カルマンフィルタ

統計学と制御理論において、カルマンフィルタリング（線形二次推定とも呼ばれる）は、統計的ノイズやその他の不正確さを含む時間の経過に伴って観測される一連の測定値を使用して、各時間ステップの変数の結合確率分布を推定することにより、単一の測定に基づくものよりも正確になる傾向がある未知の変数の推定値を生成するアルゴリズムです。このフィルタは平均二乗誤差最小化器として構築されますが、フィルタが最大尤度統計とどのように関係するかを示すフィルタの代替導出も提供されています。^{[1]このフィルタは}ルドルフ・E・カルマンにちなんで名付けられました。

カルマンフィルタリング^[2]には数多くの技術的応用がある。一般的な応用は、特に航空機、宇宙船、船舶などの車両の誘導、航行、制御である。^{[3]さらに、カルマンフィルタリングは、}信号処理や計量経済学などの時系列分析タスクに多く適用されている。カルマンフィルタリングはロボットの動作計画と制御にも重要であり、^{[4] [5]}軌道最適化にも使用できる。^[6]カルマンフィルタリングは、中枢神経系の動作制御のモデル化にも役立つ。運動コマンドの発行と感覚フィードバックの受信の間には時間遅延があるため、カルマンフィルタ^[7]を使用すると、運動システムの現在の状態を推定し、更新されたコマンドを発行するための現実的なモデルが提供される。^[8]

このアルゴリズムは、予測フェーズと更新フェーズの 2 段階のプロセスで機能します。予測フェーズでは、カルマン フィルタが現在の状態変数の推定値とその不確実性を生成します。次の測定結果 (ランダム ノイズなどの何らかのエラーによって必然的に破損している) が観測されると、これらの推定値は加重平均を使用して更新され、確実性が高い推定値に重みが付けられます。このアルゴリズムは再帰的です。現在の入力測定値と以前に計算された状態とその不確実性マトリックスのみを使用して、リアルタイムで動作できます。過去の追加情報は必要ありません。

カルマン フィルタリングの最適性は、誤差が正規分布 (ガウス分布)することを前提としています。ルドルフ E. カルマンの言葉を借りれば、「ランダム プロセスについては、次の仮定が立てられています。物理的なランダム現象は、動的システムを刺激する主要なランダム ソースによるものと考えられます。主要なソースは、平均がゼロの独立したガウス ランダム プロセスであると想定されます。動的システムは線形になります。」^{[9]ただし、ガウス性に関係なく、プロセスと測定の共分散がわかっている場合は、カルマン フィルタは、}平均二乗誤差を最小化する意味で最適な線形推定器です^[10] 。ただし、より優れた非線形推定器が存在する可能性があります。すべてのノイズ プロセスがガウス分布であると想定されない限り、カルマン フィルタを厳密に適用できないというのは、よくある誤解です (文献に残っています)。^[11]

この手法の拡張や一般化も開発されており、非線形システムで機能する拡張カルマンフィルタやアンセンテッドカルマンフィルタなどが知られている。この手法の基礎は隠れマルコフモデルであり、潜在変数の状態空間は連続しており、すべての潜在変数と観測変数はガウス分布に従う。カルマンフィルタリングは、マルチセンサーフュージョン^[12]や分散センサーネットワークで分散カルマンフィルタリングやコンセンサスカルマンフィルタリングの開発に効果的に利用されている。 ^[13]

このフィルタリング方法は、ハンガリーの亡命者 ルドルフ・E・カルマンにちなんで名付けられましたが、ソーヴァルド・ニコライ・ティーレ^{[14] [15]}とピーター・スワーリングが以前に同様のアルゴリズムを開発していました。ジョンズ・ホプキンス応用物理学研究所のリチャード・S・バシーが理論に貢献したため、カルマン・バシー・フィルタリングと呼ばれることもあります。カルマンは、ウィーナーフィルタリング問題に状態変数を適用することでカルマンフィルタを導き出しました。^{[16]カルマンフィルタの最初の実装を開発した人物として一般的には} スタンレー・F・シュミットの名が付けられています。彼は、フィルタを2つの異なる部分に分割できることに気付きました。1つはセンサー出力間の時間間隔用、もう1つは測定値を組み込むための部分です。^{[17]カルマンが}NASAエイムズ研究センターを訪問した際に、シュミットはカルマンのアイデアがアポロ計画の軌道推定の非線形問題に適用できることに気づき、その結果、アポロ航法コンピュータにそれが組み込まれることになった。^{[18] : 16}

このデジタルフィルタは、ソ連の数学者ルスラン・ストラトノビッチが開発した、より一般的な非線形フィルタの特殊なケースであるため、ストラトノビッチ・カルマン・ビューシーフィルタと呼ばれることもあります。^{[19] [20] [21] [22]}実際、特殊なケースの線形フィルタの方程式のいくつかは、1961 年の夏、モスクワでの会議中にカルマンがストラトノビッチと会う前に発表されたストラトノビッチの論文に登場しました。^[23]

このカルマン フィルタリングは、Swerling (1958)、Kalman (1960)、Kalman と Bucy (1961) による技術論文で初めて説明され、部分的に開発されました。

アポロ コンピュータは、2k の磁気コア RAM と 36k のワイヤ ロープを使用しました [...]。CPU は IC で構築されました [...]。クロック速度は 100 kHz 未満でした [...]。MIT のエンジニアが、このような優れたソフトウェア (カルマン フィルタの非常に初期のアプリケーションの 1 つ) をこのような小さなコンピュータに詰め込んだという事実は、実に驚くべきことです。

— ジャック・クレンショーへのインタビュー、マシュー・リード著、TRS-80.org (2009) [1]

カルマンフィルタは、米海軍の核弾道ミサイル搭載潜水艦の航法システムの実装や、米海軍のトマホークミサイルや米空軍の空中発射巡航ミサイルなどの巡航ミサイルの誘導航法システムに不可欠であった。また、再使用型打ち上げロケットの誘導航法システムや、国際宇宙ステーションにドッキングする宇宙船の姿勢制御航法システムにも使用されている。^[24]

カルマンフィルタリングは、システムの動的モデル（例：物理的な運動法則）、そのシステムへの既知の制御入力、および複数の連続した測定値（センサーなどから）を使用して、システムの変動量（その状態）の推定値を形成します。これは、1 つの測定値のみを使用して得られる推定値よりも優れています。そのため、これは一般的なセンサー融合およびデータ融合アルゴリズムです。

ノイズの多いセンサー データ、システムの進化を記述する方程式の近似値、および考慮されていない外部要因はすべて、システムの状態を判定できる可能性を制限します。カルマン フィルターは、ノイズの多いセンサー データによる不確実性、およびある程度はランダムな外部要因を効果的に処理します。カルマン フィルターは、加重平均を使用して、システムの予測状態と新しい測定値の平均としてシステムの状態の推定値を生成します。重みの目的は、推定された不確実性がより優れている (つまり、より小さい) 値の方が「信頼される」ようにすることです。重みは、システムの状態の予測の推定された不確実性の尺度である共分散から計算されます。加重平均の結果は、予測された状態と測定された状態の間にある新しい状態推定値であり、どちらか一方だけの場合よりも推定された不確実性が向上します。このプロセスはすべての時間ステップで繰り返され、新しい推定値とその共分散が次の反復で使用される予測に情報を提供します。つまり、カルマン フィルタは再帰的に動作し、新しい状態を計算するために、システムの状態の履歴全体ではなく、最後の「最善の推測」のみを必要とします。

測定の確実性の等級付けと現在の状態の推定は、重要な考慮事項です。フィルターの応答は、カルマン フィルターのゲインの観点から議論されるのが一般的です。カルマン ゲインは、測定と現在の状態の推定に与えられる重みであり、特定のパフォーマンスを実現するために「調整」できます。ゲインが高いと、フィルターは最新の測定に重点を置くため、より応答性よく測定に適合します。ゲインが低いと、フィルターはモデル予測にさらに厳密に適合します。極端な場合、ゲインが高い (1 に近い) と推定軌道はより不安定になり、ゲインが低い (0 に近い) とノイズは滑らかになりますが、応答性は低下します。

