データ同化

データ同化は、理論（通常は数値モデルの形式）と観測を最適に組み合わせることを目的とする数学の分野です。追求する目標は多岐にわたります。たとえば、システムの最適な状態推定値を決定する、数値予測モデルの初期条件を決定する、観測対象システムに関する（たとえば物理的な）知識を使用してスパース観測データを補間する、観測データからモデルをトレーニングして数値パラメータを設定するなどです。目標に応じて、異なる解決法が使用される場合があります。データ同化は、分析対象システムの動的モデルを利用するという点で、他の形式の機械学習、画像分析、統計的手法とは区別されます。

データ同化は、当初は数値天気予報の分野で開発されました。数値天気予報モデルは、大気の動的挙動を記述する方程式であり、通常はコンピュータ プログラムにコード化されています。これらのモデルを使用して予報を行うには、現在の大気の状態に近いモデルの初期条件が必要です。数値モデルに点ごとの測定値を単純に挿入しても、満足のいく解決策にはなりませんでした。実際の測定値には、機器の品質と、測定位置の既知の精度の両方に起因する誤差が含まれます。これらの誤差により、モデルが不安定になり、予報のスキルがまったく失われる可能性があります。したがって、数値モデルの安定性を維持しながら、利用可能なすべてのデータを使用してモデルを初期化するには、より洗練された方法が必要でした。このようなデータには通常、測定値だけでなく、測定が行われた時点で有効な以前の予報も含まれます。このプロセスを繰り返し適用すると、過去の観測からの情報がすべての後続の予報に蓄積され始めます。

データ同化は数値気象予報の分野から発展したため、当初は地球科学の分野で人気を博しました。実際、地球科学の分野で最も引用されている出版物の 1 つは、観測された大気の履歴を再構築するためのデータ同化の応用です。^[1]

従来、データ同化は、単純な外挿法では予測が困難すぎるカオス的動的システムに適用されてきました。この困難さの原因は、初期条件の小さな変化が予測精度の大きな変化につながる可能性があることです。これはバタフライ効果と呼ばれることもあります。これは、決定論的非線形システムのある状態における小さな変化が後の状態に大きな違いをもたらす可能性がある、初期条件への敏感な依存性です。

データ同化では通常、更新時に予測(最初の推測または背景情報とも呼ばれる) を取得し、観測データと、観測および予測自体の両方に存在する推定誤差のセットに基づいて予測に修正を適用します。その時点での予測と観測の差は、逸脱またはイノベーションと呼ばれます(データ同化プロセスに新しい情報を提供するため)。イノベーションには重み付け係数が適用され、観測からの新しい情報に基づいて予測にどの程度の修正を加えるべきかが決定されます。重み付け係数とイノベーションを掛け合わせた予測の修正に基づくシステムの状態の最善の推定値は、分析と呼ばれます。1つの次元では、分析の計算は、予測値と観測値の加重平均を形成するのと同じくらい簡単です。複数の次元では、問題はより困難になります。データ同化の作業の多くは、システム内の誤差に関する複雑な知識に基づいて適切な重み付け係数を適切に推定することに重点を置いています。

測定は通常、モデルの不完全なシステム表現ではなく、現実世界のシステムに対して行われるため、モデル化された変数を観測と直接比較できる形式にマッピングするには、観測演算子と呼ばれる特別な関数(通常、非線形演算子の場合はh() 、線形化の場合はHで表されます) が必要です。

一般的な数学哲学的観点の 1 つは、データ同化をベイズ推定の問題と見なすことです。この観点から、分析ステップはベイズの定理の応用であり、全体的な同化手順は再帰的ベイズ推定の例です。ただし、確率分析は通常、計算上実行可能な形式に簡略化されます。確率分布を時間的に進めることは、一般的なケースではフォッカー–プランク方程式によって正確に実行されますが、高次元システムでは実行可能ではありません。そのため、代わりに、確率分布の簡略化された表現を操作するさまざまな近似が使用されます。多くの場合、確率分布はガウス分布であると想定され、平均と共分散で表すことができます。これにより、カルマン フィルターが生成されます。

