コレスキー分解

線型代数学において、コレスキー分解またはコレスキー因数分解（発音：/ ʃ ə ˈ l ɛ s k i / shə- LES -kee）は、エルミート正定値行列を下三角行列とその共役転置の積に分解することであり、モンテカルロシミュレーションなどの効率的な数値解法に役立ちます。これは、アンドレ＝ルイ・コレスキーが実行行列に対して発見し、1924年に彼の死後に出版されました。^[1] コレスキー分解が適用可能な場合、連立一次方程式を解くのに、LU分解の約2倍の効率があります。^[2]

エルミート 正定値行列 Aのコレスキー分解は、次の形式の分解である。

$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {LL} ^{*},}$$

ここで、Lは実数で正の対角要素を持つ下三角行列であり、L *はLの共役転置を表す。すべてのエルミート正定値行列（したがってすべての実数値対称正定値行列）は一意のコレスキー分解を持つ。^[3]

逆は自明に成り立ちます。つまり、A が、下三角であろうとなかろうと、何らかの可逆なLに対してLL *と表せる場合、 A はエルミートかつ正定値です。

Aが実数行列（対称正定値行列）の とき、因数分解は次のように表される。Lは正の対角要素を持つ実数下三角行列 である。 ^{[4] [5] [6]}$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {LL} ^{\mathsf {T}},}$$

エルミート行列Aが正定値ではなく半正定値である場合、Lの対角要素がゼロになることが許されるA = LL *の形式の分解が依然として存在します。 ^[7] 分解は一意である必要はありません。たとえば、 任意のθ に対して一意です。ただし、 Aの階数がrの場合、 r 個の正の対角要素とn − r列がすべてゼロである下三角行列Lが一意に存在します。^[8]$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {L} \mathbf {L} ^{*},\quad \quad \mathbf {L} ={\begin{bmatrix }0&0\\\cos \theta &\sin \theta \end{bmatrix}},}$$

あるいは、ピボットの選択を固定すると、分解を一意にすることができます。正式には、Aがランクrのn × n正半正定値行列である場合、少なくとも1つの置換行列Pが存在し、PAP ^TはPAP ^T = LL ^*の形式の一意の分解を持ちます。ここで、L1 は_{正の対角を持つ}r × rの下三角行列です。^[9]${\textstyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}\mathbf {L} _{1}&0\\\mathbf {L} _{2}&0\end{bmatrix}}}$

古典的なコレスキー分解に密接に関連する変種としてLDL分解がある。

$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {LDL} ^{*},}$$

ここで、Lは下単位三角行列（単三行列）であり、Dは対角行列である。つまり、Lの対角要素は1である必要があるが、分解において追加の対角行列Dを導入する必要がある。主な利点は、LDL分解は基本的に同じアルゴリズムで計算および使用できるが、平方根の抽出を回避することである。^[10]

このため、LDL 分解は平方根フリーのコレスキー分解と呼ばれることが多いです。実行行列の場合、因数分解はA = LDL ^{T の形式をとり、} LDLT分解(またはLDL ^T分解、あるいはLDL′ )と呼ばれることが多いです。これは、実行対称行列の固有分解A = QΛQ ^Tを彷彿とさせますが、ΛとD は類似行列ではないため、実際にはかなり異なります。

LDL 分解は、次のようにLL *形式の古典的なコレスキー分解と関連しています。

$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {LDL} ^{*}=\mathbf {L} \mathbf {D} ^{1/2}\left(\mathbf {D} ^{1/2}\ right)^{*}\mathbf {L} ^{*}=\mathbf {L} \mathbf {D} ^{1/2}\left(\mathbf {L} \mathbf {D} ^{1/2}\right)^{*}.}$$

逆に、正定値行列の古典的なコレスキー分解を考えると、 Sが の主対角要素を含む対角行列である場合、A は次の ように分解できます(これにより、各列が再スケールされて対角要素が 1 になります)。 ${\textstyle \mathbf {A} =\mathbf {C} \mathbf {C} ^{*}}$${\textstyle \mathbf {C} }$${\textstyle \mathbf {L} \mathbf {D} \mathbf {L} ^{*}}$$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {C} \mathbf {S} ^{-1}}$$$${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {S} ^{2}.}$$