フィルタの実際の計算を実行する際 (以下で説明)、単一の計算セットに複数の次元が含まれるため、状態推定値と共分散は行列にコード化されます。これにより、任意の遷移モデルまたは共分散におけるさまざまな状態変数 (位置、速度、加速度など) 間の線形関係を表現できます。

応用例として、トラックの正確な位置を特定する問題を考えてみましょう。トラックにはGPSユニットを装備することができ、数メートル以内の位置を推定することができます。GPS 推定値はノイズが多く、実際の位置から数メートル以内ではあるものの、測定値が急速に「飛び回って」しまう可能性があります。さらに、トラックは物理法則に従うと予想されるため、車輪の回転とハンドルの角度を追跡して速度を時間とともに積分することで、トラックの位置を推定することもできます。これはデッドレコニングと呼ばれる手法です。通常、デッドレコニングではトラックの位置を非常にスムーズに推定できますが、小さな誤差が蓄積されるにつれて、時間の経過とともに ずれていきます。

この例では、カルマン フィルタは予測と更新という 2 つの異なるフェーズで動作していると考えられます。予測フェーズでは、トラックの古い位置が物理的な運動法則(動的または「状態遷移」モデル) に従って変更されます。新しい位置推定値が計算されるだけでなく、新しい共分散も計算されます。おそらく共分散はトラックの速度に比例します。これは、高速では推測航法による位置推定値の精度が不確実ですが、低速では位置推定値が非常に確実だからです。次に、更新フェーズでは、トラックの位置の測定値が GPS ユニットから取得されます。この測定値にはある程度の不確実性が伴い、前のフェーズの予測値に対するその共分散によって、新しい測定値が更新された予測にどの程度影響するかが決まります。理想的には、推測航法による推定値は実際の位置からずれる傾向があるため、GPS 測定によって位置推定値が実際の位置に戻される必要がありますが、ノイズが多くなり、急激にジャンプするほど乱れることはありません。

カルマンフィルタは、一連のノイズの多い測定値から線形動的システムの内部状態を推定する効率的な再帰フィルタです。 レーダーやコンピュータービジョンから構造的マクロ経済モデルの推定まで、幅広い工学および計量経済学のアプリケーションで使用されており、 ^{[25] [26]}制御理論と制御システム工学の重要なトピックです。線形2次レギュレータ（LQR）とともに、カルマンフィルタは線形2次ガウス制御問題（LQG）を解きます。カルマンフィルタ、線形2次レギュレータ、および線形2次ガウスコントローラは、制御理論の最も基本的な問題に対するソリューションです。

ほとんどのアプリケーションでは、内部状態は、測定される少数の「観測可能な」パラメータよりもはるかに大きくなります（自由度が高くなります）。ただし、一連の測定値を組み合わせることで、カルマン フィルタは内部状態全体を推定できます。

デンプスター・シェーファー理論では、各状態方程式または観測は線形信念関数の特殊なケースと見なされ、カルマンフィルタリングは結合木またはマルコフ木上で線形信念関数を組み合わせる特殊なケースです。追加の方法には、ベイズまたは状態方程式への証拠更新を使用する 信念フィルタリングがあります。

現在までに、カルマン フィルタにはさまざまな種類があります。カルマンのオリジナルの定式化 (現在では「シンプル」カルマン フィルタと呼ばれています)、カルマン - バシー フィルタ、シュミットの「拡張」フィルタ、情報フィルタ、およびビアマン、ソーントン、その他多くの人々によって開発されたさまざまな「平方根」フィルタなどです。おそらく、最も一般的に使用されている非常にシンプルなカルマン フィルタのタイプは、位相ロック ループです。これは現在、ラジオ、特に周波数変調(FM) ラジオ、テレビ セット、衛星通信受信機、宇宙通信システム、およびほぼすべての他の電子通信機器で広く使用されています。

カルマン フィルタリングは、時間領域で離散化された線形動的システムに基づいています。これらは、ガウスノイズを含む可能性のあるエラーによって乱された線形演算子に基づくマルコフ連鎖でモデル化されます。ターゲット システムの状態は、実数のベクトルとして表される、グラウンド トゥルース (ただし隠れている) のシステム構成を指します。離散時間増分ごとに、線形演算子が状態に適用され、新しい状態が生成されます。このとき、いくらかのノイズが混合され、オプションで、システムの制御からの情報 (既知の場合) も生成されます。次に、さらにノイズが混合された別の線形演算子によって、真の (「隠れた」) 状態から測定可能な出力 (つまり、観測値) が生成されます。カルマン フィルタは、隠れマルコフ モデルに類似していると考えられますが、隠れ状態変数は、隠れマルコフ モデルのように離散状態空間ではなく連続空間に値を持つという違いがあります。カルマン フィルタの方程式と隠れマルコフ モデルの方程式には、強い類似性があります。このモデルと他のモデルのレビューは、RoweisとGhahramani（1999）^[27]とHamilton（1994）の第13章^{[28]に掲載されています。}

ノイズの多い観測値のシーケンスのみに基づいてカルマン フィルタを使用してプロセスの内部状態を推定するには、次のフレームワークに従ってプロセスをモデル化する必要があります。これは、各時間ステップに対して次の行列を指定することを意味します。 ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$、状態遷移モデル。
• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$、観測モデル。
• ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$、プロセスノイズの共分散。
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$、観測ノイズの共分散。
• また、時には、以下に説明する制御入力モデルが含まれる。が含まれる場合は、${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$
• ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$制御入力モデルへの制御入力を表す制御ベクトル。

以下に示すように、多くのアプリケーションでは、行列 、 、 、 が時間の経過に伴って一定であることが一般的であり、その場合、それらのインデックスは削除されることがあります。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle k}$

カルマンフィルタモデルは、時刻における真の状態が時刻における状態から次のように 発展すると仮定している。${\displaystyle k}$${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{ k}+\mathbf {w} _{k}}$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$は、前の状態x _{k −1}に適用される状態遷移モデルである。
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$は制御ベクトルに適用される制御入力モデルである。${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$
• ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$はプロセスノイズであり、共分散が であるゼロ平均多変量正規分布 から抽出されたものと仮定されます。${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {Q} _{k}\right)}$

が時間と独立である場合、Roweis と Ghahramani (前掲書) に従って、代わりに と書いて、ノイズが時間について明示的に認識していないことを強調することができます。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {w} _{\bullet }}$${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$

真の状態の観察（または測定）は、 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$観測モデルは、真の状態空間を観測空間にマッピングし、
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$は観測ノイズであり、共分散が であるゼロ平均のガウス白色ノイズであると仮定されます。${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {R} _{k}\right)}$

の場合と同様に、 が時間に依存しない 場合はの代わりに と書くことができます。 ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{\bullet }}$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$

初期状態と各ステップのノイズベクトルはすべて相互に独立していると仮定されます。 ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{0},\mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{k},\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}\}}$

多くのリアルタイムダイナミックシステムは、このモデルに厳密には従いません。実際、モデル化されていないダイナミクスは、未知の確率的信号を入力として動作することになっていたとしても、フィルタのパフォーマンスを著しく低下させる可能性があります。その理由は、モデル化されていないダイナミクスの影響は入力に依存し、したがって推定アルゴリズムを不安定にする（発散する）可能性があるためです。一方、独立したホワイトノイズ信号はアルゴリズムを発散させません。測定ノイズとモデル化されていないダイナミクスを区別する問題は難しい問題であり、ロバスト制御を使用した制御理論の問題として扱われます。^{[29] [30]}

カルマン フィルタは再帰推定器です。つまり、現在の状態の推定値を計算するには、前の時間ステップからの推定状態と現在の測定値のみが必要です。バッチ推定手法とは対照的に、観測や推定値の履歴は必要ありません。以下では、表記は、時間m ≤ nまでの観測値に基づく時間nでの の推定値を表します。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

フィルターの状態は次の 2 つの変数で表されます。

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$時刻kまでの観測値に基づく時刻kにおける事後状態推定値の平均。
• ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$、事後推定共分散行列（状態推定の推定精度の尺度）。

