アルファベータフィルター

アルファベータフィルタ（アルファベータフィルタ、fgフィルタ、ghフィルタとも呼ばれる^{[1] ）は、推定、データ平滑化、制御アプリケーション用の簡略化された}オブザーバ形式です。これは、カルマンフィルタや制御理論で使用される線形状態オブザーバと密接に関連しています。その主な利点は、詳細なシステムモデルを必要としないことです。

アルファ ベータ フィルタは、システムが 2 つの内部状態を持つモデルによって適切に近似され、最初の状態が 2 番目の状態の値を時間にわたって積分することによって得られることを前提としています。測定されたシステム出力値は、最初のモデル状態の観測値と外乱に対応します。この非常に低次の近似は、多くの単純なシステム、たとえば位置が速度の時間積分として得られる機械システムに適しています。機械システムのアナロジーに基づいて、2 つの状態は位置 xと速度 vと呼ぶことができます。速度が測定間の短い時間間隔ΔTにわたってほぼ一定であると仮定すると、位置状態は式 1 を使用して次のサンプリング時間での値を予測するために前方に投影されます。

${\displaystyle {\text{(1)}}\quad {\hat {\textbf {x}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {x}}}_{k-1}+\デルタ {\textrm {T}}\ {\textbf {}}{\hat {\textbf {v}}}_{k-1}}$

速度変数vは一定であると想定されるため、次のサンプリング時間におけるその予測値は現在の値と等しくなります。

${\displaystyle {\text{(2)}}\quad {\hat {\textbf {v}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {v}}}_{k-1}}$

駆動関数が各時間間隔中に v状態をどのように変化させるかについての追加情報がわかっている場合は、その情報を含めるように式 2 を変更できます。

出力測定値は、簡略化された動的モデルに含まれていないノイズや動的効果のために予測から外れると考えられる。この予測誤差rは、統計的またはカルマンフィルタリングの解釈に基づいて、残差またはイノベーションとも呼ばれる。

${\displaystyle {\text{(3)}}\quad {\hat {\textbf {r}}}_{k}\leftarrow {\textbf {x}}_{k}-{\hat {\textbf { x}}}_{k}}$

残差rが正であると仮定します。これは、前回のx推定値が低かったか、前回のvが低かったか、またはその 2 つの組み合わせが原因である可能性があります。アルファ ベータ フィルターは、選択されたアルファ定数とベータ定数 (フィルターの名前の由来) を受け取り、アルファと偏差rの積を使用して位置推定値を修正し、ベータと偏差rの積を使用して速度推定値を修正します。追加のΔT係数は、通常、乗数の大きさを正規化するために役立ちます。

${\displaystyle {\text{(4)}}\quad {\hat {\textbf {x}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {x}}}_{k}+(\alpha )\ {\hat {\textbf {r}}}_{k}}$

${\displaystyle {\text{(5)}}\quad {\hat {\textbf {v}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {v}}}_{k}+(\beta /[\Delta {\textrm {T}}])\ {\hat {\textbf {r}}}_{k}}$

補正は、勾配方向の推定値に沿った小さなステップと考えることができる。これらの調整が蓄積されるにつれて、状態推定値の誤差は減少する。収束と安定性のために、アルファ乗数とベータ乗数の値は正で小さい値でなければならない：^[2]

${\displaystyle \quad 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \quad 0<\beta \leq 2}$

ノイズは の場合にのみ抑制され、それ以外の場合はノイズが増幅されます。 ${\displaystyle 0<\beta <1}$

アルファとベータの値は、通常、実験的に調整されます。一般に、アルファとベータのゲインが大きいほど、過渡的な変化を追跡するための応答が速くなる傾向があり、アルファとベータのゲインが小さいほど、状態推定のノイズ レベルが低下します。正確な追跡とノイズ低減のバランスが取れていて、アルゴリズムが効果的であれば、フィルター処理された推定値は直接測定よりも正確になります。これが、アルファ ベータ プロセスをフィルターと呼ぶ理由です。

初期化します。

1. 事前情報または追加の測定値を使用して、状態推定値xとvの初期値を設定します。それ以外の場合は、初期状態値をゼロに設定します。
2. アルファおよびベータ補正ゲインの値を選択します。

更新。各時間ステップ ΔT ごとに繰り返します。

1. プロジェクトの状態は、式1と式2を使用してxとvを推定します。
2. 出力値の現在の測定値を取得する
3. 式3を使用して残差rを計算する
4. 式4と5を使用して状態推定値を修正する
5. 更新されたxとオプションでvをフィルタ出力として送信する

アルファベータフィルタはC言語^[3]で次のように実装できる。

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> 
 

int main () { float dt = 0.5 ; float xk_1 = 0 , vk_1 = 0 , a = 0.85 , b = 0.005 ; 