A が正定値行列であれば、 Dの対角要素はすべて正である。半正定値行列Aに対しては、 対角要素Dの非ゼロ要素の数がAの階数とちょうど同じになる分解が存在する。^{[11]コレスキー分解が存在しない不定値行列の中には、} D に負の要素を持つ LDL 分解を持つものがある。つまり、 Aの最初のn − 1 個の主要小行列が非特異であれば十分である。^[12]${\textstyle \mathbf {L} \mathbf {D} \mathbf {L} ^{*}}$

以下は対称実行列のコレスキー分解です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&12&-16\\12&37&-43\\-16&-43&98\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0&0\\6&1&0\\-8&5&3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&6&-8\\0&1&5\\0&0&3\\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

LDL ^Tの分解は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&12&-16\\12&37&-43\\-16&-43&98\\\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\3&1&0\\-4&5&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&9\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3&-4\\0&1&5\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

コレスキー分解は、楕円体の共役軸の特定の選択に相当します。^[13]詳細には、楕円体を と定義すると、定義により、ベクトルの集合は のときに限り、楕円体の共役軸になります。すると、楕円体は であり、ここで は基底ベクトル をマップし、 はn 次元の単位球面です。つまり、楕円体は単位球面の線形イメージです。 ${\textstyle y^{T}Ay=1}$${\textstyle v_{1},...,v_{n}}$${\textstyle v_{i}^{T}Av_{j}=\delta _{ij}}$$${\displaystyle \left\{\sum _{i}x_{i}v_{i}:x^{T}x=1\right\}=f(\mathbb {S} ^{n})}$$${\textstyle f}$${\textstyle e_{i}\mapsto v_{i}}$${\textstyle \mathbb {S} ^{n}}$

行列 を定義すると、 はと等しくなります。共役軸の異なる選択は、異なる分解に対応します。 ${\textstyle V:=[v_{1}|v_{2}|\cdots |v_{n}]}$${\textstyle v_{i}^{T}Av_{j}=\delta _{ij}}$${\textstyle V^{T}AV=I}$

コレスキー分解は、最初の軸に平行になるように選択すること、最初の 2 つの軸が張る平面内になるように選択することなどに対応します。これにより、上三角行列が作成されます。次に、 があり、 は下三角です。 ${\textstyle v_{1}}$${\textstyle v_{2}}$${\textstyle V}$${\textstyle A=LL^{T}}$${\textstyle L=(V^{-1})^{T}}$

同様に、主成分分析は、が直交することを選択することに相当します。次に、 およびとすると、 が成立します。ここで、 は直交行列です。これにより が得られます。 ${\textstyle v_{1},...,v_{n}}$${\textstyle \lambda =1/\|v_{i}\|^{2}}$${\textstyle \Sigma =\mathrm {diag} (\lambda _{1},...,\lambda _{n})}$${\textstyle V=U\Sigma ^{-1/2}}$${\textstyle U}$${\textstyle A=U\Sigma U^{T}}$

コレスキー分解は主に線形方程式 の数値解法に使用されます。A が対称かつ正定値の場合、最初 にコレスキー分解を計算し 、次に前進代入によってyを解き、最後に後退代入によってxを解くことで解くことができます。 ${\textstyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$${\textstyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$${\textstyle \mathbf {A} =\mathbf {LL} ^{\mathrm {*} }}$${\textstyle \mathbf {Ly} =\mathbf {b} }$${\textstyle \mathbf {L^{*}x} =\mathbf {y} }$

分解で平方根を取らなくて済む別の方法は、LDL 分解を計算し、次にyを解き、最後に を解くことです。 ${\textstyle \mathbf {LL} ^{\mathrm {*} }}$${\textstyle \mathbf {A} =\mathbf {LDL} ^{\mathrm {*} }}$${\textstyle \mathbf {Ly} =\mathbf {b} }$${\textstyle \mathbf {DL} ^{\mathrm {*} }\mathbf {x} =\mathbf {y} }$

対称形にできる線形システムの場合、コレスキー分解（またはそのLDL変形）は、優れた効率性と数値安定性のために選択される方法です。LU分解と比較すると、約2倍の効率があります。^[2]

Aが対称かつ正定値である形式Ax = bのシステムは、応用分野で非常に頻繁に発生します。たとえば、線形最小二乗問題の正規方程式はこの形式です。行列Aがエネルギー関数から得られる場合もありますが、これは物理的な考慮から正でなければなりません。これは偏微分方程式の数値解法で頻繁に発生します。

