ガウス・マニン接続

数学において、ガウス・マニン接続とは、代数多様体の族の基底空間S上の特定のベクトル束上の接続のことである。${\displaystyle V_{s}}$ベクトル束のファイバーは、ド・ラームコホモロジー群である。${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(V_{s})}$ 繊維の${\displaystyle V_{s}}$このファミリーに属する。曲線Sについてはユーリ・マニン（1958年）によって、高次元についてはアレクサンダー・グロタンディーク（1966年）によって導入された。  

束の平坦部分は微分方程式で記述されます。その中で最もよく知られているのがピカール・フックス方程式で、これは多様体の族を楕円曲線の族とみなしたときに現れます。直感的に言えば、族が局所的に自明な場合、コホモロジー類を族内の1つのファイバーから近傍のファイバーに移動させることができ、純粋に位相的な意味で「平坦部分」の概念が得られます。接続の存在は、平坦部分から推論されます。

スキームの滑らかな射を考える${\displaystyle X\to B}$特性0に関して。これらの空間を複素解析空間とみなすと、エーレスマンのファイブレーション定理によれば、各ファイバーは${\displaystyle X_{b}=f^{-1}(b)}$は滑らかな多様体であり、各ファイバーは微分同相である。これは、ド・ラームコホモロジー群が${\displaystyle H^{k}(X_{b})}$これらはすべて同型である。この観察結果を利用して、基底空間のベクトル場を用いてコホモロジー類を区別しようとしたときに何が起こるかを問うことができる。${\displaystyle B}$。

コホモロジークラスを考える${\displaystyle \alpha \in H^{k}(X)}$そのため${\displaystyle i_{b}^{*}(\alpha )\in H^{k}(X_{b})}$どこ${\displaystyle i_{b}\colon X_{b}\to X}$これは包含マップです。次に、クラスを考慮すると

${\displaystyle \left[i_{b}^{\ast }\left({\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}\alpha }{\partial b_{1}^{i_{1}}\cdots \partial b_{n}^{i_{n}}}}\right)\right]\in H^{k}(X_{b})}$

最終的には、ピカール・フックス方程式と呼ばれる関係が両者の間に存在する。ガウス・マニン接続は、この情報を平面ベクトル束上の接続に符号化するツールである。${\displaystyle B}$から構築された${\displaystyle H^{k}(X_{b})}$[ ^{1 ]​}

よく引用される例として、ピカール・フックス方程式のドワーク構成がある。

${\displaystyle V_{\lambda }(x,y,z)}$楕円曲線${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}-\lambda xyz=0\;}$。

ここ、${\displaystyle \lambda }$は曲線を表す自由パラメータであり、複素射影線（超曲面の族）の要素である。${\displaystyle n-1}$同様に定義された次数nの次元は、モジュラリティ定理とその拡張に関連して、近年集中的に研究されている。^{[ 2 ]}したがって、束の基底空間は射影直線とみなされる。固定されたに対して${\displaystyle \lambda }$基底空間において、要素を考える${\displaystyle \omega _{\lambda }}$関連するド・ラームコホモロジー群の

${\displaystyle \omega _{\lambda }\in H_{\mathrm {dR} }^{1}(V_{\lambda }).}$

このような各要素は楕円曲線の周期に対応する。コホモロジーは2次元である。ガウス・マニン接続は2階微分方程式に対応する。

${\displaystyle (\lambda ^{3}-27){\frac {\partial ^{2}\omega _{\lambda }}{\partial \lambda ^{2}}}+3\lambda ^{2}{\frac {\partial \omega _{\lambda }}{\partial \lambda }}+\lambda \omega _{\lambda }=0.}$

D加群理論のより抽象的な設定では、このような方程式の存在は直接像の一般的な議論に包含される。

ガウス・マニン接続のクラス全体は、「幾何学から生じる」微分方程式の概念を定式化するために使用されてきた。グロタンディークのp曲率予想に関連して、ニコラス・カッツは、代数的数係数を持つガウス・マニン接続のクラスがこの予想を満たすことを証明した。この結果は、有理型関数の解に対する超越数論のジーゲルG関数概念と直接関連している。イヴ・アンドレにも帰せられるボンビエリ・ドワーク予想は、複数のバージョンで与えられており、逆方向を仮定している。すなわち、解がG関数、またはほとんどすべての素数pに対してp曲率がmod pで冪零であるということは、方程式が「幾何学から生じる」ことを意味する。^{[ 3 ] [ 4 ]}

• 鏡面対称性予想
• 混合ホッジモジュール
• 有理的接続

• クリコフ、ヴァレンタイン（1998）、『混合ホッジ構造と特異点』 、ケンブリッジ数学論文集、 1～ 59ページ （ガウス・マニン関係について優れた入門的な解説を提供している）
• ディムカ、アレクサンドル、『位相幾何学における層』 、 55～ 57ページ、206～ 207ページ （ガウス・マニン関係の例と、それがD加群理論およびリーマン・ヒルベルト対応とどのように関連しているかを示す）
• グリフィス、フィリップ、 「代数多様体上の積分の周期：主な結果の要約と未解決問題の考察」（ガウス・マニン接続の主要構造定理の概要を簡単に説明する）
• バリエントス、イヴァン、「ガウス・マニン接続と正則特異点」（PDF）
• グロタンディーク、アレクサンダー（1966）「代数多様体のド・ラーム・コホモロジーについて」、『Publications Mathématiques de l'IHÉS』、アティヤ宛書簡、1963年10月14日、29（29）：95–103、doi：10.1007/BF02684807、ISSN 0073-8301、MR 0199194、S2CID 123434721   
• 「ガウス・マニン関係」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• マニン、ジュ。 I. (1958)、「微分を伴う場の代数曲線」、Izvestiya Akademii Nauk SSSR。セリヤ・マテマチェスカヤ（ロシア語）、22 : 737– 756、MR 0103889 英語訳は、Manin, Ju. I. (1964) [1958]、「微分を伴う体上の代数曲線」、American Mathematical Society translations: 22 papers on algebra, number theory and differential geometry、vol. 37、Providence, RI: American Mathematical Society、pp. 59–78、ISBNに掲載されている。   978-0-8218-1737-7MR 0103889​ {{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）