多くの方法では、確率分布を平均のみで表し、事前に計算された共分散を入力します。これを計算する直接的な（または順次的な）方法の例は、最適統計補間、または単に最適補間（ OI ）と呼ばれます。別のアプローチは、同一の問題を解くコスト関数を反復的に解くことです。これらは、3D-Varや4D-Varなどの変分法と呼ばれます。一般的な最小化アルゴリズムは、共役勾配法または一般化最小残差法です。アンサンブル カルマン フィルタは、モンテ カルロ法を使用して、シミュレーションのアンサンブルによってガウス確率分布の平均と共分散の両方を推定する順次的な方法です。最近では、アンサンブル アプローチと変分法のハイブリッドな組み合わせがより一般的になっています（たとえば、これらは欧州中期予報センター（ECMWF）と米国海洋大気庁 国立環境予測センター（NCEP）の両方で運用予報に使用されています）。

データ同化はモデル更新ループ内でも実現できます。モデル更新ループでは、初期モデル (または初期推定値) を最適化ループで反復して、モデルを観測データに制限します。最適化アプローチは多数存在し、そのすべてをモデル更新用にセットアップできます。たとえば、進化的アルゴリズムは仮説が不要なため効率的であることが証明されていますが、計算コストは​​高くなります。

数値天気予報アプリケーションでは、データ同化は、気温や気圧などの気象変数の観測値と過去の予報を組み合わせて数値予報モデルを初期化する 方法として最も広く知られています。

大気は流体である。数値天気予報の考え方は、特定の時間における流体の状態をサンプリングし、流体力学と熱力学の方程式を使用して、将来のある時点での流体の状態を推定することです。初期条件を生成するために観測データをモデルに入力するプロセスは、初期化と呼ばれます。陸上では、下り坂の風、山岳波、入射する太陽放射に影響を与える関連する雲などの特徴をより適切に描写するために、世界的に1キロメートル（0.6マイル）の解像度で利用可能な地形図が、起伏のある地形の領域内の大気循環をモデル化するのに役立っています。 [ ^2] 各国の気象サービスからの主な入力は、さまざまな大気パラメータを測定して固定受信機に送信する気象気球に搭載された装置（ラジオゾンデと呼ばれる）からの観測値と、気象衛星からの観測値です。世界気象機関は、これらの観測の機器、観測方法、およびタイミングを世界中で標準化する役割を果たしています。ステーションは、 METARレポートで1時間ごと、^[3]またはSYNOPレポートで6時間ごとに報告します。^[4]これらの観測は不規則な間隔で行われるため、データ同化と客観分析法によって処理され、品質管理が行われ、モデルの数学的アルゴリズムで使用可能な場所の値が得られます。^[5] 一部のグローバルモデルでは、世界が緯度と経度の等間隔のグリッド上の離散点として表される有限差分法が使用されています。 ^[6]他のモデルでは、波長の範囲を解くスペクトル法が使用されています。その後、データは予測の開始点としてモデルで使用されます。^[7]

数値モデルで使用する観測データの収集には、さまざまな方法が使用されています。観測所では、気象観測気球にラジオゾンデを取り付け、対流圏から成層圏まで上昇させます。^[8]気象衛星からの情報は、従来のデータソースが利用できない場合に使用されます。商務省は、航空機のルートに沿ったパイロットレポート^[9]と船舶のルートに沿った船舶レポートを提供しています。^{[10]研究プロジェクトでは、}熱帯低気圧などの関心のある気象システムの周囲を飛行するために偵察機を 使用します。^{[11] [12]} 偵察機は、寒冷期に外洋上を飛行し、予報ガイダンスに大きな不確実性をもたらすシステムや、下流の大陸に3日から7日先まで大きな影響を与えると予想されるシステムにも飛行します。^[13] 海氷は、1971年に予報モデルで初期化され始めました。 ^[14]海面温度をモデルの初期化に 含める取り組みは、太平洋の高緯度での気象を調整する役割を担っているため、1972年に始まりました。^[15]