	   
	            

	浮動小数点数 xk 、vk 、rk ;浮動小数点数xm ;   
	 

	while ( 1 ) { xm = rand () % 100 ; // 入力信号 
	
		     

		xk = xk_1 + ( vk_1 * dt ); vk = vk_1 ;      
		  

		rk = xm - xk ;    

		xk += a * rk ; vk += ( b * rk ) / dt ;    
		      

		xk_1 = xk ; vk_1 = vk ;  
		  

		printf ( "%f \t %f \n " , xm , xk_1 ); sleep ( 1 ); } }  
		
	

以下の画像は、上記のプログラムの結果をグラフ形式で表したものです。各画像で、青いトレースが入力信号です。出力は、最初の画像では赤、2 番目の画像では黄色、3 番目の画像では緑です。最初の 2 つの画像では、出力信号は入力信号よりも明らかに滑らかで、入力に見られるような極端なスパイクがありません。また、出力は入力の勾配方向の推定値に沿って移動します。

アルファパラメータが高いほど、入力xの効果が大きくなり、減衰が少なくなります。ベータ値が低いと、速度の急激な上昇を抑えるのに効果的です。また、アルファが1を超えて増加すると、出力は入力よりも粗く不均一になります。^[3]

より一般的な状態オブザーバー (線形制御システム用のLuenberger オブザーバーなど) は、厳密なシステム モデルを使用します。線形オブザーバーは、ゲイン マトリックスを使用して、測定された変数と、状態変数の線形結合である予測出力との間の複数の偏差から状態推定補正を決定します。アルファ ベータ フィルターの場合、このゲイン マトリックスは 2 つの項に縮小されます。最適なオブザーバー ゲイン項を決定するための一般的な理論はなく、通常、ゲインは両方の実験によって調整されます。

線形 Luenbergerオブザーバー方程式は、次の特殊化と簡略化を適用することでアルファ ベータ フィルターに簡略化されます。

• 離散状態遷移行列Aは次元 2 の正方行列であり、すべての主対角項は 1 に等しく、最初の上対角項はΔTに等しくなります。
• 観測方程式行列C には、出力用の最初の状態変数の値を選択する 1 つの行があります。
• フィルタ補正ゲイン行列L には、アルファ ゲイン値とベータ ゲイン値を含む 1 つの列があります。
• 2 番目の状態項の既知の駆動信号は、入力信号ベクトルuの一部として表され、それ以外の場合はuベクトルはゼロに設定されます。
• ベクトルuがゼロでない場合、入力結合行列B の最後の要素にはゼロでないゲイン項があります。

カルマンフィルターは、アルファ ベータ フィルターや状態オブザーバーと同様の方法で状態変数の値を推定し、修正します。ただし、カルマン フィルターは、これをより形式的かつ厳密な方法で行います。カルマン フィルターとアルファ ベータ フィルターの主な違いは次のとおりです。

• 状態オブザーバーと同様に、カルマン フィルターは 2 つの状態変数に制限されない詳細な動的システム モデルを使用します。
• 状態オブザーバーと同様に、カルマン フィルターは一般に複数の観測変数を使用して状態変数の推定値を修正しますが、これらは個々のシステム状態を直接測定する必要はありません。
• カルマン フィルターは、状態と観測値に共分散ノイズ モデルを使用します。これらを使用して、状態共分散の時間依存推定値が自動的に更新され、そこからカルマン ゲインマトリックス項が計算されます。アルファ ベータ フィルターのゲインは手動で選択され、静的です。
• 特定の種類の問題では、カルマン フィルターはウィーナー最適ですが、アルファ ベータ フィルタリングは一般に次善です。

プロセス ノイズ共分散と測定共分散を一定に保ちながら、一定速度のターゲット ダイナミクス (プロセス) モデル (つまり、測定更新間の一定速度) を使用して移動するオブジェクトを追跡するように設計されたカルマン フィルタは、アルファ ベータ フィルタと同じ構造に収束します。ただし、カルマン フィルタのゲインは、想定されるプロセスと測定エラー統計を使用して各時間ステップで再帰的に計算されますが、アルファ ベータのゲインはアドホックに計算されます。

アルファベータフィルタは、フィルタパラメータがサンプリング間隔、プロセス分散、ノイズ分散から次のように計算されると、定常カルマンフィルタになる^{[4] [5]}${\displaystyle T}$${\displaystyle \sigma _{w}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{v}^{2}}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\sigma _{w}T^{2}}{\sigma _{v}}}}$