非線形多変量関数は、準ニュートン法と呼ばれるニュートン法の変種を使用して、そのパラメータにわたって最小化することができます。反復 k では、探索はを解くことによって定義される方向に進み、ここではステップ方向、は勾配、 は各反復でランク 1 更新を繰り返すことによって形成されるヘッセ行列の近似値です。よく知られている 2 つの更新式は、Davidon–Fletcher–Powell (DFP) とBroyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno (BFGS) と呼ばれています。ヘッセ行列の逆行列の近似値を更新するのではなく、ヘッセ行列の近似値のコレスキー分解自体を更新することで、丸め誤差による正定値条件の損失を回避できます。^[14]${\textstyle p_{k}}$${\textstyle B_{k}p_{k}=-g_{k}}$${\textstyle p_{k}}$${\textstyle p_{k}}$${\textstyle g_{k}}$${\textstyle B_{k}}$

コレスキー分解は、相関のある複数の変数を持つシステムをシミュレートするモンテカルロ法でよく使用されます。共分散行列は分解されて下三角行列Lが得られます。これをサンプルuの相関のない観測値のベクトルに適用すると、モデル化されているシステムの共分散特性を持つサンプルベクトルLuが生成されます。^[15]

次の簡略化された例は、コレスキー分解から得られる経済性を示しています。目標は、相関係数 が与えられた 2 つの相関正規変数とを生成することだとします。これを実現するには、まず 2 つの相関のないガウスランダム変数とを生成する必要があります(たとえば、Box–Muller 変換を使用)。必要な相関係数 が与えられた場合、相関正規変数は変換およびによって取得できます。 ${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$${\textstyle \rho }$${\textstyle z_{1}}$${\textstyle z_{2}}$${\textstyle \rho }$${\textstyle x_{1}=z_{1}}$${\textstyle x_{2}=\rho z_{1}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}z_{2}}$

アンセンテッド カルマン フィルタでは、一般的にコレスキー分解を使用して、いわゆるシグマ ポイントのセットを選択します。カルマン フィルタは、システムの平均状態を長さNのベクトルxとして、共分散をN × N行列Pとして追跡します。行列Pは常に半正定値であり、LL ^Tに分解できます。L の列を平均 x に追加したり平均 x から減算したりして、シグマポイントと呼ばれる2 Nベクトルのセットを形成できます。これらのシグマ ポイントは、システム状態の平均と共分散を完全に捉えます。

エルミート行列の明示的な逆行列は、コレスキー分解によって計算することができ、線形システムを解くのと同様に、演算（乗算）を使用して計算することができる。^[10]逆行列全体を効率的にインプレースで実行することもできる。 ${\textstyle n^{3}}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}}n^{3}}$

非エルミート行列B は、次の恒等式を使用して逆行列化することもできます。ここで、BB * は常にエルミートになります。

$${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {B} ^{*}(\mathbf {BB} ^{*})^{-1}.}$$

コレスキー分解を計算する方法は様々あります。一般的に使用されるアルゴリズムの計算量は、一般にO ( n ³ )です。 ^[要出典]以下に説明するアルゴリズムはすべて、実数型では約(1/3) n ³ FLOP（n ³ /6 回の乗算と同数の加算）、複素数型では(4/3) n ³ FLOP を必要とします^[16] 。ここで、 n は行列Aのサイズです。したがって、これらのアルゴリズムは、 2 n ³ /3 FLOPを使用するLU 分解の半分のコストで済みます（Trefethen および Bau 1997 を参照）。

以下のアルゴリズムのどれが高速であるかは、実装の詳細によって異なります。一般的に、最初のアルゴリズムは、データへのアクセス方法があまり規則的ではないため、若干遅くなります。

分解行列Lを計算するために使用されるコレスキーアルゴリズムは、ガウス消去法の修正版です。

再帰アルゴリズムはi  := 1から始まり、

A ⁽¹⁾  := A .

ステップiでは、行列A ^{( i )}は次の形式を持ちます。 ここで、I _{i −1}は次元i − 1の単位行列を表します。 $${\displaystyle \mathbf {A} ^{(i)}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} _{i-1}&0&0\\0&a_{i,i}&\mathbf {b} _{i}^{*}\\0&\mathbf {b} _{i}&\mathbf {B} ^{(i)}\end{pmatrix}},}$$