カルマン フィルタのアルゴリズム構造は、アルファ ベータ フィルタのものと似ています。カルマン フィルタは 1 つの方程式として記述できますが、多くの場合、「予測」と「更新」という 2 つの異なるフェーズとして概念化されます。予測フェーズでは、前のタイムステップの状態推定を使用して、現在のタイムステップの状態の推定値を生成します。この予測された状態推定値は、現在のタイムステップの状態の推定値ではあるものの、現在のタイムステップからの観測情報を含まないため、事前状態推定値とも呼ばれます。更新フェーズでは、イノベーション(事前適合残差)、つまり現在の事前予測と現在の観測情報との差が最適なカルマン ゲインで乗算され、前の状態推定値と組み合わされて状態推定値が調整されます。現在の観測に基づくこの改善された推定値は、事後状態推定値と呼ばれます。

通常、2つのフェーズは交互に行われ、予測は次に予定されている観測まで状態を進め、更新は観測を組み込む。ただし、これは必須ではない。何らかの理由で観測が利用できない場合は、更新をスキップして複数の予測手順を実行することができる。同様に、複数の独立した観測が同時に利用できる場合は、複数の更新手順を実行することができる（通常は異なる観測行列Hkを使用）_。 [ ^{31] [32]}

上記の更新された（事後）推定共分散の式は、残差誤差を最小化する最適なK _{kゲインに有効であり、この形式でアプリケーションで最も広く使用されています。式の証明は}導出セクションに記載されており、任意のK _kに有効な式も示されています。

更新された状態推定値（）をより直感的に表現する方法は次のとおりです。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}}$

この式は、[0,1]間の線形補間を思い起こさせます。この場合、 ${\displaystyle x=(1-t)(a)+t(b)}$${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle t}$は、（センサーの高誤差）から（低誤差）への投影値を取得する行列です。${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle a}$モデルから推定された内部状態です。${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$
• ${\displaystyle b}$は特異でないと仮定して、測定から推定された内部状態です。${\displaystyle \mathbf {H} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$

この式は、アルファ ベータ フィルターの更新手順にも似ています。

モデルが正確で、およびの値が初期状態値の分布を正確に反映している場合、次の不変量が保持されます。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}]&=\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}]=0\\\operatorname {E} [{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}]&=0\end{aligned}}}$

ここで はの期待値です。つまり、すべての推定値の平均誤差はゼロになります。 ${\displaystyle \operatorname {E} [\xi ]}$${\displaystyle \xi }$

また：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {S} _{k}&=\operatorname {cov} \left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\end{aligned}}}$

したがって、共分散行列は推定値の共分散を正確に反映します。

カルマンフィルタの実際の実装は、ノイズ共分散行列Q _kとR _kの適切な推定値を得るのが難しいため、難しいことがよくあります。データからこれらの共分散を推定するための広範な研究が行われてきました。これを行うための実用的な方法の1つは、共分散を推定するために日常的な操作データの時間遅れの自己共分散を使用する自己共分散最小二乗法（ALS ）です。^{[33] [34]} ALS法を使用してノイズ共分散行列を計算するために使用される GNU OctaveおよびMatlabコードは、GNU General Public Licenseを使用してオンラインで入手できます。^[35]状態、パラメータ、およびノイズ共分散を同時に推定できるベイズアルゴリズムであるフィールドカルマンフィルタ（FKF）が提案されています。^[36] FKFアルゴリズムは、再帰的な定式化、良好な収束が観測され、比較的複雑性が低いため、FKFアルゴリズムは自己共分散最小二乗法の価値ある代替手段になる可能性があります。もう一つのアプローチは最適化カルマンフィルタ（OKF）であり、共分散行列をノイズの代表としてではなく、最も正確な状態推定を達成するためのパラメータとして考慮する。^[37]これら2つの見解はKFの仮定の下では一致するが、実際のシステムではしばしば互いに矛盾する。したがって、OKFの状態推定はモデルの不正確さに対してより堅牢である。

理論から、カルマンフィルタは、次の場合に、最適な状態推定を提供することがわかります。a) モデルが実際のシステムと完全に一致し、b) 入ってくるノイズが「ホワイト」（無相関）であり、c) ノイズの共分散が正確にわかっている。相関ノイズもカルマンフィルタを使用して処理できます。^[38] 過去数十年間に、上記のセクションで説明した ALS を含め、ノイズ共分散推定のいくつかの方法が提案されました。より一般的には、モデルの仮定が実際のシステムと完全に一致しない場合、Q _kとR _{k を}ノイズの共分散に設定することによって、最適な状態推定が必ずしも得られるわけではありません。代わりに、その場合は、パラメータQ _kとR _{k を}設定して、状態推定を明示的に最適化することができます^[37] 。たとえば、標準的な教師あり学習を使用します。

共分散が設定された後、フィルタの性能、すなわち状態推定品質を改善できるかどうかを評価することが有用である。カルマンフィルタが最適に機能する場合、イノベーションシーケンス（出力予測誤差）はホワイトノイズであるため、イノベーションのホワイトネス特性がフィルタの性能を測定する。この目的のために、いくつかの異なる方法を使用できます。^[39]ノイズ項が非ガウス分布している場合、確率不等式または大規模サンプル理論を使用するフィルタ推定の性能を評価する方法が文献で知られています。^{[40] [41]}

摩擦のない直線レール上のトラックを考えてみましょう。最初、トラックは位置 0 で静止していますが、ランダムな制御されていない力によってあちこちに揺さぶられます。トラックの位置を Δ t秒ごとに測定しますが、これらの測定値は不正確です。トラックの位置と速度のモデルを維持する必要があります。ここでは、カルマン フィルターを作成するためのモデルを導出する方法を示します。

は定数なので、時間インデックスは削除されます。 ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {H} ,\mathbf {R} ,\mathbf {Q} }$

トラックの位置と速度は線形状態空間で記述される。

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}}$

ここで、は速度、つまり時間に関する位置の微分です。 ${\displaystyle {\dot {x}}}$

( k  − 1) とk の時間ステップの間で、制御されていない力によって平均 0 と標準偏差σ _aで正規分布する一定の加速度a _kが発生すると仮定します。ニュートンの運動の法則から、次の結論が導かれます。

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {G} a_{k}}$

（既知の制御入力がないので項はありません。代わりに、 k_は未知の入力の効果であり、その効果を状態ベクトルに適用します）ここで ${\displaystyle \mathbf {B} u}$${\displaystyle \mathbf {G} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\mathbf {G} &={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{2}\\[6pt]\Delta t\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

となることによって

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} _{k}&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\\mathbf {Q} &=\mathbf {G} \mathbf {G} ^{\textsf {T}}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}{\Delta t}^{4}&{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}&{\Delta t}^{2}\end{bmatrix}}\sigma _{a}^{2}.\end{aligned}}}$

行列はフルランクではない（ の場合、ランク1である）。したがって、分布は絶対連続ではなく、確率密度関数を持たない。明示的な退化分布を避けてこれを表現する別の方法は、次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \Delta t\neq 0}$${\displaystyle N(0,\mathbf {Q} )}$

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N\left(0,\sigma _{a}^{2}\right).}$

各時間フェーズで、トラックの実際の位置のノイズ測定が行われます。測定ノイズv _kも平均 0 および標準偏差σ _zで正規分布していると仮定します。

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathrm {E} \left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]={\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

トラックの初期始動状態は完璧にわかっているので、初期化します。

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

正確な位置と速度がわかっていることをフィルターに伝えるために、ゼロ共分散行列を与えます。

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

初期位置と速度が完全にわかっていない場合、共分散行列は対角線上に適切な分散で初期化する必要があります。

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\\0&\sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}}$

フィルターは、モデルにすでに存在する情報よりも、最初の測定値からの情報を優先します。

簡単にするために、制御入力 と仮定します。すると、カルマンフィルタは次のように記述できます。 ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}].}$

ゼロ以外の制御入力を含める場合も同様の式が成り立ちます。ゲイン行列は測定値とは独立して変化します。上記から、カルマンゲインを更新するために必要な 4 つの式は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k},\\\mathbf {S} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k},\\\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1},\\\mathbf {P} _{k|k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}.\end{aligned}}}$

ゲイン行列はモデルのみに依存し、測定値には依存しないため、オフラインで計算できます。ゲイン行列の漸近行列への収束は、WalrandとDimakis ^[42]で確立された条件に適用されます。シミュレーションにより、収束までのステップ数が確立されます。上記の移動中のトラックの例では、およびの場合、シミュレーションは反復で収束を示します。 ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$${\displaystyle \Delta t=1}$${\displaystyle \sigma _{a}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}^{2}=\sigma _{\dot {x}}^{2}=1}$${\displaystyle 10}$

