ボーズガス

箱の中の気体に関する記事で説明した手順に従い、トーマス・フェルミ近似を適用できます。この近似では、平均エネルギーが準位間のエネルギー差に比べて大きいと仮定し、上記の和を積分に置き換えることができます。この置き換えにより、巨視的なグランドポテンシャル関数が得られます。${\displaystyle \Omega _{m}}$これは、${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle \Omega _{\rm {m}}=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg\approx \Omega .}$

退化度dgは、様々な状況において、一般式で表すことができる。

${\displaystyle dg={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\,{\frac {E^{\,\alpha -1}}{E_{\rm {c}}^{\alpha }}}~dE}$

ここで、αは定数、Ec_は臨界エネルギー、Γはガンマ関数である。例えば、箱の中の質量のあるボーズガスの場合、α = 3/2となり、臨界エネルギーは次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}}={\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}}$

ここで、Λは熱波長、fは縮退因子（単純なスピンレスボソンの場合はf = 1）である。調和トラップ内の質量を持つボーズガスの場合、 α = 3となり、臨界エネルギーは次式で与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}}$

ここで、^V ( r ) = mω²r² / ^{2は調和ポテンシャルである。Ec}は体積のみの関数であることがわかる_。

大電位のこの積分式は、次のように評価されます。

${\displaystyle \Omega _{\rm {m}}=-{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha +1}(z)}{\left(\beta E_{\text{c}}\right)^{\alpha }}},}$

ここで、Li _s ( x ) は多対数関数です。

ボーズガスに対するこの連続体近似の問題点は、基底状態が事実上無視されているため、エネルギーがゼロの場合に縮退度がゼロになってしまうことです。この不正確さはボーズ・アインシュタイン凝縮を扱う際に深刻になり、次のセクションで詳しく説明します。後述するように、低温であっても、上記の結果はガスの凝縮していない部分の熱力学を正確に記述するのに依然として有効です。

粒子の総数は、大ポテンシャルから次のように求められます。

${\displaystyle N_{\rm {m}}=-z{\frac {\partial \Omega _{m}}{\partial z}}={\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}.}$

これはzとともに単調に増加します（最大値z = +1まで）。ただし、 z = 1に近づくときの挙動は、 αの値に大きく依存します（つまり、ガスが1次元、2次元、3次元のいずれであるか、平坦なポテンシャル井戸にあるか調和ポテンシャル井戸にあるかに依存します）。

α > 1の場合、粒子の数は有限の最大値までしか増加しない。つまり、z = 1ではN _mは有限である。

${\displaystyle N_{\rm {m,max}}={\frac {\zeta (\alpha )}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}},}$

ここで、 ζ ( α ) はリーマンゼータ関数です( Li _α ( 1 ) = ζ ( α )を使用)。したがって、粒子数N _{mが固定されている場合、} βが取り得る最大値は臨界値β _cです。これは臨界温度T _c = 1/ k _B β _cに対応し、この温度以下ではトーマス・フェルミ近似が破綻します (低温では、状態の連続体はもはやこれほど多くの粒子を支えることができません)。上記の式は臨界温度について解くことができます。

${\displaystyle T_{\rm {c}}=\left({\frac {N}{\zeta (\alpha )}}\right)^{1/\alpha }{\frac {E_{\rm {c}}}{k_{\rm {B}}}}}$

例えば、箱の中の三次元ボーズガスの場合（${\displaystyle \alpha =3/2}$そして、上記のE _cの値を用いると、次のようになります。

${\displaystyle T_{\rm {c}}=\left({\frac {N}{Vf\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{\rm {B}}}}}$

α ≤ 1の場合、粒子の数に上限はありません ( n _{m は}z が1 に近づくにつれて発散します)。したがって、たとえば 1 次元または 2 次元の箱の中の気体 (それぞれα = 1/2およびα = 1 ) には臨界温度はありません。

上記の問題は、 α > 1の場合、固定数の粒子を持つボーズガスを臨界温度以下に下げるとどうなるかという疑問を提起します。ここでの問題は、トーマス・フェルミ近似が基底状態の縮退度をゼロに設定していることですが、これは誤りです。凝縮体を受け入れる基底状態が存在しないため、粒子は状態の連続体から単純に「消えて」しまいます。しかし、巨視的な方程式は励起状態にある粒子の数を正確に推定しており、連続体から外れた粒子を受け入れるために基底状態項を単純に「追加」することは、悪い近似ではないことがわかります。

