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数学において、与えられた体K上の多項式P ( X ) は、その根がKの代数的閉包内で互いに異なる場合、すなわち、異なる根の数が多項式の次数に等しい場合に分離可能であるという。 [ 1 ]
この概念は平方因子を持たない多項式と密接に関連しています。K が完全体の場合、この2つの概念は一致します。一般に、P ( X ) は、 Kを含む任意の体上で平方因子を持たない場合に限り分離可能であり、これはP ( X ) がその形式的導関数D P ( X ) と互いに素である場合に限り成り立ちます。
古い定義では、P ( X ) は、 K [ X ]におけるその既約因子のそれぞれが現代の定義で分離可能であれば分離可能とみなされていた。[ 2 ]この定義では、分離可能性は体Kに依存していた。例えば、完全体上の任意の多項式は分離可能とみなされていた。この定義はガロア理論には便利な場合もあるが、もはや使用されていない。[ 3 ]
分離可能な多項式は、分離可能な拡大を定義するために使用されます。体拡大K ⊂ Lは、 K上の代数的であるLのすべてのαに対して、K上のαの 最小多項式が分離可能な多項式である場合に限り、分離可能な拡大です。
分離不可能な拡張（つまり、分離できない拡張）は、正の特性でのみ発生する可能性があります。
上記の基準から、Pが既約かつ分離可能でない場合、DP ( X ) = 0 となるという結論がすぐに導き出されます。したがって、
K上の多項式Qに対して、素数pは特性である。
この手がかりをもとに、例を構築してみましょう。
ここで、Kはp個の元を持つ有限体上の不定元Tにおける有理関数の体である。ここで、 P ( X ) が既約かつ非分離であることを直接証明できる。これは実際、非分離性がなぜ重要なのかを示す典型的な例である。幾何学的に言えば、P は有限体上の射影直線上の写像を表し、座標をp乗する。このような写像は、有限体の代数幾何学において基本的なものである。言い換えれば、この設定にはガロア理論では「見ることのできない」被覆が存在する。（より高度な議論については、根基射を参照のこと。）
Lが体拡張である場合
言い換えれば、 Pの分割体であるならば、L / K は純粋に分離不可能な体拡大の一例である。これは次数がpであるが、恒等写像以外にK を固定する自己同型写像を持たない。なぜなら、 T 1/ pはPの唯一の根だからである。これは、ガロア理論がここで破綻しなければならないことを直接示している。このような拡大が存在しない体を完全体と呼ぶ。有限体が完全体であることは、その既知の構造から事後的に導かれる。
この例の場合、Lの体とK上のL の体とのテンソル積は、非ゼロの冪零元を持つことを示すことができる。これは不可分性のもう一つの現れである。つまり、体に対するテンソル積演算は、体の積である環（つまり、可換半単純環ではない環）を生成するとは限らない。
ガロア理論では、分離可能な多項式が頻繁に現れる。
例えば、P を整数係数を持つ既約多項式とし、p をPの最高次係数を割り切れない素数とする。Qを、Pの係数を法pで簡約することによって得られる、p個の元を持つ有限体上の多項式とする。このとき、Q が分離可能であれば (p が有限数以外のすべてのpに対して分離可能となる)、 Qの既約因子の次数は、 Pのガロア群の何らかの置換のサイクルの長さとなる。
別の例：Pが上記のとおりである場合、群GのレゾルベントRは、係数がPの係数の多項式である多項式であり、 Pのガロア群に関する情報を提供します。より正確には、Rが分離可能で有理根を持つ場合、 Pのガロア群はGに含まれます。たとえば、DがPの判別式である場合、は交代群のレゾルベントです。Pが既約であれば、このレゾルベントは常に分離可能ですが (特性が 2 でないと仮定) 、ほとんどのレゾルベントは常に分離可能とは限りません。