漸近ゲインを使用し、およびが から独立していると仮定すると、カルマンフィルタは線形時間不変フィルタになります。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}+\mathbf {K} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} \mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}].}$

漸近的ゲインは、もし存在するならば、まず漸近的状態共分散に対する次の離散リカッチ方程式を解くことによって計算できる：^[42]${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }=\mathbf {F} \left(\mathbf {P} _{\infty }-\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\right)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} .}$

その後、漸近ゲインは前と同じように計算されます。

${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }=\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

さらに、制御理論でより一般的に使用される漸近カルマンフィルタの形式は次のように表される。

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}],}}$

どこ

${\displaystyle {\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }=\mathbf {F} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

これにより、次のような形式の推定値が得られる。

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=(\mathbf {F} -{\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }\mathbf {H} ){\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }\mathbf {z} _{k},}}$

カルマンフィルタは、過去のデータに基づいて一般化された最小二乗法として導出することができる。 ^[43]

誤差共分散P _{k  |  k}の不変量から始めると、

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)}$

の定義に代入する${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\mathbf {x} _{k}-\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\right]}$

代替 ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$

そして${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$

そして誤差ベクトルを集めると

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)-\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

測定誤差v _kは他の項と相関がないので、これは次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]+\operatorname {cov} \left[\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

ベクトル共分散の性質により、これは

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\operatorname {cov} \left(\mathbf {v} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

これはP _{k  |  k −1}の不変量とR _kの定義を用いると次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

この式 (共分散更新方程式のジョセフ形式とも呼ばれる) は、 K _kの任意の値に対して有効です。 K _{k が}最適なカルマン ゲインである場合、これは以下に示すようにさらに簡略化できます。

カルマンフィルタは最小平均二乗誤差推定器である。事後状態推定 における誤差は

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

このベクトルの大きさの二乗の期待値を最小化することを目指します。これは、事後推定共分散行列のトレースを最小化することと同じです。上記の式の項を展開してまとめると、次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left\|\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}\right\|^{2}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\\[6pt]&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

トレースは、ゲイン行列に対する行列微分がゼロのときに最小化されます。勾配行列の規則と関係する行列の対称性を使用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial \;\operatorname {tr} (\mathbf {P} _{k\mid k})}{\partial \;\mathbf {K} _{k}}}=-2\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+2\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}=0.}$

これをK _kについて解くと、カルマンゲインが得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}&=\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\\\Rightarrow \mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\end{aligned}}}$

このゲインは最適カルマンゲインと呼ばれ、使用するとMMSE推定値が得られます。

事後誤差共分散を計算するために使用される式は、カルマンゲインが上で導出された最適値に等しい場合に簡略化できます。右辺のカルマンゲイン式の両辺にS _k K _k ^Tを掛けると、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

事後誤差共分散の拡張式に戻ると、

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

最後の2つの項は打ち消され、

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}}$

この式は計算コストが低いため、実際にはほぼ常に使用されますが、最適なゲインに対してのみ有効です。算術精度が異常に低く、数値安定性に問題がある場合、または最適でないカルマン ゲインが意図的に使用されている場合は、この簡略化は適用できません。上記で導出された事後誤差共分散式 (Joseph 形式) を使用する必要があります。

カルマンフィルタリング方程式は、状態とその誤差共分散の推定値を再帰的に提供します。推定値とその品質は、推定器への入力として供給されるシステムパラメータとノイズ統計に依存します。このセクションでは、フィルタへの統計入力の不確実性の影響を分析します。^[44]信頼できる統計やノイズ共分散行列と真の値がない場合、式 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

実際の誤差共分散を提供しなくなりました。言い換えると、ほとんどのリアルタイム アプリケーションでは、カルマン フィルタの設計に使用される共分散行列は、実際の (真の) ノイズ共分散行列とは異なります。^[要出典]この感度分析は、フィルタへの入力として供給されるノイズ共分散とシステム行列およびが正しくない場合の推定誤差共分散の動作について説明します。したがって、感度分析は、推定量への誤って指定された統計的およびパラメトリックな入力に対する推定量の堅牢性 (または感度) について説明します。 ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}\neq E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$

この議論は、統計的不確実性がある場合の誤差感度分析に限定されます。ここで、実際のノイズ共分散はそれぞれおよびで表され、推定器で使用される設計値はそれぞれおよびです。実際の誤差共分散は、およびで表され、カルマン フィルタによって計算されるものは、リカッチ変数と呼ばれます。およびのとき、これは を意味します。 を使用して実際の誤差共分散を計算する際に、およびを代入し、およびという事実を使用すると、 に関する次の再帰方程式が得られます 。 ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}^{a}}$${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}^{a}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}^{a}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

を計算する際、設計上、フィルタは暗黙的におよびを仮定します。 および の再帰式は、それぞれ設計値およびの代わりにおよびが存在することを除いて同一です。カルマンフィルタシステムの堅牢性を分析するための研究が行われてきました。^[45]${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$

カルマン フィルタの問題の 1 つは、数値的安定性です。プロセス ノイズ共分散Q _kが小さい場合、丸め誤差により、状態共分散行列Pの小さな正の固有値が負の数として計算されることがよくあります。これにより、 P の数値表現は不定になりますが、その真の形式は正定値です。

正定値行列は、特異でない下三角行列 S とその転置行列の積に因数分解できるという特性があります : P  =  S · S ^T。因数Sは、コレスキー分解アルゴリズムを使用して効率的に計算できます。共分散行列Pのこの積形式は対称であることが保証されており、すべての 1 <= k <= n について、 k 番目の対角要素 P _{kk は}Sの k 番目の行のユークリッドノルムに等しく、これは必ず正になります。コレスキー分解アルゴリズムに含まれる平方根演算の多くを回避しながら、望ましい数値特性を保持する同等の形式は、UD 分解形式P  =  U · D · U ^Tです。ここで、Uは単位三角行列(対角要素が単位)、D は対角行列です。

2つの因数分解のうち、UD因数分解は使用する記憶領域は同じで、計算量はやや少なく、最も一般的に使用されている三角因数分解です。(相対的な効率に関する初期の文献は、平方根は除算よりもはるかに時間がかかると想定していたため、やや誤解を招くものでしたが、^{[46] : 69} 21世紀のコンピュータでは、平方根は除算よりもわずかに高価であるだけです。)

因数分解された形式でのカルマン予測と更新ステップのための効率的なアルゴリズムは、GJ BiermanとCL Thorntonによって開発された。^{[46] [47]}

イノベーション共分散行列S _kのL · D · L ^T分解は、数値的に効率的で堅牢な別のタイプの平方根フィルタの基礎となる。^[48]アルゴリズムは、線形代数パッケージ ( LAPACK ) に実装されている LU 分解から始まる。これらの結果は、対称非特異行列に対して Golub と Van Loan によって示された方法 (アルゴリズム 4.1.2) を使用して、L · D · L ^{T構造にさらに因数分解される。 [49]}任意の特異共分散行列は、最初の対角パーティションが非特異で条件が整っているようにピボットされる。ピボット アルゴリズムは、 y _kの補助観測に関連付けられている 観測状態変数H _k · x k| k _-1に直接対応するイノベーション共分散行列の部分を保持する必要がある。l · d · l ^t平方根フィルタでは、観測ベクトルの直交化が必要である。 ^{[47] [48]}これは、ハイアム（2002、p.263）の方法2を使用して、補助変数の共分散行列の逆平方根で行うことができます。^[50]

カルマンフィルタは、中央処理装置（CPU）での順次データ処理には効率的ですが、元の形式ではグラフィックス処理装置（GPU）などの並列アーキテクチャでは非効率的です。ただし、SärkkäとGarcía-Fernández（2021）の定式化を使用して、結合演算子の観点からフィルタ更新ルーチンを表現することは可能です。^[51]次に、 GPUで効率的に実装できるプレフィックス合計アルゴリズムを使用して、フィルタソリューションを取得できます。 ^{[52]これにより、}計算の複雑さが時間ステップ数からに削減されます。 ${\displaystyle O(N)}$${\displaystyle O(\log(N))}$

