非線形フィルタ

信号処理において、非線形フィルタとは、出力が入力の線形関数ではないフィルタのことです。つまり、フィルタは2 つの入力信号rとsに対して信号RとS を別々に出力しますが、入力が線形結合αr + βsである場合は、必ずしもαR + βSを出力するわけではありません。

連続領域フィルタと離散領域フィルタは両方とも非線形である可能性があります。前者の簡単な例としては、任意の瞬間の出力電圧 R ( t )が入力電圧r ( t )の 2 乗である電気デバイス、または入力が固定範囲[ a、b ]にクリップされる、つまりR ( t ) = max( a、 min( b、r ( t )))である電気デバイスが挙げられます。後者の重要な例は、すべての出力サンプルR _iが最後の 3 つの入力サンプルr _i、r _{i −1}、r _{i −2}の中央値になるようなランニングメディアンフィルタです。線形フィルタと同様に、非線形フィルタはシフト不変の場合とそうでない場合があります。

非線形フィルタは、特に加法性のない特定の種類のノイズの除去において、多くの用途があります。たとえば、メディアン フィルタは、サンプルのごく一部にのみ影響し、場合によっては非常に大きな影響を与えるスパイク ノイズの除去に広く使用されています。実際、すべての無線受信機は、キロヘルツからギガヘルツの信号をオーディオ周波数範囲に変換するために非線形フィルタを使用しています。また、すべてのデジタル信号処理は、アナログ信号を2 進数に変換するために非線形フィルタ (アナログ - デジタル コンバータ)に依存しています。

ただし、非線形フィルタは、信号解析の最も強力な数学的ツール (インパルス応答や周波数応答など) を使用できないため、線形フィルタよりも使用および設計がかなり困難です。したがって、たとえば、適切な非線形フィルタを設計および構築するのは非常に難しいため、非線形プロセスによって生成されたノイズや歪みを除去するために線形フィルタがよく使用されます。

以上のことから、非線形フィルタは線形フィルタとはまったく異なる動作をすることがわかります。最も重要な特徴は、非線形フィルタの場合、フィルタ出力またはフィルタ応答が、前述の原則、特にスケーリングとシフト不変性に従わないことです。さらに、非線形フィルタは、直感的でない方法で変化する結果を生成する可能性があります。

線形システムを定義する原理はいくつかある。線形性の基本的な定義は、出力が入力の線形関数でなければならないということである。つまり、

${\displaystyle \alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}$

任意のスカラー値およびに対して成り立ちます。これは線形システム設計の基本的な特性であり、重ね合わせとして知られています。したがって、この式が成立しない場合、システムは非線形であると言われます。つまり、システムが線形である場合、重ね合わせの原理を適用できます。この重要な事実は、線形システム解析の手法が非常によく開発されてきた理由です。 ${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \beta \,}$

信号は伝送中または処理中に破損することが多く、フィルタ設計の一般的な目標は元の信号の復元、一般に「ノイズ除去」と呼ばれるプロセスです。最も単純なタイプの破損は加法性ノイズで、必要な信号Sに、 Sと関係のない不要な信号Nが加算されます。ノイズN がガウスノイズなどの単純な統計的記述を持つ場合、 カルマンフィルタはN を減らし、シャノンの定理で許容される範囲でS を復元します。特に、SとN が周波数領域で重ならない場合は、線形バンドパスフィルタによって完全に分離できます。

一方、他のほとんどの形式のノイズの場合、最大限の信号回復には、何らかの非線形フィルタが必要になります。たとえば、乗法ノイズ（信号に追加されるのではなく、信号に乗算される）の場合、入力を対数スケールに変換し、線形フィルタを適用して、結果を線形スケールに変換するだけで十分な場合があります。この例では、最初のステップと 3 番目のステップは線形ではありません。

非線形フィルタは、信号の特定の「非線形」特性が全体的な情報内容よりも重要である場合にも役立ちます。たとえば、デジタル画像処理では、写真内のオブジェクトのシルエットエッジの鮮明さや、スキャンした図面内の線の連結性を維持したい場合があります。線形ノイズ除去フィルタは通常、これらの特性をぼかします。非線形フィルタを使用すると、より満足のいく結果が得られる場合があります (ぼやけた画像の方が情報理論的な意味でより「正しい」場合でも)。

多くの非線形ノイズ除去フィルタは時間領域で動作します。通常、これらのフィルタは各サンプルを囲む有限のウィンドウ内で入力デジタル信号を調べ、何らかの統計的推論モデル（暗黙的または明示的に）を使用して、その時点での元の信号の最も可能性の高い値を推定します。このようなフィルタの設計は、推定理論および制御理論における確率過程のフィルタリング問題として知られています。

