線形力学系

線形力学系とは、進化関数が線形である力学系のことです。^{[ 1 ]}一般的に力学系には閉形式の解は ありませんが、線形力学系は厳密に解くことができ、豊富な数学的性質を持っています。線形システムは、システムの平衡点を計算し、各平衡点の周りを線形システムとして近似することで、一般的な力学系の定性的な挙動を理解するためにも使用できます。

線形力学系では、状態ベクトル（${\displaystyle N}$次元ベクトル​${\displaystyle \mathbf {x} }$) は定数行列 (と表記) に等しい。${\displaystyle \mathbf {A} }$）を掛けた ${\displaystyle \mathbf {x} }$このバリエーションは、フローとして、${\displaystyle \mathbf {x} }$時間とともに連続的に変化する

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)}$

またはマッピングとして、 ${\displaystyle \mathbf {x} }$段階的に変化する

$\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{m}}$

これらの方程式は、次の意味で線形です。 ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$そして$\displaystyle \mathbf {y} (t)$ 2 つの有効な解がある場合、 2 つの解の任意の線形結合も有効な解となります 。例: ${\displaystyle \mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)}$ どこ${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$ は任意の2つのスカラーです。行列${\displaystyle \mathbf {A} }$対称で ある必要はない。

線形力学系は、ほとんどの非線形力学系とは異なり、厳密に解くことができます。非線形システムも、変数変換によって線形システムに変換することで厳密に解ける場合があります。さらに、（ほぼ）すべての非線形システムの解は、その固定点の近傍で等価な線形システムによって十分に近似できます。したがって、線形システムとその解を理解することは、より複雑な非線形システムを理解するための重要な第一歩となります。

初期ベクトル${\displaystyle \mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)}$右固有ベクトル と整列している$\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$行列の${\displaystyle \mathbf {A} }$ダイナミクスは単純です

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}}$

どこ$\displaystyle \lambda _{k}}$は対応する固有値であり、この方程式の解は

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

代替によって確認できる場合もある。

もし${\displaystyle \mathbf {A} }$が対角化可能であるならば、${\displaystyle N}$次元空間は、右固有ベクトルと左固有ベクトルの線形結合（で表される）によって表すことができる。$\displaystyle \mathbf {l} _{k}}$行列の）${\displaystyle \mathbf {A} }$。

${\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}}$

したがって、一般解は次のようになります。${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$これは、右固有ベクトルの個々の解の線形結合である。

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

離散的な写像についても同様の考察が当てはまる。

特性多項式det( A - λ I )の根はAの固有値です。これらの根の符号と関係は、$\displaystyle \lambda _{n}}$互いに、動的システムの安定性を判断するために使用できる。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).}$

2次元システムの場合、特性多項式は次の形式になります。${\displaystyle \lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0}$どこ$\displaystyle \tau }$痕跡と​${\displaystyle \Delta }$はAの行列式です。したがって、2 つの根は次の形式になります。

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$、

そして$\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$そして${\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}}$したがって、${\displaystyle \Delta <0}$すると固有値は反対の符号になり、固定点は鞍点になります。${\displaystyle \Delta >0}$すると、固有値は同じ符号になります。したがって、$\displaystyle \tau >0}$両方ともプラスでポイントが不安定な場合、$\displaystyle \tau <0}$両方とも負の値であれば、その点は安定している。判別式によって、その点が節点か螺旋点か（つまり、固有値が実数か複素数か）がわかる。

• 線形システム
• 力学系
• 力学系に関するトピック一覧
• 行列微分方程式