カルマンフィルタは、最も単純な動的ベイジアンネットワークの1つとして表すことができます。カルマンフィルタは、入力される測定値と数学的プロセスモデルを使用して、時間の経過に伴って再帰的に状態の真の値の推定値を計算します。同様に、再帰ベイジアン推定は、入力される測定値と数学的プロセスモデルを使用して、時間の経過に伴って再帰的に未知の確率密度関数（ PDF）の推定値を計算します。^[53]

再帰的ベイズ推定では、真の状態は観測されないマルコフ過程であると想定され、測定値は隠れマルコフモデル (HMM) の観測された状態です。

マルコフ仮定により、真の状態は、直前の状態が与えられれば、それ以前のすべての状態から条件付きで独立しています。

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k-1})=p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})}$

同様に、 k番目のタイムステップでの測定は現在の状態のみに依存し、現在の状態が与えられた場合、他のすべての状態からは条件付きで独立しています。

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k})=p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

これらの仮定を使用すると、隠れマルコフモデルのすべての状態における確率分布は次のように簡単に記述できます。

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k},\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{k}\right)=p\left(\mathbf {x} _{0}\right)\prod _{i=1}^{k}p\left(\mathbf {z} _{i}\mid \mathbf {x} _{i}\right)p\left(\mathbf {x} _{i}\mid \mathbf {x} _{i-1}\right)}$

ただし、カルマン フィルタを使用して状態x を推定する場合、対象となる確率分布は、現在のタイムステップまでの測定に基づいて条件付けられた現在の状態に関連付けられた確率分布です。これは、以前の状態を周辺化して、測定セットの確率で割ることによって実現されます。

この結果、カルマンフィルタの予測フェーズと更新フェーズが確率的に記述されます。予測された状態に関連付けられた確率分布は、( k − 1)番目のタイムステップからk番目 への遷移に関連付けられた確率分布と、前の状態に関連付けられた確率分布の積を、すべての可能な範囲にわたって合計(積分)したものです。 ${\displaystyle x_{k-1}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k-1}}$

時刻tまでの測定セットアップは

${\displaystyle \mathbf {Z} _{t}=\left\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{t}\right\}}$

更新の確率分布は、測定尤度と予測状態の積に比例します。

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k}\right)={\frac {p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}{p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}}}$

分母

${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k}}$

正規化項です。

残りの確率密度関数は

${\displaystyle {\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {Q} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k-1},\mathbf {P} _{k-1}\right)\end{aligned}}}$

前のタイムステップでの PDF は、推定された状態と共分散であると帰納的に想定されます。これは、最適な推定器として、カルマン フィルターが測定値を最大限に活用するため正当化され、したがって、 測定値が与えられた場合の PDF はカルマン フィルターの推定値になります。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{k}}$

上述の再帰的ベイズ解釈に関連して、カルマンフィルタは生成モデル、すなわちランダムな観測値のストリームz = ( z ₀ , z ₁ , z _{2 , ...)を}生成するプロセスとして見ることができる。具体的には、プロセスは次のようになる。

1. ガウス事前分布から隠れ状態をサンプリングします。${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0},\mathbf {P} _{0\mid 0}\right)}$
2. 観測モデルから観測をサンプリングします。${\displaystyle \mathbf {z} _{0}}$${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R} _{0}\right)}$
3. については、 ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$
   1. 遷移モデルから次の隠れ状態をサンプリングする${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right).}$
   2. 観測モデルから観測をサンプリングする${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right).}$

このプロセスは、離散状態と観測値がガウス分布からサンプリングされた連続変数に置き換えられることを除いて、隠れマルコフモデルと同一の構造を持ちます。

一部のアプリケーションでは、特定のパラメータ セット (事前分布、遷移および観測モデル、制御入力) を持つカルマン フィルタが特定の観測信号を生成する確率を計算すると便利です。この確率は、隠れた状態変数の値を積分 (「周辺化」) するため、観測信号のみを使用して計算できるため、周辺尤度と呼ばれます。周辺尤度は、さまざまなパラメータの選択を評価したり、ベイズ モデル比較を使用してカルマン フィルタを他のモデルと比較したりするのに役立ちます。

再帰フィルタリング計算の副作用として周辺尤度を計算するのは簡単です。連鎖律により、尤度は、以前の観測値から各観測値の確率を乗じて因数分解できます。

${\displaystyle p(\mathbf {z} )=\prod _{k=0}^{T}p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)}$、

カルマンフィルタはマルコフ過程を記述するため、以前の観測からのすべての関連情報は現在の状態推定値に含まれる。したがって、周辺尤度は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {z} )&=\prod _{k=0}^{T}\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right){\mathcal {N}}\left(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\right)\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}\right),\end{aligned}}}$

すなわち、ガウス密度の積であり、それぞれは現在のフィルタリング分布における1つの観測値z _kの密度に対応する。これは単純な再帰更新として簡単に計算できるが、数値アンダーフローを回避するために、実際の実装では通常、代わりに対数周辺尤度を計算することが望ましい。慣例を採用すると、これは再帰更新規則によって実行できる。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}}$${\displaystyle \ell =\log p(\mathbf {z} )}$${\displaystyle \ell ^{(-1)}=0}$

${\displaystyle \ell ^{(k)}=\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}+\log \left|\mathbf {S} _{k}\right|+d_{y}\log 2\pi \right),}$

ここで、は測定ベクトルの次元である。^[54]${\displaystyle d_{y}}$

このような観測値の (対数) 尤度 (フィルター パラメーターが与えられた場合) が使用される重要なアプリケーションは、マルチターゲット追跡です。たとえば、観測値のストリームが入力であるが、シーン内にいくつのオブジェクトがあるかが不明な (または、オブジェクトの数はわかっているが 1 より大きい) オブジェクト追跡シナリオを考えてみましょう。このようなシナリオでは、どの観測値/測定値がどのオブジェクトによって生成されたかは事前に不明である可能性があります。複数仮説トラッカー (MHT) は通常、異なるトラック関連付け仮説を形成します。ここで、各仮説は、仮説オブジェクトに関連付けられた特定のパラメーター セットを持つカルマン フィルター (線形ガウスの場合) と見なすことができます。したがって、検討中のさまざまな仮説の観測値の尤度を計算して、最も可能性の高い仮説を見つけることが重要です。

観測ベクトルyの次元が状態空間ベクトルxの次元よりも大きい場合、情報フィルタは、予測ステップでより小さな行列を反転するという代償を払って、カルマンゲイン計算でより大きな行列の反転を回避することができ、計算時間を節約できます。さらに、情報フィルタは、通常のカルマンフィルタでは不可能な、 に従ったシステム情報の初期化を可能にします。^[55]情報フィルタ、または逆共分散フィルタでは、推定共分散と推定状態は、それぞれ情報行列と情報ベクトルに置き換えられます。これらは次のように定義されます。 ${\displaystyle {I_{1|0}=P_{1|0}^{-1}=0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\end{aligned}}}$

同様に、予測された共分散と状態には、次のように定義される同等の情報形式があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\end{aligned}}}$

測定共分散と測定ベクトルは次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}\\\mathbf {i} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}}$

情報の更新にかかる費用は今やわずかなものとなった。^[56]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\mathbf {I} _{k}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {i} _{k}\end{aligned}}}$

情報フィルターの主な利点は、情報行列とベクトルを単純に合計するだけで、 N個の測定値を各時間ステップでフィルター処理できることです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {I} _{k,j}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {i} _{k,j}\end{aligned}}}$

情報フィルタを予測するために、情報行列と情報ベクトルをそれらの状態空間の同等物に変換するか、あるいは情報空間予測を使用することができる。^[56]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k}&=\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}\mathbf {Y} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{-1}\\\mathbf {C} _{k}&=\mathbf {M} _{k}\left[\mathbf {M} _{k}+\mathbf {Q} _{k}^{-1}\right]^{-1}\\\mathbf {L} _{k}&=\mathbf {I} -\mathbf {C} _{k}\\\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\mathbf {M} _{k}+\mathbf {C} _{k}\mathbf {Q} _{k}^{-1}\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}{\hat {\mathbf {y} }}_{k-1\mid k-1}\end{aligned}}}$