行列L _iが次のように定義されている 場合 （A ^{( i )}は正定値なので 、 a _i,i > 0であることに注意）、 A ^{( i ) は} 次の ように記述できます 。ここで、 b _i b * _iは外積である ことに注意します。したがって、このアルゴリズムは（Golub & Van Loan）では 外積バージョンと呼ばれています。$${\displaystyle \mathbf {L} _{i}:={\begin{pmatrix}\mathbf {I} _{i-1}&0&0\\0&{\sqrt {a_{i,i}}}&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {a_{i,i}}}}\mathbf {b} _{i}&\mathbf {I} _{n-i}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \mathbf {A} ^{(i)}=\mathbf {L} _{i}\mathbf {A} ^{(i+1)}\mathbf {L} _{i}^{*}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} ^{(i+1)}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} _{i-1}&0&0\\0&1&0\\0&0&\mathbf {B} ^{(i)}-{\frac {1}{a_{i,i}}}\mathbf {b} _{i}\mathbf {b} _{i}^{*}\end{pmatrix}}.}$$

これをi 1 からnまで繰り返す。nステップ後、A ^{( n +1)} = Iが得られるので、求める 下三角行列L は次のように計算される。

$${\displaystyle \mathbf {L} :=\mathbf {L} _{1}\mathbf {L} _{2}\dots \mathbf {L} _{n}.}$$

方程式 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} =\mathbf {LL} ^{T}&={\begin{pmatrix}L_{11}&0&0\\L_{21}&L_{22}&0\\L_{31}&L_{32}&L_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L_{11}&L_{21}&L_{31}\\0&L_{22}&L_{32}\\0&0&L_{33}\end{pmatrix}}\\[8pt]&={\begin{pmatrix}L_{11}^{2}&&({\text{symmetric}})\\L_{21}L_{11}&L_{21}^{2}+L_{22}^{2}&\\L_{31}L_{11}&L_{31}L_{21}+L_{32}L_{22}&L_{31}^{2}+L_{32}^{2}+L_{33}^{2}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

書き出すと次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}{\sqrt {A_{11}}}&0&0\\A_{21}/L_{11}&{\sqrt {A_{22}-L_{21}^{2}}}&0\\A_{31}/L_{11}&\left(A_{32}-L_{31}L_{21}\right)/L_{22}&{\sqrt {A_{33}-L_{31}^{2}-L_{32}^{2}}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

したがって、 Lのエントリについては次の式が得られます。

$${\displaystyle L_{j,j}=(\pm ){\sqrt {A_{j,j}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{j,k}^{2}}},}$$ $${\displaystyle L_{i,j}={\frac {1}{L_{j,j}}}\left(A_{i,j}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{i,k}L_{j,k}\right)\quad {\text{for }}i>j.}$$

複素行列と実数行列の場合、対角要素とそれに関連する非対角要素の重要でない任意の符号変更が許容されます。A が実数で正定値の場合、平方根の下の式は常に正に なります。

複素エルミート行列の場合、次の式が適用されます。

$${\displaystyle L_{j,j}={\sqrt {A_{j,j}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{j,k}^{*}L_{j,k}}},}$$ $${\displaystyle L_{i,j}={\frac {1}{L_{j,j}}}\left(A_{i,j}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{j,k}^{*}L_{i,k}\right)\quad {\text{for }}i>j.}$$

したがって、左と上のエントリがわかっていれば、 ( i , j )エントリを計算することができます。計算は通常、次のいずれかの順序で行われます。

• Cholesky -Banachiewicz アルゴリズムは、行列Lの左上隅から開始し、行ごとに行列を計算していきます。

for ( i = 0 ; i < dimensionSize ; i ++ ) { for ( j = 0 ; j <= i ; j ++ ) { float sum = 0 ; for ( k = 0 ; k < j ; k ++ ) sum += L [ i ][ k ] * L [ j ][ k ] ;        
            
           
               
                

        i == jの場合、L [ i ] [ j ] = sqrt ( A [ i ][ i ] -合計)。それ以外の場合、L [ i ][ j ] = ( 1.0 / L [ j ][ j ] * ( A [ i ][ j ] -合計) )。} }   
                
        
                    
    

上記のアルゴリズムは、Fortranなどのベクトル化プログラミング言語でドット積と行列乗算を組み合わせたものとして簡潔に表現できます。

i = 1 、size ( A 、1 )を実行します。L ( i 、i ) = sqrt ( A ( i 、i ) - dot_product ( L ( i 、1 : i - 1 ) 、L ( i 、1 : i - 1 ))) L ( i + 1 :、i ) = ( A ( i + 1 :、i ) - matmul ( conjg ( L ( i 、1 : i - 1 )、L ( i + 1 :、1 : i - 1 ))) / L ( i 、i )を実行します。   
         
           