1922年、ルイス・フライ・リチャードソンは数値的に天気を予報する最初の試みを発表しました。ビャークネスの原始方程式の静水力学的変形を使用して、^[16]リチャードソンは中央ヨーロッパの2地点の大気の状態について6時間予報を手作業で作成しましたが、これには少なくとも6週間かかりました。^{[17]彼の予報では、}地表気圧の変化は145ミリバール（4.3  inHg ）になると計算されていましたが、これは2桁も間違った非現実的な値でした。この大きな誤差は、彼の解析の初期条件として使用した気圧場と風速場の不均衡によって引き起こされたものであり、^[16]データ同化スキームが必要であることを示していました。

当初は「主観的分析」が使用され、数値天気予報 (NWP) の予報は気象学者が運用上の専門知識を使用して調整されていました。その後、「客観的分析」(例: クレスマン アルゴリズム) が自動データ同化のために導入されました。これらの客観的な方法は単純な補間アプローチを使用していたため、^{[なぜ? ]} 3DDA (3 次元データ同化) 方法でした。

その後、 MM5モデルなどで「ナッジング」と呼ばれる 4DDA (4 次元データ同化) 手法が開発されました。これは、ニュートン緩和 (ニュートンの第 2 公理) という単純な考え方に基づいています。この手法では、モデルの動的方程式の右側部分に、計算された気象変数と観測値の差に比例する項を導入します。この負の符号を持つ項により、計算された状態ベクトルが観測値に近づきます。ナッジングは、共分散から取得されるのではなく、ゲイン マトリックスが規定されたカルマン-バシー フィルター(カルマン フィルターの連続時間バージョン)のバリエーションとして解釈できます。 ^{[引用が必要]}

大きな進歩は、コルモゴロフの初期の考えを発展させた「統計的補間」（または「最適補間」）法を導入した L. Gandin (1963) によって達成されました。これは 3DDA 法であり、 「最初の推測」フィールド（以前の予測）と「真のフィールド」の誤差の共分散関数の空間分布に関する情報を利用する回帰分析の一種です。これらの関数は決して知られていません。ただし、異なる近似が想定されました。^{[引用が必要]}

最適な補間アルゴリズムは、カルマン フィルタリング(KF) アルゴリズムの縮小版であり、共分散行列は動的方程式から計算されるのではなく、事前に決定されます。

KF アルゴリズムを数値計算モデル用の 4DDA ツールとして導入する試みは、その後行われました。しかし、これは (そして今も) 困難な作業でした。完全版では膨大な数の追加方程式 (~N*N~10**12、ここで N=Nx*Ny*Nz は状態ベクトルのサイズ、Nx~100、Ny~100、Nz~100 – 計算グリッドの次元) を解く必要があるためです。この困難を克服するために、近似または準最適なカルマン フィルターが開発されました。これには、アンサンブル カルマン フィルターと縮退ランク カルマン フィルター (RRSQRT) が含まれます。^[18]

4DDA 法の開発におけるもう 1 つの重要な進歩は、 J.-L. Lions と G. Marchuk の以前の研究に基づいた、Le Dimet と Talagrand (1986) の研究における最適制御理論 (変分アプローチ) の利用でした。後者は環境モデリングにこの理論を初めて適用しました。変分アプローチの重要な利点は、気象場が NWP モデルの動的方程式を満たし、同時に関数を最小化して観測との差を特徴付けることです。したがって、制約付き最小化の問題が解決されます。3DDA 変分法は、Sasaki (1958) によって初めて開発されました。

Lorenc (1986) が示したように、上記の 4DDA 法はすべて、ある限界では同等です。つまり、いくつかの仮定の下では、同じコスト関数を最小化します。しかし、実際のアプリケーションでは、これらの仮定が満たされることは決してなく、異なる方法は異なるパフォーマンスを示し、一般的にどのアプローチ (カルマンフィルタリングまたは変分) が優れているかは明らかではありません。高度な DA 技術の適用では、計算方法が最小化される関数のグローバル最小値に収束するかどうかなど、基本的な疑問も生じます。たとえば、コスト関数またはソリューションが求められるセットは、凸ではない場合があります。現在最も成功している 4DDA 法^{[19] [20]}は、ハイブリッド増分 4D-Var であり、データ同化時間枠の開始時にアンサンブルを使用して気候学的背景誤差共分散を増強しますが、背景誤差共分散は、NWP 予報モデルの簡略版によって時間枠中に進化します。このデータ同化方法は、英国気象庁などの予報センターで運用されている。^{[21] [22]}