最適な固定ラグスムーザは、からまでの測定値を使用して、与えられた固定ラグに対するの最適な推定値を提供します。[ 57 ]^これは、拡張状態を介して以前の理論を使用して導出することができ、フィルタの主な方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-N\mid k}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {z} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} \\0\\\vdots \\0\\\end{bmatrix}}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}+{\begin{bmatrix}0&\ldots &0\\\mathbf {I} &0&\vdots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\mathbf {I} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-2\mid t-1}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t-1}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {K} ^{(0)}\\\mathbf {K} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {K} ^{(N-1)}\\\end{bmatrix}}\mathbf {y} _{t\mid t-1}}$

どこ：

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}}$標準的なカルマンフィルタによって推定されます。
• ${\displaystyle \mathbf {y} _{t\mid t-1}=\mathbf {z} _{t}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}}$標準カルマンフィルタの推定を考慮して生成されたイノベーションです。
• さまざまなものは新しい変数です。つまり、標準のカルマンフィルタには表示されません。${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,N-1}$
• ゲインは次の方式で計算されます。

  ${\displaystyle \mathbf {K} ^{(i+1)}=\mathbf {P} ^{(i)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left[\mathbf {H} \mathbf {P} \mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right]^{-1}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(i)}=\mathbf {P} \left[\left(\mathbf {F} -\mathbf {K} \mathbf {H} \right)^{\textsf {T}}\right]^{i}}$

ここで、およびは予測誤差共分散と標準カルマンフィルタのゲイン（すなわち、）です。${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle \mathbf {P} _{t\mid t-1}}$

推定誤差共分散が次のように定義される場合

${\displaystyle \mathbf {P} _{i}:=E\left[\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}\right)^{*}\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}\right)\mid z_{1}\ldots z_{t}\right],}$

の推定値の改善は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{t-i}}$

${\displaystyle \mathbf {P} -\mathbf {P} _{i}=\sum _{j=0}^{i}\left[\mathbf {P} ^{(j)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} \mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \left(\mathbf {P} ^{(i)}\right)^{\textsf {T}}\right]}$

最適な固定間隔スムージングは​​、固定間隔から までの測定値を使用して ( )の最適な推定値を提供します。これは「カルマン スムージング」とも呼ばれます。一般的に使用されるスムージング アルゴリズムはいくつかあります。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}}$${\displaystyle k<n}$${\displaystyle \mathbf {z} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {z} _{n}}$

ラウフ・トゥング・ストリーベル（RTS）スムーザーは、固定間隔のスムージングのための効率的な2パスアルゴリズムです。^[58]

フォワードパスは、通常のカルマンフィルタアルゴリズムと同じです。これらのフィルタリングされた事前および事後状態推定値、および共分散は、バックワードパス（遡及用）で使用するために保存されます。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$

後方パスでは、平滑化された状態推定値と共分散を計算します。最後の時間ステップから開始し、次の再帰方程式を使用して時間を遡っていきます。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}+\mathbf {C} _{k}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid n}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}+\mathbf {C} _{k}\left(\mathbf {P} _{k+1\mid n}-\mathbf {P} _{k+1\mid k}\right)\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k}\mathbf {F} _{k+1}^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{k+1\mid k}^{-1}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{k\mid k}}$はタイムステップの事後状態推定値であり、はタイムステップの事前状態推定値です。同じ表記が共分散にも適用されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1\mid k}}$${\displaystyle k+1}$

RTSアルゴリズムの代替として、ビアマンが開発した修正ブライソン・フレイジャー（MBF）固定間隔スムーザーがあります。^[47]これも、カルマンフィルタのフォワードパスから保存されたデータを処理するバックワードパスを使用します。バックワードパスの方程式には、各観測時間で使用されるデータの再帰計算が含まれており、平滑化された状態と共分散を計算します。

再帰方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\Lambda }}_{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}+{\hat {\mathbf {C} }}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\Lambda }}_{k}{\hat {\mathbf {C} }}_{k}\\{\hat {\Lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}{\tilde {\Lambda }}_{k}\mathbf {F} _{k}\\{\hat {\Lambda }}_{n}&=0\\{\tilde {\lambda }}_{k}&=-\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {y} _{k}+{\hat {\mathbf {C} }}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\lambda }}_{k}\\{\hat {\lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}{\tilde {\lambda }}_{k}\\{\hat {\lambda }}_{n}&=0\end{aligned}}}$

ここで、は残差共分散、はである。平滑化された状態と共分散は、次の式に代入することで求められる。 ${\displaystyle \mathbf {S} _{k}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {C} }}_{k}=\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k}{\hat {\Lambda }}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k}\\\mathbf {x} _{k\mid n}&=\mathbf {x} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k}{\hat {\lambda }}_{k}\end{aligned}}}$

または

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}{\tilde {\Lambda }}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\\\mathbf {x} _{k\mid n}&=\mathbf {x} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}{\tilde {\lambda }}_{k}.\end{aligned}}}$

MBF の重要な利点は、共分散行列の逆行列を求める必要がないことです。

最小分散スムーザーは、モデルが線形であり、そのパラメータとノイズ統計が正確にわかっている場合、可能な限り最高の誤差性能を達成することができます。^{[59]このスムーザーは、最適な非因果}ウィーナーフィルタの時間変動状態空間一般化です。

より滑らかな計算は2つのパスで行われます。フォワード計算は1ステップ先の予測子を必要とし、次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid k}&=(\mathbf {F} _{k}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}\\\alpha _{k}&=-\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}}$

上記のシステムは逆ウィーナーホップ因子として知られています。後方再帰は上記の前方システムの随伴です。後方パスの結果は、 前方方程式を時間反転したものに作用させ、その結果を時間反転させることで計算できます 。出力推定の場合、平滑化された推定値は次のように与えられます。 ${\displaystyle \beta _{k}}$${\displaystyle \alpha _{k}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid N}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\beta _{k}}$

この最小分散平滑化の因果部分を取ると、

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\alpha _{k}}$

これは最小分散カルマン フィルタと同じです。上記のソリューションは、出力推定誤差の分散を最小化します。Rauch–Tung–Striebel スムーザー導出では、基礎となる分布がガウス分布であると想定していますが、最小分散ソリューションではそうではないことに注意してください。状態推定と入力推定の最適なスムーザーも同様に構築できます。

上記のスムーザーの連続時間バージョンは^{[60] [61]で説明されている。}

期待最大化アルゴリズムは、最小分散フィルタとスムーザー内で未知の状態空間パラメータの近似最大尤度推定値を計算するために使用されることがある。多くの場合、問題の仮定には不確実性が残る。不確実性に対応するスムーザーは、リカッチ方程式に正定値項を追加することで設計できる。^[62]

モデルが非線形の場合、段階的な線形化は最小分散フィルターとより滑らかな再帰（拡張カルマンフィルタリング）の範囲内で行われる可能性があります。

異なる周波数における音の知覚に関する先駆的な研究は、1930 年代にフレッチャーとマンソンによって行われました。彼らの研究は、産業騒音と難聴の調査において測定された音のレベルを重み付けする標準的な方法につながりました。それ以来、周波数重み付けは、フィルターとコントローラーの設計において、対象帯域内でのパフォーマンスを管理するために使用されています。

通常、周波数成形関数は、指定された周波数帯域の誤差スペクトル密度の平均パワーを重み付けするために使用されます。 は、従来のカルマン フィルタによって示される出力推定誤差を表します。また、 は因果周波数重み付け伝達関数を表します。 の分散を最小化する最適解は、を構築するだけで得られます。 ${\displaystyle \mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {W} \left(\mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}\right)}$${\displaystyle \mathbf {W} ^{-1}{\hat {\mathbf {y} }}}$

の設計は未解決の問題である。一つの方法は、推定誤差を生成するシステムを特定し、そのシステムの逆数に等しい設定を行うことである。^[63]この手順は、フィルタ次数の増加を犠牲にして平均二乗誤差の改善を得るために反復することができる。同じ手法はスムージングにも適用できる。 ${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

基本的なカルマン フィルタは線形仮定に限定されます。ただし、より複雑なシステムは非線形になる場合があります。非線形性は、プロセス モデルまたは観測モデルのいずれか、あるいはその両方に関連付けることができます。

非線形システム用のカルマンフィルタの最も一般的なバリエーションは、拡張カルマンフィルタと無香料カルマンフィルタです。どのフィルタを使用するかは、プロセスと観測モデルの非線形性指標によって異なります。^[64]