ここで、はconjg要素の複素共役を表します。

• Cholesky -Crout アルゴリズムは、行列Lの左上隅から開始し、行列を列ごとに計算していきます。

  for ( j = 0 ; j < dimensionSize ; j ++ ) { float sum = 0 ; for ( k = 0 ; k < j ; k ++ ) { sum += L [ j ][ k ] * L [ j ][ k ]; } L [ j ][ j ] = sqrt ( A [ j ][ j ] - sum );        
         
              
              
      
          
  
      i = j + 1 ; i < dimensionSize ; i ++ ) { sum = 0 ; k = 0 ; k < j ; k ++ ) { sum += L [ i ][ k ] * L [ j ][ k ]; } L [ i ][ j ] = ( 1.0 / L [ j ] [ j ] * ( A [ i ] [ j ] - sum ) ) ; } }          
            
                  
                  
          
                  
      
  
  

上記のアルゴリズムは、Fortranなどのベクトル化プログラミング言語でドット積と行列乗算を組み合わせたものとして簡潔に表現できます。

i = 1 、size ( A 、1 )を実行します。L ( i 、i ) = sqrt ( A ( i 、i ) - dot_product ( L ( 1 : i - 1 、i ) 、L ( 1 : i - 1 、i ))) L ( i 、i + 1 :) = ( A ( i 、i + 1 :) - matmul ( conjg ( L ( 1 : i - 1 、i )、L ( 1 : i - 1 、i + 1 :))) / L ( i 、i )を実行します。   
         
           

ここで、はconjg要素の複素共役を表します。

どちらのアクセス パターンでも、必要に応じて計算全体をインプレースで実行できます。

条件の整った線形方程式系を解きたいとします。LU 分解を使用する場合、何らかのピボット戦略を使用しない限り、アルゴリズムは不安定になります。後者の場合、誤差はマトリックスのいわゆる成長係数に依存しますが、これは通常 (常にそうとは限りませんが) 小さいものです。

ここで、コレスキー分解が適用可能だと仮定します。前述のように、アルゴリズムは 2 倍高速になります。さらに、ピボット処理は不要で、誤差は常に小さくなります。具体的には、Ax = b、およびy が計算された解を表す場合、y は摂動システム ( A + E ) y = bを解きます。ここ で、 ||·|| ₂は行列 2 ノルム、c _nはnに依存する小さな定数、ε は単位の丸めを表します。 $${\displaystyle \|\mathbf {E} \|_{2}\leq c_{n}\varepsilon \|\mathbf {A} \|_{2}.}$$

コレスキー分解で注意すべき懸念事項の 1 つは、平方根の使用です。因数分解される行列が要求どおりに正定値である場合、平方根の下の数値は正確な算術では常に正になります。残念ながら、丸め誤差のために数値が負になることがあり、その場合アルゴリズムは続行できません。ただし、これは行列が非常に悪条件の場合にのみ発生します。これに対処する 1 つの方法は、分解される行列に対角補正行列を追加して、正定値性を高めることです。^[17]これにより分解の精度が低下する可能性がありますが、他の理由で非常に好ましい場合があります。たとえば、最適化でニュートン法を実行する場合、対角行列を追加すると、最適値から遠い場合に安定性が向上します。

Aが対称な場合に平方根を取る必要がない別の形式は、対称不定因数分解である^[18] $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} =\mathbf {LDL} ^{\mathrm {T} }&={\begin{pmatrix}1&0&0\\L_{21}&1&0\\L_{31}&L_{32}&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}D_{1}&0&0\\0&D_{2}&0\\0&0&D_{3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&L_{21}&L_{31}\\0&1&L_{32}\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\\[8pt]&={\begin{pmatrix}D_{1}&&(\mathrm {symmetric} )\\L_{21}D_{1}&L_{21}^{2}D_{1}+D_{2}&\\L_{31}D_{1}&L_{31}L_{21}D_{1}+L_{32}D_{2}&L_{31}^{2}D_{1}+L_{32}^{2}D_{2}+D_{3}.\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

DとLのエントリには次の再帰関係が適用されます。 $${\displaystyle D_{j}=A_{jj}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{jk}^{2}D_{k},}$$ $${\displaystyle L_{ij}={\frac {1}{D_{j}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}D_{k}\right)\quad {\text{for }}i>j.}$$

これは、 Dで生成された対角要素がゼロでない限り機能します。分解は一意です。Aが実数の場合、 DとL は実数です。

複素エルミート行列Aの場合、次の式が適用されます。

$${\displaystyle D_{j}=A_{jj}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{jk}L_{jk}^{*}D_{k},}$$ $${\displaystyle L_{ij}={\frac {1}{D_{j}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}^{*}D_{k}\right)\quad {\text{for }}i>j.}$$

