する行列対数は伊藤過程となり、その最初の2つの展開次数は次式で与えられる。${\textstyle Y_{t}^{(1)}=Y_{t}^{(1,0)}+Y_{t}^{(0,1)}}$そして${\textstyle Y_{t}^{(2)}=Y_{t}^{(2,0)}+Y_{t}^{(1,1)}+Y_{t}^{(0,2)}}$ここで、 iとjに関するアインシュタインの総和規約を用いる。

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{t}^{(0,0)}&=0,\\Y_{t}^{(1,0)}&=\int _{0}^{t}A_{s}^{(j)}\,dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,1)}&=\int _{0}^{t}B_{s}\,ds,\\Y_{t}^{(2,0)}&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\big (}A_{s}^{(j)}{\big )}^{2}\,ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}A_{r}^{(i)}\,dW_{r}^{i}{\Big ]}dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(1,1)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0}^{s}A_{r}^{(j)}\,dW_{r}{\Big ]}\,ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}B_{r}\,dr{\Big ]}\,dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,2)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0}^{s}B_{r}\,dr{\Big ]}\,ds.\end{aligned}}}$

確率的設定では、収束は停止時間によって制限される。${\textstyle \tau }$そして最初の収束結果は次のように与えられる：^{[ 5 ]}

係数に関する前述の仮定の下では、強い解が存在する。${\textstyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$厳密に正の停止時間も含む${\textstyle \tau \leq T}$すなわち、

1. ${\textstyle X_{t}}$実数対数を持つ${\textstyle Y_{t}}$時間まで${\textstyle \tau }$つまり

   ${\displaystyle X_{t}=e^{Y_{t}},\qquad 0\leq t<\tau$ ;}

2. 以下の表現が成り立つ${\textstyle \mathbb {P} }$-ほぼ確実に:

   ${\displaystyle Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)},\qquad 0\leq t<\tau ,}$

   どこ${\textstyle Y^{(n)}}$は、以下の「マグナス展開式」の項で定義される確率的マグナス展開におけるn番目の項です。

3. 正の定数Cが存在し、${\textstyle \|A^{(1)}\|_{T},\dots ,\|A^{(q)}\|_{T},\|B\|_{T},T,d}$、 と${\textstyle \|A_{\cdot }\|_{T}=\|\|A_{t}\|_{F}\|_{L^{\infty }(\Omega \times [0,T])}}$、したがって

   ${\displaystyle \mathbb {P} (\tau \leq t)\leq Ct,\qquad t\in [0,T].}$

確率的マグナス展開の一般的な展開式は次のように表される。

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)}\quad {\text{with}}\quad Y_{t}^{(n)}:=\sum _{r=0}^{n}Y_{t}^{(r,n-r)},}$

一般的な用語${\textstyle Y^{(r,n-r)}}$これは、次の形式の伊藤プロセスです。

${\displaystyle Y_{t}^{(r,n-r)}=\int _{0}^{t}\mu _{s}^{r,n-r}ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{r,n-r,j}dW_{s}^{j},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\ r=0,\dots ,n,}$

条件${\textstyle \sigma ^{r,n-r,j},\mu ^{r,n-r}}$再帰的に定義される

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{s}^{r,n-r,j}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r-1,n-r,i}{\big (}A^{(j)}{\big )},\\\mu _{s}^{r,n-r}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r,n-r-1,i}(B)-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{q}\sum _{i=0}^{n-2}{\frac {\beta _{i}}{i!}}\sum _{q_{1}=2}^{r}\sum _{q_{2}=0}^{n-r}S^{r-q_{1},n-r-q_{2},i}{\big (}Q^{q_{1},q_{2},j}{\big )},\end{aligned}}}$

と

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{s}^{q_{1},q_{2},j}:=\sum _{i_{1}=2}^{q_{1}}\sum _{i_{2}=0}^{q_{2}}\sum _{h_{1}=1}^{i_{1}-1}\sum _{h_{2}=0}^{i_{2}}&\sum _{p_{1}=0}^{q_{1}-i_{1}}\sum _{{p_{2}}=0}^{q_{2}-i_{2}}\ \sum _{m_{1}=0}^{p_{1}+p_{2}}\ \sum _{{m_{2}}=0}^{q_{1}-i_{1}-p_{1}+q_{2}-i_{2}-p_{2}}\\&{\Bigg (}{{\frac {S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}}{({m_{1}}+1)!}}{\frac {S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )}}{({m_{2}}+1)!}}}\\&\qquad \qquad +{\frac {{\big [}S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )},S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}{\big ]}}{({m_{1}}+{m_{2}}+2)({m_{1}}+1)!{m_{2}}!}}{\Bigg )},\end{aligned}}}$

また、演算子Sは次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{s}^{r-1,n-r,0}(A)&:={\begin{cases}A&{\text{if }}r=n=1,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\S_{s}^{r-1,n-r,i}(A)&:=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots +k_{i}=n-r\end{array}}{\big [}Y_{s}^{(j_{1},k_{1})},{\big [}\dots ,{\big [}Y_{s}^{(j_{i},k_{i})},A_{s}{\big ]}\dots {\big ]}{\big ]}\\&=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots k_{i}=n-r\end{array}}\operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{1},k_{1})}}\circ \cdots \circ \operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{i},k_{i})}}(A_{s}),\qquad i\in \mathbb {N} .\end{aligned}}}$