データ同化における分析を作成するプロセスには、多くの場合、コスト関数の最小化が含まれます。典型的なコスト関数は、観測の精度で重み付けされた観測からの分析値の二乗偏差の合計と、予測フィールドと分析フィールドの二乗偏差の合計を予測の精度で重み付けしたものになります。これにより、分析が、通常は信頼できると知られている観測と予測から大きく離れないようにすることができます。^{[引用が必要]}

${\displaystyle J(\mathbf {x} )=(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{b})^{\mathrm {T} }\mathbf {B} ^{-1}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{b})+(\mathbf {y} -{\mathit {H}}[\mathbf {x} ])^{\mathrm {T} }\mathbf {R} ^{-1}(\mathbf {y} -{\mathit {H}}[\mathbf {x} ]),}$

ここで、は背景誤差共分散、は観測誤差共分散を表します。 ${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \nabla J(\mathbf {x} )=2\mathbf {B} ^{-1}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{b})-2{\mathit {H} }^{T}\mathbf {R} ^{-1}(\mathbf {y} -{\mathit {H}}[\mathbf {x} ])}$

${\displaystyle J(\mathbf {x} )=(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{b})^{\mathrm {T} }\mathbf {B} ^{-1}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{b})+\sum _{i=0}^{n}(\mathbf {y} _{i}-{\mathit {H}}_{i}[ \mathbf {x} _{i}])^{\mathrm {T} }\mathbf {R} _{i}^{-1}(\mathbf {y} _{i}-{\mathit {H} }_{i}[\mathbf {x} _{i}])}$

ただし、 は線形演算子 (行列) です。 ${\displaystyle {\mathit {H}}}$

NWP モデルのデータ同化手法の急速な発展を推進する要因には、次のものがあります。

• 現在、観測結果を活用することで、さまざまな空間スケール（地球規模から非常にローカルなものまで）と時間スケールでの予測能力の向上が期待できます。
• 利用可能な観測手段（ソーダー、レーダー、衛星）の種類は急速に増加しています。

データ同化は、1980 年代と 1990 年代に、土壌、植生、大気間のエネルギー移動を監視するためのいくつかの HAPEX (水文および大気パイロット実験) プロジェクトで使用されました。たとえば、次のようになります。

- HAPEX-MobilHy、^[24] HAPEX-Sahel、^[25]

- 「アルピーユ-ReSeDA」（リモートセンシングデータ同化）実験^{[26] [27]は、FP4-ENVプログラム[28]}のヨーロッパプロジェクトで、フランス南東部のアルピーユ地方で実施さ​​れました（1996-97年）。このプロジェクトの最終報告書から抜粋したフローチャート図（右）^[23]は、リモートセンシングデータと補助情報から、樹冠状態、放射フラックス、環境予算、生産量と品質などの関心変数を推測する方法を示しています。この図では、小さな青緑色の矢印がモデルが実際に実行される直接的な方法を示しています。^{[要出典] [29]}

データ同化法は現在、水文・水文地質学予測などの他の環境予測問題にも使用されている。 ^[30]ベイジアンネットワークは、地滑りなどの自然災害を評価するためのデータ同化アプローチにも使用されることがある。^[31]

太陽系の他の惑星に関する宇宙船データが豊富にあることから、地球外惑星の大気の状態の再解析を行うために、現在では地球外惑星にもデータ同化が適用されています。火星は、これまでデータ同化が適用された唯一の地球外惑星です。利用可能な宇宙船データには、特に、NASAの火星グローバルサーベイヤーに搭載された熱放射分光計と、NASA の火星探査機に搭載された火星気候サウンダーから取得した温度と塵/水/氷の光学的厚さが含まれます。これらのデータセットには、分析補正スキーム^[32]と 2 つのアンサンブルカルマンフィルタースキーム^{[33] [34]}の 2 つのデータ同化手法が適用されており、どちらも火星大気の全球循環モデルをフォワードモデルとして使用しています。火星分析補正データ同化 (MACDA) データセットは、英国大気データセンターから公開されています。^[35]