${\displaystyle r={\frac {4+\lambda -{\sqrt {8\lambda +\lambda ^{2}}}}{4}}}$

${\displaystyle \alpha =1-r^{2}}$

${\displaystyle \beta =2\left(2-\alpha \right)-4{\sqrt {1-\alpha }}}$

このフィルタパラメータの選択により、平均二乗誤差が最小化されます。

定常状態のイノベーション分散は 次のように表すことができます。 ${\displaystyle s}$

${\displaystyle s={\frac {\sigma _{v}^{2}}{1-\alpha ^{2}}}}$

このフィルタ ファミリのより単純なメンバーは、1 つの状態のみを観察するアルファ フィルタです。

${\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {x}}}_{k}+(\alpha )\ {\hat {\textbf {r} }}_{k}}$

最適パラメータは次のように計算される：^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\sigma _{w}T^{2}}{\sigma _{v}}}\\\alpha &={\frac {-\lambda ^{2}+{\sqrt {\lambda ^{4}+16\lambda ^{2}}}}{8}}\end{aligned}}}$

この計算は、移動平均とローパス フィルターで同一です。指数平滑化は、目的のアルファ フィルターと数学的に同一です。

2 番目の状態変数が急速に変化するとき、つまり最初の状態の加速度が大きいときは、アルファ ベータ フィルタの状態を 1 レベル拡張すると便利です。この拡張では、2 番目の状態変数v は、3 番目の加速度状態を積分して得られます。これは、最初の状態が 2 番目の状態を積分して得られるのと似ています。方程式系にa状態の方程式が追加されます。3 番目の乗数gammaは、新しいa状態推定値に補正を適用するために選択されます。これにより、アルファ ベータ ガンマ更新方程式が生成されます。 ^[1]

${\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {x}}}_{k}+(\alpha )\ {\textbf {r}}_{ k}}$

${\displaystyle {\hat {\textbf {v}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {v}}}_{k}+(\beta /[\Delta {\textrm {T}} ])\ {\textbf {r}}_{k}}$

${\displaystyle {\hat {\textbf {a}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {a}}}_{k}+(2\gamma /[\Delta {\textrm {T} }]^{\textrm {2}})\ {\textbf {r}}_{k}}$

追加の高次システムへの同様の拡張は可能ですが、ほとんどの高次システムは複数の状態間で大きな相互作用を持つ傾向があるため、^{[引用が必要]、}システムダイナミクスを単純な積分チェーンとして近似することはあまり有用ではないと考えられます。

アルファ-ベータ-ガンマフィルタの最適パラメータの計算は、アルファ-ベータフィルタの場合よりも少し複雑です。^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\sigma _{w}T^{2}}{\sigma _{v}}}\\[2ex]b&={\frac {\lambda }{2}}-3\\c&={\frac {\lambda }{2}}+3\\d&=-1\\p&=c-{\frac {b^{2}}{3}}\\q&={\frac {2b^{3}}{27}}-{\frac {bc}{3}}+d\\v&={\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}}\\z&=-{\sqrt[{3}]{q+{\frac {v}{2}}}}\\s&=z-{\frac {p}{3z}}-{\frac {b}{3}}\\[2ex]\alpha &=1-s^{2}\\\beta &=2(1-s)^{2}\\\gamma &={\frac {\beta ^{2}}{2\alpha }}\end{aligned}}}$

• カルマンフィルタ
• 制御理論
• 状態空間（コントロール）
• 移動平均

出典

• 「アルファベータフィルタ」、ペノイヤー、ロバート、C ユーザーズジャーナル、1993 年 7 月
• 「エンジン速度監視: アルファベータ フィルター」、Microstar Laboratories
• 「定常カルマン フィルタとアルファベータ フィルタ設計の調和」、Painter, JH、Kerstetter, D.、Jowers, S. 著、IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems、第 26 巻、第 6 号、1990 年 11 月、986 ～ 991 ページ
• 目標軌道平滑化のための固定遅延アルファベータフィルタ Ogle, TL; Blair, WD Aerospace and Electronic Systems、IEEE Transactions on Volume 40、Issue 4、2004 年 10 月、pp. 1417–1421
• 「直交座標におけるアルファベータフィルタの説明」、カントレル、ベン H.、海軍研究所、ワシントン DC、1973 年 3 月 21 日
• 「レーダー追跡問題に対する 4 つのフィルタリング オプションの比較」、Lawton, John A.、Jesionowski, Robert J.、Zarchan, Paul 著。海軍水上戦闘センター、DAHLGREN DIV VA、1979 年。
• マルチセンサー データ フュージョンの数学的手法、David Lee Hall、Sonya AH 著、Artech House、2004 年、ISBN  1-58053-335-3、セクション 4.4.4

• Alpha-Beta C# ソースコードサンプル
• Alpha-Beta C ソースコードサンプル
• アルファベータトラッカーとカルマンフィルタの追跡性能の比較
• アルファ-ベータ-ガンマ フィルター、Alex Becker による多数の数値例と直感的な説明を含むオンライン チュートリアル。