等モノドロミー変形

フックス系は線形微分方程式のシステムである^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=A(x)y=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{x-\lambda _{i}}}y}$

ここで、xは複素射影直線の値をとる。$\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$、yは値を取ります${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$A _iは定数n × n行列です。この方程式の解は、x = λ _iの極限で多項式的に増加します。n個の独立した列解を基本行列に配置することで${\displaystyle Y=(y_{1},...,y_{n})}$ それから${\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=AY}$そして、 ${\displaystyle Y}$ 値を取る${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$簡略化のため、無限遠に極は存在しないと仮定する。これは、次の条件に相当する。 $\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}=0.}$

ここで、極から離れたリーマン球面上に基点bを固定する。基本解の解析接続${\displaystyle Y_{1}}$任意の極λ _iの周りを回って基点に戻ると、新しい解が得られる。${\displaystyle Y_{2}}$bの近くで定義されます。新しい解と古い解は、モノドロミー行列M _iによって次のように関連付けられます。

${\displaystyle Y_{2}=Y_{1}M_{i}.}$

したがって、穴の開いた球面の基本群からモノドロミー表現へのリーマン・ヒルベルト準同型写像が得られる。

$\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {CP} ^{1}-\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\}\right)\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

基点の変更は、単にすべてのモノドロミー行列の（同時）共役をもたらすだけである。共役を法とするモノドロミー行列が、フックス系のモノドロミーデータを定義する。

さて、与えられたモノドロミーデータから、このモノドロミーを示すフックス系を見つけることができるだろうか？これはヒルベルトの21番目の問題の一形態である。座標xとを区別しない。${\displaystyle {\hat {x}}}$これらはメビウス変換によって関連付けられており、ゲージ等価なフックス系を区別しない。これは、Aと

${\displaystyle g^{-1}(x)Ag(x)-g^{-1}(x){\frac {dg(x)}{dx}}}$

これらは、任意の正則ゲージ変換g ( x )に対して等価であるとみなされる。（したがって、フックス系を幾何学的に、リーマン球面上の自明なランクnベクトル束上の単純極を持つ接続とみなすのが最も自然である。）

一般的なモノドロミーデータの場合、ヒルベルトの21番目の問題に対する答えは「はい」です。最初の証明はヨシップ・プレメリによって与えられました。^{[ 2 ]}しかし、この証明は一般的なデータに対してのみ有効であり、1989年にアンドレイ・ボリブルクによって、答えが「いいえ」となる特定の「退化」ケースが存在することが示されました。 ^{[ 3 ]}ここでは、一般的なケースに完全に焦点を当てます。

一般的に、同じモノドロミーデータを持つフックス系は多数存在する。したがって、特定のモノドロミーデータを持つ任意のフックス系に対して、等モノドロミー変形を行うことができる。そのため、行列A _iが極の位置に依存するフックス系の族を研究することになる。

1912年、ルートヴィヒ・シュレジンガーは、一般に、一般的なフックス系のモノドロミーデータを保存する変形は、現在彼の名が冠されている可積分なホロノミック偏微分方程式系によって支配されることを証明した。^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}&={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i\\{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{i}}}&=-\sum _{j\neq i}{\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}.\end{aligned}}}$

最後の式は、しばしば次のように等価的に記述される。 $\sum_{j}{\frac{\partial A_{i}}{\partial \lambda_{j}}}=0.}$

これらは、一般的なフックス系に対する等モノドロミー方程式です。これらの方程式の自然な解釈は、可能な極位置からなる「変形パラメータ空間」上のベクトル束における自然接続の平坦性として表されます。非一般的な等モノドロミー変形の場合、積分可能な等モノドロミー方程式は存在しますが、シュレジンガー方程式ではなくなります。

A _{i が}リー代数の値をとる場合のみに注目すると、${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$すると、ガルニエ積分可能システムが得られます。さらに、極が4つしかない場合に特化すると、シュレジンガー/ガルニエ方程式は有名な第6パンルヴェ方程式に帰着します。

フックスの設定で説明されているモノドロミー表現に加えて、拡張モノドロミーデータを保持するには、線形常微分方程式の不規則系の変形が必要となる。大まかに言えば、モノドロミーデータは、特異点の近傍で正準解を結合するデータとみなされる。${\displaystyle x_{i}=x-\lambda _{i}}$次数λ _iの極付近の局所座標として$\displaystyle r_{i}+1}$すると、局所的にシステムが次のようになるような正則ゲージ変換gを項ごとに解くことができる。

${\displaystyle {\frac {d(g_{i}^{-1}Z_{i})}{dx_{i}}}=\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {(-j)T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j+1}}}+{\frac {M^{(i)}}{x_{i}}}\right)(g_{i}^{-1}Z_{i})}$

どこ${\displaystyle M^{(i)}}$そして${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$これらは対角行列です。これが妥当であれば、非常に有用です。なぜなら、（少なくとも局所的には）システムをn個のスカラー微分方程式に分離し、それを簡単に解くことで（局所的に）次のことが分かるからです。

${\displaystyle Z_{i}=g_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

しかし、これはうまくいきません。なぜなら、gについて項ごとに解かれたべき級数は、一般に収束しないからです。

神保、三輪、上野は、このアプローチが特異点の近傍で正準解を与えるため、拡張モノドロミーデータを定義するために使用できることを示した。これは、ジョージ・バーコフの定理によるもので、そのような形式的級数が与えられた場合、極の周りの十分大きなセクターでは、 G _iがg iに漸近し_、

