閉包（数学）

数学において、より大きな集合の部分集合は、その部分集合の要素に対して特定の演算を行うと、必ずその部分集合の要素が得られる場合、その演算に関して閉じていると言います。例えば、自然数は加算に関しては閉じていますが、減算に関しては閉じていません。1 − 2 は自然数ではありませんが、1 と 2 はどちらも自然数です。

同様に、部分集合が一連の操作に関して閉じているというのは、その部分集合が個々の操作に関して閉じている場合をいう。

部分集合の閉包とは、閉包演算子を部分集合に適用した結果のことです。ある演算の下での部分集合の閉包とは、これらの演算の下で閉包となる最小の上位集合のことです。これはしばしばスパン（例えば線形スパン）または生成集合と呼ばれます。

S を、Sの他の要素からSの要素を生成する 1 つまたは複数の方法を備えた集合とする。[^{注1 ]} Sの 部分集合X は、純粋にXの要素のみを入力した場合に常にXに含まれる要素が得られる場合、これらの方法の下で閉じていると言われる。場合によっては、Xは閉鎖物件。

閉集合の主な性質は、定義から直ちに導かれるが、閉集合の共通部分はすべて閉集合である。したがって、 Sの任意の部分集合Yに対して、 Sの最小の閉部分集合X が存在し、${\displaystyle Y\subseteq X}$（これは、 Yを含むすべての閉部分集合の共通部分です。）文脈によっては、XはYの閉包、またはYによって生成される集合もしくは張られる集合と呼ばれます。

閉集合と閉包の概念は、交差の下で安定な部分集合の任意の性質に拡張されることが多い。つまり、性質を持つ部分集合のすべての交差は、性質も持つ。たとえば、${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ザリスキー閉集合（代数集合とも呼ばれる）は、多項式の族の共通零点の集合であり、点の集合Vのザリスキー閉包は、 Vを含む最小の代数集合である。

二項関係${\displaystyle R}$撮影現場で${\displaystyle A}$は、${\displaystyle A\times A}$これは、上のすべての順序対の集合です。${\displaystyle A}$中置記法${\displaystyle xRy}$一般的には、${\displaystyle (x,y)\in R}$. さまざまな種類の閉包を定義できます。${\displaystyle R}$の上${\displaystyle A}$その特性と操作によって。例：^{[注2 ]}

反省性

反射関係のすべての交点は反射的であるため、反射閉包を定義します。${\displaystyle R}$の上${\displaystyle A}$最小の反射関係として${\displaystyle A}$含まれる${\displaystyle R}$。

対称

単項演算を定義できる${\displaystyle A\times A}$その地図${\displaystyle (x,y)}$に${\displaystyle (y,x)}$対称閉包を定義する${\displaystyle R}$の上${\displaystyle A}$最小の関係として${\displaystyle A}$含まれる${\displaystyle R}$そして、この単項演算の下では閉じられています。

推移性

部分的な二項演算を定義できるので${\displaystyle A\times A}$その地図${\displaystyle (x,y)}$そして${\displaystyle (y,z)}$に${\displaystyle (x,z)}$推移閉包を定義する${\displaystyle R}$の上${\displaystyle A}$最小の関係として${\displaystyle A}$含まれる${\displaystyle R}$そして、この部分的な二項演算の下では閉じている。

前順序とは、反射的かつ推移的な関係のことである。したがって、ある関係の反射的推移閉包は、その関係を含む最小の前順序となる。同様に、ある関係の反射的推移的対称閉包または同値閉包は、その関係を含む最小の同値関係となる。

• マトロイド理論では、 Xの閉包とは、 Xと同じランクを持つXの最大のスーパーセットのことである。
• 集合の推移閉包。^{[ 1 ]}
• 体の代数的閉包。^{[ 2 ]}
• 体の中に包含される整域の整閉包。
• 可換環におけるイデアルの根基。
• 幾何学において、点の集合Sの凸包とは、 Sが部分集合となる最小の凸集合のことである。^{[ 3 ]}
• 形式言語において、ある言語のクリーネ閉包とは、その言語に含まれる0個以上の文字列を連結することによって作成できる文字列の集合として記述できる。
• 群論において、群の要素の集合の共役閉包または正規閉包とは、その集合を含む最小の正規部分群のことである。
• 数学解析や確率論において、集合Xの部分集合の集合が可算個の集合演算によって閉じられることを、その集合によって生成されるσ代数と呼ぶ。

前述のセクションでは、与えられた集合の部分集合に対する閉包について考察しました。集合の部分集合は、包含関係において半順序集合（poset）を形成します。閉包演算子を用いることで、閉包の概念を任意の半順序集合に一般化することができます。

半順序が≤で表される半順序集合Sが与えられたとき、S上の閉包演算子は関数である。${\displaystyle C:S\to S}$それは

• 増加（${\displaystyle x\leq C(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in S}$)
• 冪等（${\displaystyle C(C(x))=C(x)}$）、 そして
• 単調（${\displaystyle x\leq y\implies C(x)\leq C(y)}$) ^{[ 4 ]}

同様に、 SからSへの関数は、次の場合に閉包演算子である。${\displaystyle x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)}$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in S.}$

Sの要素は、それが自身の閉包である場合、つまり、${\displaystyle x=C(x).}$冪等性により、要素が閉じているのは、それがSの何らかの要素の閉包である場合に限る。

一例として、位相閉包演算子があります。クラトフスキの特性化では、公理 K2、K3、K4' は上記の定義特性に対応します。部分集合に作用しない例としては、天井関数があります。これは、すべての実数x を、 xより小さくない最小の整数に写像します。

• ワイススタイン、エリック・W. 「代数的閉包」 . MathWorld .