データ同化は、あらゆる予測問題における課題の一部です。

偏ったデータへの対処は、データ同化における重大な課題です。偏りに対処する方法をさらに開発することは、特に有用です。同じ変数を観測する機器が複数ある場合、確率分布関数を使用してそれらを相互比較することは有益です。^{[引用が必要]}

数値予報モデルは、計算能力の向上により解像度が高くなってきており、現在、運用中の大気モデルは 1 km オーダーの水平解像度で稼働しています (例: ドイツ国立気象局、ドイツ気象庁( DWD )、英国気象庁)。この水平解像度の向上により、非線形モデルのよりカオス的な特徴を解決できるようになり始めています (例:大気モデルでグリッド スケールの対流や雲を解決できる)。モデルと観測演算子の非線形性の増大により、データ同化に新たな問題が生じています。線形または近似線形モデルで十分に確立されている、さまざまなアンサンブル カルマン フィルターや変分法などの既存のデータ同化手法が、非線形モデルで評価されています。

高次元問題のための粒子フィルタやハイブリッドデータ同化法など、多くの新しい手法が開発されている。 ^[36]

その他の用途としては、アポロ計画の軌道推定、GPS、大気化学などがあります。

• 較正

• デイリー、R. (1991)。大気データ分析。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-38215-1。
• 「MM5コミュニティモデルホームページ」。
• 「ECMWF データ同化講義ノート」。
• 井手 佳代; フィリップ クルティエ;マイケル ギル; アンドリュー C ロレンク (1997). 「データ同化の統一表記法: 操作的、逐次的、変分的 (特集: 気象海洋学におけるデータ同化: 理論と実践)」.日本気象学会誌. Ser. II. 75 (1B): 181–9. Bibcode :1997JMeSJ..75B.181I. doi : 10.2151/jmsj1965.75.1B_181 .
• 「データ同化の理解」。COMET モジュール。
• Evensen , Geir (2009)。データ同化。アンサンブルカルマンフィルタ（第2版）。Springer。ISBN 978-3-642-03710-8。
• Lewis, John M.; Lakshmivarahan, S.; Dhall, Sudarshan (2006)。「動的データ同化: 最小二乗法」。数学とその応用百科事典。第 104 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-85155-8。
• Asch, Mark; Bocquet, Marc; Nodet, Maëlle (2016)。データ同化: 方法、アルゴリズム、およびアプリケーション。産業応用数学協会。ISBN 978-1-61197-453-9。
• カルネイ、ユージニア(2002)。大気モデリング、データ同化、予測可能性。ケンブリッジ大学出版局。p. 364。Bibcode : 2002amda.book.....K. ISBN 978-0-521-79179-3。 {{cite book}}:|journal=無視されました (ヘルプ)
• Vetra-Carvalho, S.; van Leeuwen, PJ; Nerger, L.; Barth, A.; Umer Altat, M.; Brasseur, P.; Kirchgessner, P.; Beckers, JM. (2018). 「高次元非ガウス問題に対する最先端の確率的データ同化法」. Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography . 70 (1): 1445364. Bibcode :2018TellA..7045364V. doi : 10.1080/16000870.2018.1445364 . hdl : 10754/630565 .

変分同化が天気予報にどのように実装されているかの例:

• データ同化。IFS ドキュメント。ECMWF。2010 年。 {{cite book}}:|work=無視されました (ヘルプ)
• 「データ同化」。英国気象庁。

同化の他の例:

• CDACentral (化学データ同化からの分析例)
• PDFCentral (PDF を使用して偏りと代表性を調べる)
• OpenDA – オープンソースのデータ同化パッケージ 2011-01-12 にWayback Machineでアーカイブ
• PDAF – オープンソースの並列データ同化フレームワーク
• SANGOMA 新しいデータ同化技術