${\displaystyle N=N_{0}+N_{\rm {m}}=N_{0}+{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}}}$

ここで、N ₀は基底状態凝縮体中の粒子の数である。

したがって、巨視的極限において、T < T _cの場合、 zの値は1 に固定され、N ₀が残りの粒子を占めます。T > T _cの場合は通常の挙動を示し、N ₀ = 0となります。このアプローチにより、巨視的極限における凝縮粒子の割合が得られます。

${\displaystyle {\frac {N_{0}}{N}}={\begin{cases}1-\left({\frac {T}{T_{\rm {c}}}}\right)^{\alpha }&{\mbox{if }}\alpha >1{\mbox{ and }}T<T_{\rm {c}},\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$

上記のマクロスコピックなボーズガスの標準的な扱いは単純明快ですが、基底状態の導入はやや不格好です。別の方法として、基底状態を明示的に導入する方法（以下のセクションのように、グランドポテンシャルに項を加える）がありますが、これは非現実的なゆらぎの破局を引き起こします。任意の状態にある粒子の数は幾何分布に従うため、T < T _cで凝縮が起こり、ほとんどの粒子が 1 つの状態にある場合、粒子の総数に大きな不確実性が生じます。これは、T < T _cで圧縮率が無限大になるという事実に関係しています。代わりに、粒子の総数を固定する正準アンサンブルで計算を実行することもできますが、計算はそれほど簡単ではありません。 ^{[ 2 ]}

しかし実際には、前述の理論上の欠陥は些細な問題であり、最も非現実的な仮定はボソン間の相互作用がないという仮定である。ボソンガスの実験的実現は常に大きな相互作用を持ち、つまり理想気体ではない。相互作用はボソンの凝縮体の振る舞いの物理的性質を大きく変える。基底状態は広がり、化学ポテンシャルは零温度でも正の値に飽和し、ゆらぎの問題は消える（圧縮率は有限になる）。^{[ 3 ]}ボーズ・アインシュタイン凝縮体の記事を参照。

拡大して考えると、その大きな可能性は次のようになる。

${\displaystyle \Omega =g_{0}\ln(1-z)-{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha +1}(z)}{\left(\beta E_{\rm {c}}\right)^{\alpha }}}}$

このポテンシャルからすべての熱力学的性質を計算できます。次の表は、低温極限、高温極限、および無限粒子数極限で計算されたさまざまな熱力学的量を一覧にしたものです。等号（=）は正確な結果を示し、近似記号は、級数の最初の数項のみが正確であることを示します。${\displaystyle \tau ^{\alpha }}$表示されます。

高温極限では、すべての量が古典的な理想気体の値に近づくことがわかる。上記の値を用いて、他の熱力学的量を計算することができる。例えば、内部エネルギーと圧力と体積の積との関係は、あらゆる温度において古典的な理想気体の場合と同じである。

${\displaystyle U={\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}=\alpha PV}$

定容比熱についても同様の状況が当てはまる。

${\displaystyle C_{V}={\frac {\partial U}{\partial T}}=k_{\rm {B}}(\alpha +1)\,U\beta }$

エントロピーは次のように表されます。

${\displaystyle TS=U+PV-G\,}$

高温極限では、次のようになることに注意してください。

${\displaystyle TS=(\alpha +1)+\ln \left({\frac {\tau ^{\alpha }}{\zeta (\alpha )}}\right)}$

これは、α = 3/2 の場合、単にサックル-テトロード方程式の言い換えである。 1 次元では、デルタ相互作用を持つボソンはフェルミオンのように振る舞い、パウリの排他原理に従う。 1 次元のデルタ相互作用を持つボーズガスは、ベーテ仮説によって厳密に解くことができる。 バルク自由エネルギーと熱力学的ポテンシャルは、Chen-Ning Yangによって計算された。 1 次元の場合、相関関数も評価された。^{[ 5 ]} 1 次元のボーズガスは、量子非線形シュレディンガー方程式に相当する。