${\displaystyle Y=G_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

は微分方程式の真の解である。したがって、各極付近の各セクターに正準解が現れる。拡張モノドロミーデータは以下で構成される。

• フクシアンの場合と同様に、モノドロミー表現からのデータ。
• 同じ極にある隣接するセクター間の標準解を結びつけるストークス行列。
• 異なる極にあるセクター間の標準解を結びつける接続行列。

これまでと同様に、ここでは、すべて同じ（一般的な）特異点構造を持つ線形微分方程式系の族を考える。したがって、行列は${\displaystyle A_{j}^{(i)}}$_{パラメータに依存する。極λ i}の位置を変化させることはできるが、それに加えて、対角行列の要素も変化させることができる。${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$これらは、各極付近の標準解に現れる。

神保、三輪、上野は、「変形パラメータ空間」上に1形式を定義すると、

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}\left(Ad\lambda _{i}-g_{i}D\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}T_{j}^{(i)}\right)g_{i}^{-1}\right)}$

（ここでDは、${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$のみ）

Aで指定される有理型線形システムの変形は、以下の条件を満たす場合に限り、等モノドロミーである。

${\displaystyle dA+[\Omega ,A]+{\frac {d\Omega }{dx}}=0.}$

これらは神保・三輪・上野等モノドロミー方程式である。これまでと同様に、これらの方程式は変形パラメータ空間における自然接続の平坦性として解釈できる。

これは、等モノドロミー変形方程式の解の最も重要な性質と言えるでしょう。つまり、極の位置は変化するものの、解の本質的な特異点はすべて固定されているということです。この性質は、フックス系の場合についてはベルナール・マルグランジュによって、一般的な場合については三輪哲司によって証明されました。

実際、偏微分方程式（または偏微分方程式の系）が与えられたと仮定すると、「等モノドロミー方程式への還元を持つ」ことは、多かれ少なかれパンルヴェの性質と同等であり、したがって積分可能性のテストとして使用できます。

一般に、等モノドロミー方程式の解は、線形微分方程式の解のようなより単純な関数で表すことはできません。しかし、特定の（より正確には、還元可能な）拡張モノドロミーデータの選択においては、解はそのような関数（あるいは少なくとも「より単純な」等モノドロミー超越関数）で表すことができます。この超越が具体的に何を意味するのかを研究する上で、梅村浩とベルナール・マルグランジュによる「非線形微分ガロア理論」の発明が大きな役割を果たしました。

代数的な非常に特殊な解も存在する。このような代数的な解の研究には、変形パラメータ空間の位相（特にその写像類群）の検討が含まれる。単純極の場合、これはブレイド群の作用の研究に相当する。特に重要な第6パンルヴェ方程式については、ボリス・ドゥブロビンとマルタ・マッツォッコによる注目すべき貢献があり、最近ではフィリップ・ボアルチによってより大きなクラスのモノドロミーデータに拡張されている。

有理解は、しばしば特殊な多項式と関連付けられます。第6パンルヴェ方程式の場合のように、これらはよく知られた直交多項式である場合もありますが、零点の分布や相互連結特性が非常に興味深い新しいクラスの多項式も存在します。このような多項式の研究は、主にピーター・クラークソンとその共同研究者によって行われてきました。

等モノドロミー方程式は、ハミルトニアン形式を用いて書き換えることができる。この観点は、1980年代に岡本和夫がパンルヴェ方程式に関する一連の論文で詳細に論じた。

これらはまた、リーマン面上の平坦接続の空間におけるアティヤ・ボットのシンプレクティック構造を、有理型幾何学の世界に自然に拡張したものとみなすこともできる。これはフィリップ・ボアルチが追求した視点である。実際、極の位置を固定すれば、完全なハイパーケーラー多様体さえ得られる。これはオリヴィエ・ビカールとフィリップ・ボアルチによって証明された結果である。^{[ 6 ]}

モーメント写像からループ代数（の中心拡張）への別の記述方法もある。これはジョン・ハーナッドによって導入され、ニック・ウッドハウスによって一般的な特異点構造の場合に拡張された視点である。この後者の視点は、基礎となる方程式の極構造とランクが異なる等モノドロミー方程式間の興味深いラプラス変換と密接に関連している。

等モノドロミー方程式は、(一般化された)反自己双対ヤン・ミルズ方程式の(一般的な)完全な次元縮小として現れる^{[ 7 ]}。ペンローズ・ウォード変換により、それらはツイスター空間と呼ばれる複素多様体上の正則ベクトル束の観点から解釈することができる。これにより、超越関数の性質を研究する際に代数幾何学の強力な手法を用いることができる。このアプローチは、ナイジェル・ヒッチン、ライオネル・メイソン、ニック・ウッドハウスによって追求されてきた。

特異点上で分岐したリーマン面の族に関連するデータを考慮することで、等モノドロミー方程式を非同次ガウス・マニン接続として考えることができる。これにより、等モノドロミー方程式をアーベル関数を用いて記述する別の方法が得られる。この方法はフックスとパンルヴェには知られていたが、1996年にユーリ・マニンによって再発見されるまで忘れ去られていた。

特定の超越関数は、その漸近挙動によって特徴づけられる。このような挙動の研究は、ピエール・ブートルーらの研究に代表される、等モノドロミーの初期にまで遡る。

• Its, Alexander R.; Novokshenov, Victor Yu. (1986), 「パンルヴェ方程式の理論における等モノドロミック変形法」、Lecture Notes in Mathematics、第 1191巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-16483-8MR 0851569​ 
• Sabbah, Claude (2007), Isomonodromic deformations and Frobenius manifolds , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84800-053-7ISBN​ 978-2-7598-0047-6MR 1933784