拡張カルマン フィルタ (EKF) では、状態遷移モデルと観測モデルは状態の線形関数である必要はなく、非線形関数である場合があります。これらの関数は微分可能なタイプです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{k}&=f(\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {u} _{k})+\mathbf {w} _{k}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}\end{aligned}}}$

関数f は、以前の推定値から予測された状態を計算するために使用でき、同様に関数hは、予測された状態から予測された測定値を計算するために使用できます。ただし、fとh は共分散に直接適用することはできません。代わりに、偏導関数の行列 (ヤコビアン) が計算されます。

各タイムステップで、ヤコビアンは現在予測された状態で評価されます。これらの行列は、カルマン フィルター方程式で使用できます。このプロセスは、基本的に現在の推定値を中心に非線形関数を線形化します。

状態遷移モデルと観測モデル、つまり予測関数と更新関数が高度に非線形である場合、拡張カルマンフィルタのパフォーマンスは 特に低下する可能性があります。 ^{[65] [66]これは、基礎となる非線形モデルの線形化を通じて共分散が伝播するためです。無香料カルマンフィルタ (UKF) [65] は、}無香料変換 (UT)と呼ばれる決定論的サンプリング手法を使用して、平均値の周りのサンプルポイント (シグマポイントと呼ばれる) の最小セットを選択します。次に、シグマポイントは非線形関数を通じて伝播され、そこから新しい平均値と共分散の推定値が形成されます。結果として得られるフィルタは、UT の変換された統計量がどのように計算され、どのシグマポイントのセットが使用されるかによって異なります。一貫した方法で常に新しい UKF を構築できることに留意する必要があります。^[67] 特定のシステムでは、結果として得られる UKF は真の平均と共分散をより正確に推定します。^{[68]これは}モンテカルロサンプリングや事後統計のテイラー級数展開 で検証できる。さらに、この手法ではヤコビアンを明示的に計算する必要がなくなる。ヤコビアンを計算することは、複雑な関数の場合、それ自体が困難な作業（解析的に行う場合は複雑な導関数が必要、数値的に行う場合は計算コストがかかる）になる可能性があり、不可能になることもある（それらの関数が微分可能でない場合）。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$

ランダムベクトルの場合、シグマ点は任意のベクトルの集合である。 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{L})}$

${\displaystyle \{\mathbf {s} _{0},\dots ,\mathbf {s} _{N}\}={\bigl \{}{\begin{pmatrix}s_{0,1}&s_{0,2}&\ldots &s_{0,L}\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}s_{N,1}&s_{N,2}&\ldots &s_{N,L}\end{pmatrix}}{\bigr \}}}$

とされる

• を満たす一次重み${\displaystyle W_{0}^{a},\dots ,W_{N}^{a}}$

1. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}=1}$
2. 全員：${\displaystyle i=1,\dots ,L}$${\displaystyle E[x_{i}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}s_{j,i}}$

• 2次の重みを満たす${\displaystyle W_{0}^{c},\dots ,W_{N}^{c}}$

1. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}=1}$
2. すべてのペアに対して。${\displaystyle (i,l)\in \{1,\dots ,L\}^{2}:E[x_{i}x_{l}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}s_{j,i}s_{j,l}}$

UKFアルゴリズムにおける シグマポイントと重みの簡単な選択は、${\displaystyle \mathbf {x} _{k-1\mid k-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\-1&<W_{0}^{a}=W_{0}^{c}<1\\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}-{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1-W_{0}}{2L}},\quad j=1,\dots ,2L\end{aligned}}}$

ここで はの平均推定値です。ベクトルはのj番目の列で、 です。通常、は のコレスキー分解によって得られます。注意すれば、フィルタ方程式はの中間計算なしに直接評価されるように表現できます。これは平方根アンセンテッドカルマンフィルタと呼ばれます。^[69]${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{k-1\mid k-1}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}=\mathbf {AA} ^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$

平均値の重みは任意に選択できます。 ${\displaystyle W_{0}}$

もう一つの一般的なパラメータ化（上記を一般化する）は

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\W_{0}^{a}&={\frac {\alpha ^{2}\kappa -L}{\alpha ^{2}\kappa }}\\W_{0}^{c}&=W_{0}^{a}+1-\alpha ^{2}+\beta \\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\alpha {\sqrt {\kappa }}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}-\alpha {\sqrt {\kappa }}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1}{2\alpha ^{2}\kappa }},\quad j=1,\dots ,2L.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \alpha }$およびシグマポイントの広がりを制御します。 は の分布に関連しています。 、およびのいずれか 1 つを任意に選択できるという 意味で、これは過剰パラメータ化であることに注意してください。${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \kappa }$

適切な値は問題によって異なりますが、一般的には、、が推奨されます。^{[70] の}真の分布がガウス分布である場合、が最適です。^[71]${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle \kappa \approx 3L/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \beta =2}$

EKF と同様に、UKF 予測は UKF 更新とは独立して使用することも、線形 (または EKF) 更新と組み合わせて使用​​することも、その逆も可能です。

平均と共分散の推定値、およびが与えられると、上のセクションで説明したようにシグマ ポイントが得られます。シグマ ポイントは遷移関数fを通じて伝播されます。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$${\displaystyle N=2L+1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=f\left(\mathbf {s} _{j}\right)\quad j=0,\dots ,2L}$。

伝播されたシグマ ポイントは重み付けされ、予測される平均と共分散が生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {x} _{j}\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}}$

ここで、は元のシグマポイントの 1 次重み、 は2 次重みです。行列は遷移ノイズの共分散です。 ${\displaystyle W_{j}^{a}}$${\displaystyle W_{j}^{c}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$

予測推定値とが与えられると、対応する1次重みと2次重みを持つ新しいシグマポイントの集合が計算される。^[72]これらのシグマポイントは測定関数を通じて変換される。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}}$${\displaystyle N=2L+1}$${\displaystyle \mathbf {s} _{0},\dots ,\mathbf {s} _{2L}}$${\displaystyle W_{0}^{a},\dots W_{2L}^{a}}$${\displaystyle W_{0}^{c},\dots ,W_{2L}^{c}}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle \mathbf {z} _{j}=h(\mathbf {s} _{j}),\,\,j=0,1,\dots ,2L}$。

次に、変換されたポイントの経験的平均と共分散が計算されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {z} }}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {z} _{j}\\[6pt]{\hat {\mathbf {S} }}_{k}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})^{\textsf {T}}+\mathbf {R_{k}} \end{aligned}}}$

ここで、は観測ノイズの共分散行列である。さらに、相互共分散行列も必要である。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C_{xz}} &=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1})(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})^{\textsf {T}}.\end{aligned}}}$

カルマンゲインは

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}=\mathbf {C_{xz}} {\hat {\mathbf {S} }}_{k}^{-1}.\end{aligned}}}$

更新された平均と共分散の推定値は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}(\mathbf {z} _{k}-{\hat {\mathbf {z} }})\\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}{\hat {\mathbf {S} }}_{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}.\end{aligned}}}$

観測モデルが高度に非線形かつ非ガウス分布である場合、ベイズの定理を適用して推定 することが有利となる可能性がある。${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})\approx {\frac {p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k})}{p(\mathbf {x} _{k})}}}$

ここで、非線形関数 です。これは、標準カルマン フィルタの生成仕様を、観測値が与えられた潜在状態の 識別モデルに置き換えます。${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k})\approx {\mathcal {N}}(g(\mathbf {z} _{k}),Q(\mathbf {z} _{k}))}$${\displaystyle g,Q}$

定常状態モデル では

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {x} _{1})&={\mathcal {N}}(0,\mathbf {T} ),\\p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})&={\mathcal {N}}(\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1},\mathbf {C} ),\end{aligned}}}$

ここで、もし ${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {F} \mathbf {T} \mathbf {F} ^{\intercal }+\mathbf {C} }$

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{1:k})\approx {\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1},\mathbf {P} _{k|k-1}),}$

新たな観察が与えられると、次のようになる^[73]。${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k+1}\mid \mathbf {z} _{1:k+1})\approx {\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x} }}_{k+1|k},\mathbf {P} _{k+1|k})}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k+1}&=\mathbf {F} \mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {F} ^{\intercal }+\mathbf {C} ,\\\mathbf {P} _{k+1|k}&=(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}+Q(\mathbf {z} _{k})^{-1}-\mathbf {T} ^{-1})^{-1},\\{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1|k}&=\mathbf {P} _{k+1|k}(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {P} _{k+1|k}^{-1}g(\mathbf {z} _{k})).\end{aligned}}}$

