異なる理想

代数的整数論において、異なるイデアル（単に異なると呼ばれることもある）は、代数的数体Kの整数環における（起こり得る）双対性の欠如を、体トレースに関して測定するために定義される。これは、整数環の素イデアルの分岐データを符号化する。これは、1882 年にリチャード・デデキントによって導入された。 ^{[1] [2]}

O _KがKの整数環であり、trがKから有理数体 Qへの体トレースを表す場合、

${\displaystyle x\mapsto \mathrm {tr} ~x^{2}}$

はO _K上の整二次形式である。二次形式としての判別式は +1 である必要はない（実際これはK = Qの場合にのみ起こる）。逆異微分[ ^{3] [4]}またはデデキントの補集合^[5]をx ∈ Kの集合Iとして定義し、 tr( xy ) がO _Kのすべてのyに対して整数となるようにすると、I はO _{K を}含むKの分数イデアルになる。定義により、異イデアルδ _Kは逆分数イデアルI ^{−1 、すなわち}O _Kのイデアルである。

δ _Kの理想ノルムは、 Kの 体判別式D _Kによって生成されるZの理想に等しい。

Kの元αの最小多項式fとの差は、αが体Kを生成する場合δ(α) = f ′(α)と定義され 、そうでない場合は0となる 。^[6]

${\displaystyle \delta (\alpha )=\prod \left({\alpha -\alpha ^{(i)}}\right)\ }$

ここでα ^{( i )は}α自体以外のαの特性多項式のすべての根を通る。^[7] 異なるイデアルはO _K内のすべての整数αの異なるものによって生成される。^{[6] [8]} これはデデキントのオリジナルの定義である。^[9]

異なるは局所体の有限次拡大に対しても定義され、 p 進体に対するポントリャーギン双対性において基本的な役割を果たします。

相対差δ _{L  /  K は}、数体L  /  Kの拡張に対しても同様に定義されます。相対差の相対ノルムは、相対判別式 Δ _{L  /  K}に等しくなります。^[10]体 L  /  K  /  Fの塔 では、相対差は δ _{L  /  F} = δ _{L  /  K} δ _{K  /  F}によって関連付けられます。^{[5] [11]}

相対的な差異は相対的なケーラー微分加群の消滅子に等しい：^{[10] [12]}${\displaystyle \オメガ _{O_{L}/O_{K}}^{1}}$

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in O_{L}:x\mathrm {d} y=0{\text{すべてのy\in O_{L}に対して}.}$

相対差異 δ _{L  /  K}の理想類は、常にLの整数環であるO _Lの類群の平方である。^{[13]相対判別式は相対差異のノルムであるため、それは}O _K の類群の類の平方である。^{[14]実際、それは}O _K加群としてのO _Lのシュタイニッツ類の平方である。^[15]

相対的な差異は、体拡大L  /  Kの分岐データをエンコードします。 Kの素イデアルpがLに分岐するのは、 pのLでの因数分解にLの 1 より大きいべき乗の素数が含まれる場合です。これは、 p が相対判別式 Δ _{L  /  K}を割り切る場合にのみ発生します。より正確には、

p = P ₁ ^{e (1)} ... P _k ^{e ( k )}

がpをLの素イデアルに因数分解したものであるとき、P _{i が}相対差分 δ _{L  /  K を}割り切るのは、 P _iが分岐している場合、つまり分岐指数e ( i ) が 1 より大きい場合のみです。 ^{[11] [16]分岐した素数}P がδ を割り切る 正確な指数はPの微分指数と呼ばれ、P が穏やかに分岐している場合、つまり P が e を割り切らない場合、e − 1 に等しくなります。[17] Pが乱暴に分岐している 場合、^微分指数はe からe + e  ν  P ( _e ) − 1 の範囲にあります。^{[16] [18] [19]微分指数は、ガロア拡大の}高次分岐群 の位数から計算できます。^[20] $${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$$

差分は、局所体L  /  Kの拡張に対して定義できます。この場合、拡張は単純なものであり、べき乗積分基底も生成する原始元 α によって生成されると考えられます。fがα の最小多項式である場合、差分は f' (α) によって生成されます。

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