繰り返しになりますが、アクセス パターンにより、必要に応じて計算全体をインプレースで実行できます。

不定行列に適用する場合、LDL * 分解は注意深いピボットなしでは不安定になることが知られています。^[19]具体的には、分解の要素が任意に大きくなる可能性があります。改善策としては、ブロックサブ行列（通常は 2 × 2）で分解を実行することが考えられます。^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} =\mathbf {LDL} ^{\mathrm {T} }&={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0&0\\\mathbf {L} _{21}&\mathbf {I} &0\\\mathbf {L} _{31}&\mathbf {L} _{32}&\mathbf {I} \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {D} _{1}&0&0\\0&\mathbf {D} _{2}&0\\0&0&\mathbf {D} _{3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {L} _{21}^{\mathrm {T} }&\mathbf {L} _{31}^{\mathrm {T} }\\0&\mathbf {I} &\mathbf {L} _{32}^{\mathrm {T} }\\0&0&\mathbf {I} \\\end{pmatrix}}\\[8pt]&={\begin{pmatrix}\mathbf {D} _{1}&&(\mathrm {symmetric} )\\\mathbf {L} _{21}\mathbf {D} _{1}&\mathbf {L} _{21}\mathbf {D} _{1}\mathbf {L} _{21}^{\mathrm {T} }+\mathbf {D} _{2}&\\\mathbf {L} _{31}\mathbf {D} _{1}&\mathbf {L} _{31}\mathbf {D} _{1}\mathbf {L} _{21}^{\mathrm {T} }+\mathbf {L} _{32}\mathbf {D} _{2}&\mathbf {L} _{31}\mathbf {D} _{1}\mathbf {L} _{31}^{\mathrm {T} }+\mathbf {L} _{32}\mathbf {D} _{2}\mathbf {L} _{32}^{\mathrm {T} }+\mathbf {D} _{3}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

ここで、上記の行列の各要素は正方行列です。このことから、次のような類似の再帰関係が導かれます。

$${\displaystyle \mathbf {D} _{j}=\mathbf {A} _{jj}-\sum _{k=1}^{j-1}\mathbf {L} _{jk}\mathbf {D} _{k}\mathbf {L} _{jk}^{\mathrm {T} },}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} _{ij}=\left(\mathbf {A} _{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}\mathbf {L} _{ik}\mathbf {D} _{k}\mathbf {L} _{jk}^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {D} _{j}^{-1}.}$$

これには行列積と明示的な反転が含まれるため、実際のブロック サイズが制限されます。

実際によく発生するタスクは、コレスキー分解を更新する必要があることです。詳しく言うと、ある行列 のコレスキー分解をすでに計算しておき、次にその行列を何らかの方法で別の行列、たとえば に変更し、更新された行列 のコレスキー分解を計算したいとします。ここで問題となるのは、以前に計算した のコレスキー分解を使用して のコレスキー分解を計算できるかどうかです。 ${\textstyle \mathbf {A} =\mathbf {L} \mathbf {L} ^{*}}$${\textstyle \mathbf {A} }$${\textstyle \mathbf {A} }$${\textstyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$${\textstyle {\tilde {\mathbf {A} }}={\tilde {\mathbf {L} }}{\tilde {\mathbf {L} }}^{*}}$${\textstyle \mathbf {A} }$${\textstyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$

更新された行列が によって行列に関連付けられている特定のケースは、ランク 1 更新として知られています。 ${\textstyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$${\textstyle \mathbf {A} }$${\textstyle {\tilde {\mathbf {A} }}=\mathbf {A} +\mathbf {x} \mathbf {x} ^{*}}$

以下はMatlab構文で記述された、ランク1更新を実現する 関数^{[21]である。}

関数 [L] = cholupdate ( L, x ) n = length ( x ); k = 1 の場合: n r = sqrt ( L ( k , k ) ^ 2 + x ( k ) ^ 2 ); c = r / L ( k , k ); s = x ( k ) / L ( k , k ); L ( k , k ) = r ; k < nの場合L (( k + 1 ): n , k ) = ( L (( k + 1 ): n , k ) + s * x (( k + 1 ): n )) / c ; x (( k + 1 ): n ) = c * x (( k + 1 ): n ) - s * L (( k + 1 ): n , k );終了終了終了