この近似は正定値であることが必要であることに注意する。そうでない場合は、 ${\displaystyle Q(\mathbf {z} _{k})^{-1}-\mathbf {T} ^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k+1|k}=(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}+Q(\mathbf {z} _{k})^{-1})^{-1}}$

代わりに使用される。このようなアプローチは、観測の次元が潜在状態の次元よりもはるかに大きい場合に特に有用であることが証明されており^[74]、観測モデルの非定常性に対して特に堅牢なフィルタを構築するために使用することができる。^[75]

適応カルマンフィルタは、プロセスモデルでモデル化されていないプロセスダイナミクスに適応することを可能にする。これは、例えば、一定速度（低次元）カルマンフィルタが追跡に使用される場合の操縦ターゲットのコンテキストで発生する。^[76]${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$

カルマン・ビューシーフィルタリング（リチャード・スノーデン・ビューシーにちなんで名付けられた）は、カルマンフィルタリングの連続時間バージョンである。^{[77] [78]}

これは状態空間モデルに基づいている

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)\\\mathbf {z} (t)&=\mathbf {H} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {v} (t)\end{aligned}}}$

ここで、およびはそれぞれ2つのホワイトノイズ項およびの強度を表します。 ${\displaystyle \mathbf {Q} (t)}$${\displaystyle \mathbf {R} (t)}$${\displaystyle \mathbf {w} (t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$

フィルターは、状態推定用と共分散用の 2 つの微分方程式で構成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\hat {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {F} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {K} (t)\left(\mathbf {z} (t)-\mathbf {H} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right)\\{\frac {d}{dt}}\mathbf {P} (t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}(t)+\mathbf {Q} (t)-\mathbf {K} (t)\mathbf {R} (t)\mathbf {K} ^{\textsf {T}}(t)\end{aligned}}}$

ここでカルマンゲインは次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {K} (t)=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} ^{\textsf {T}}(t)\mathbf {R} ^{-1}(t)}$

この式では観測ノイズの共分散は同時に予測誤差（またはイノベーション）の共分散も表していることに注意する。これらの共分散は連続時間の場合にのみ等しい。^[79]${\displaystyle \mathbf {K} (t)}$${\displaystyle \mathbf {R} (t)}$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}(t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {H} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)}$

離散時間カルマンフィルタリングの予測ステップと更新ステップの区別は、連続時間では存在しません。

共分散に関する 2 番目の微分方程式は、リカッチ方程式の例です。カルマン-ビューシー フィルタの非線形一般化には、連続時間拡張カルマン フィルタが含まれます。

ほとんどの物理システムは連続時間モデルとして表現されますが、離散時間測定はデジタルプロセッサを介して状態推定のために頻繁に行われます。したがって、システムモデルと測定モデルは次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t),&\mathbf {w} (t)&\sim N\left(\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t)\right)\\\mathbf {z} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k},&\mathbf {v} _{k}&\sim N(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})}$。

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}=E\left[\mathbf {x} (t_{0})\right],\mathbf {P} _{0\mid 0}=\operatorname {Var} \left[\mathbf {x} \left(t_{0}\right)\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=\mathbf {F} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t){\text{, with }}{\hat {\mathbf {x} }}\left(t_{k-1}\right)={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\\Rightarrow {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}&={\hat {\mathbf {x} }}\left(t_{k}\right)\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} (t){\text{, with }}\mathbf {P} \left(t_{k-1}\right)=\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\\\Rightarrow \mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} \left(t_{k}\right)\end{aligned}}}$

予測方程式は、測定値からの更新のない連続時間カルマンフィルタの方程式から導出されます。つまり、予測された状態と共分散は、それぞれ、前のステップでの推定値に等しい初期値を持つ一連の微分方程式を解くことによって計算されます。 ${\displaystyle \mathbf {K} (t)=0}$

線形時間不変システムの場合、連続時間ダイナミクスは、行列指数を使用して離散時間システムに正確に離散化できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)^{-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\end{aligned}}}$

更新方程式は離散時間カルマン フィルタの方程式と同一です。

従来のカルマンフィルタは、ノイズの多い観測からスパースな、おそらく動的な信号を回復するためにも使用されています。最近の研究^{[80] [81] [82]では、制限された等長特性や関連する確率的回復の議論など、}圧縮センシング/サンプリングの理論の概念を利用して、本質的に低次元のシステムにおけるスパース状態を順次推定しています。

線形ガウス状態空間モデルはガウス過程につながるため、カルマンフィルタはガウス過程回帰の逐次ソルバーとして見ることができる。^[83]

• 線形フィルタリングと予測問題への新しいアプローチ、RE カルマン著、1960 年
• Python でのカルマン フィルターとベイジアン フィルター。オープンソースのカルマン フィルタリングの教科書。
• カルマンフィルタの仕組みを写真で解説。カルマンフィルタを写真と色でわかりやすく解説します。
• カルマン・ビューシー・フィルタ、カルマン・ビューシー・フィルタの派生
• YouTubeのカルマン フィルタに関する MIT ビデオ講義
• Javascript のカルマン フィルター。Node.js および Web ブラウザー用のオープン ソース カルマン フィルター ライブラリ。
• カルマンフィルタ入門 2021-02-24にWayback Machineでアーカイブ、SIGGRAPH 2001コース、Greg WelchとGary Bishop
• カルマンフィルタのウェブページ（多数のリンクあり）
• カルマン フィルタを簡単に説明、方程式を使ったカルマン フィルタのステップバイステップのチュートリアル
• 「気象モデルで使用されるカルマンフィルタ」(PDF)。SIAM News。36 ( 8)。2003年10月。2011年5月17日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2007年1月27日閲覧。
• Haseltine, Eric L.; Rawlings, James B. (2005). 「拡張カルマンフィルタリングと移動ホライズン推定の批判的評価」. Industrial & Engineering Chemistry Research . 44 (8): 2451. doi :10.1021/ie034308l.
• Gerald J. Bierman の推定サブルーチン ライブラリ: 1977 年に Academic Press によって最初に出版された研究モノグラフ「Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation」のコードに対応しています。Dover によって再出版されました。
• Gerald J. Bierman の推定サブルーチン ライブラリの一部を実装する Matlab Toolbox: UD / UDU' および LD / LDL' 因数分解と、関連する時間と測定の更新によりカルマン フィルターを構成します。
• 同時位置推定とマッピングに適用されたカルマン フィルタリングの Matlab ツールボックス: 1D、2D、3D で移動する車両
• 再生カーネルヒルベルト空間におけるカルマン フィルターの包括的な紹介。
• カルマン フィルターを使用して Cox–Ingersoll–Ross 金利モデルを推定する Matlab コード。Wayback Machineに 2014-02-09 にアーカイブされています。これは、1999 年に Review of Quantitative Finance and Accounting で公開された論文「カルマン フィルターによる指数アフィン期間構造モデルの推定とテスト」に対応しています。
• カルマン フィルターのオンライン デモ。双子実験を使用したカルマン フィルター (およびその他のデータ同化方法) のデモンストレーション。
• kalman-filter.com。さまざまなドメインにおけるカルマン フィルターの使用に関する洞察。
• Botella, Guillermo; Martín h., José Antonio; Santos, Matilde; Meyer-Baese, Uwe (2011). 「低レベルおよび中レベルビジョンを統合した FPGA ベースのマルチモーダル組み込みセンサーシステム」.センサー. 11 (12): 1251–1259. Bibcode :2011Senso..11.8164B. doi : 10.3390/s110808164 . PMC  3231703. PMID  22164069 .
• MATLAB でカルマン フィルタを使用する例と方法 フィルタリングと推定に関するチュートリアル
• フィルタリング（推定）を 1 時間、10 分、1 分、1 文で説明する (Yu-Chi Ho 著)
• Simo Särkkä (2013)。「ベイジアンフィルタリングとスムージング」。ケンブリッジ大学出版局。全文は著者のウェブページ https://users.aalto.fi/~ssarkka/ でご覧いただけます。