非線形フィルタの例には次のものがあります。

• 位相同期回路
• 検出器
• ミキサー
• 中央値フィルター
• ランクレット

非線形フィルタも、画像処理機能において決定的な位置を占めています。リアルタイム画像処理の一般的なパイプラインでは、画像情報の形成、整形、検出、操作を行うために、多くの非線形フィルタが組み込まれているのが一般的です。さらに、これらのフィルタ タイプはそれぞれ、適応フィルタ ルール生成を使用して、特定の状況下では 1 つの方法で動作し、別の状況下では別の方法で動作するようにパラメータ化できます。その目的は、ノイズ除去から特徴の抽象化までさまざまです。画像データのフィルタリングは、ほぼすべての画像処理システムで使用される標準的なプロセスです。非線形フィルタは、フィルタ構築の最もよく利用される形式です。たとえば、画像に含まれるノイズは少ないが、ノイズの振幅が比較的大きい場合は、メディアン フィルタの方が適している可能性があります。

ここでの文脈は、確率過程理論のレンズを通して見た非線形フィルタリング問題の定式化です。この文脈では、ランダム信号とノイズの多い部分観測の両方が連続時間確率過程によって記述されます。推定される観測されていないランダム信号は、非線形伊藤確率微分方程式によってモデル化され、観測関数は、連続時間観測ノイズによって摂動された観測である観測されていない信号の連続時間非線形変換です。ダイナミクスの非線形性を考えると、線形フィルタに適用できる一般的な周波数領域の概念は実行できず、状態空間表現に基づく理論が定式化されます。特定の時間における非線形フィルタに関する完全な情報は、その時間までの観測履歴を条件とする、その時間における観測されていない信号の確率法則です。この法則には密度がある場合があり、この法則の密度の無限次元方程式は、確率偏微分方程式(SPDE) の形をとります。この文脈における最適非線形フィルタリングの問題は、1950年代後半から1960年代前半にかけて、Ruslan L. Stratonovich ^{[1] [2] [3] [4]}とHarold J. Kushner ^[5]によって解決されました。 最適フィルタSPDEは、Kushner-Stratonovich方程式と呼ばれます。1969年に、Moshe Zakaiは、Zakai方程式として知られるフィルタの非正規化条件法則の簡略化されたダイナミクスを導入しました。^[6] Mireille Chaleyat-MaurelとDominique Michel ^[7]は、解が一般に無限次元であり、有限次元の近似が必要であることを証明しました。これらは、拡張カルマンフィルタや、ピーター・S・メイベック^{[8]が説明した仮定密度}フィルタ、ダミアーノ・ブリゴ、バーナード・ハンゾン、フランソワ・ル・グラン^[9]が導入した射影フィルタなどのヒューリスティックに基づくものであり、その一部のサブファミリーは仮定密度フィルタと一致することが示されています。^[10] 粒子フィルタ^[11]は、シーケンシャルモンテカルロ法に関連する別のオプションです。

エネルギー転送フィルタは、設計された方法でエネルギーを移動するために使用できる非線形動的フィルタの一種です。^[12]エネルギーは、より高い周波数帯域またはより低い周波数帯域に移動したり、設計された範囲に広げたり、集中させたりすることができます。エネルギー転送フィルタの設計は多様であり、線形設計では不可能なフィルタ設計の自由度が増します。

最小フィルターは、形態学的画像処理では侵食とも呼ばれ、画像処理に使用される空間領域フィルターです。画像内の各ピクセルを、隣接するピクセルの最小値に置き換えます。

近隣のサイズと形状は、構造要素（通常は正方形または円形のマスク）によって定義されます。

変換により、実行中のウィンドウ内の中央のピクセルが最も暗いピクセルに置き換えられます。

たとえば、薄く印刷されたテキストがある場合、最小フィルターを使用すると文字が太くなります。

最大フィルターは、形態学的画像処理では膨張とも呼ばれ、画像処理に使用される別の空間領域フィルターです。

画像内の各ピクセルを、構造要素によって定義された隣接ピクセルの最大値に置き換えます。

最大フィルターと最小フィルターはシフト不変です。最小フィルターは実行中のウィンドウ内の中央のピクセルを最も暗いピクセルに置き換えますが、最大フィルターは中央のピクセルを最も明るいピクセルに置き換えます。

たとえば、太いペンでテキスト文字列を描画すると、標識を細くすることができます。

• 移動地平線推定
• 非線形システム
• 粒子フィルター
• カルマンフィルタの無香料カルマンフィルタセクション
• 非線形フィルタリング問題
• 投影フィルター

• 非線形信号処理に関するイリヤ・シュムレビッチ教授のページ