外部微分

微分可能多様体上で、外微分は関数の微分の概念をより高次の微分形式に拡張します。外微分は、1899 年にエリー・カルタンによって現在の形で初めて記述されました。その結果得られる微積分は外微分と呼ばれ、ベクトル計算からのストークスの定理、ガウスの定理、およびグリーンの定理を、計量に依存しない自然な形で一般化できます。

微分k形式が、多様体の各点における無限小k平行体を通る流束を測定するものと考えられる場合、その外微分は、各点における( k + 1)平行体の境界を通る正味の流束を測定するものと考えることができます。

k次微分形式（微分k形式とも呼ばれる、ここでは簡潔にk形式と呼ぶ）の外微分は、k + 1次微分形式です。

f が滑らかな関数（0形式）である場合、 fの外微分はfの微分です。つまり、df は、すべての滑らかなベクトル場Xに対してdf  ( X ) = d _X fとなる唯一の1形式です。ここで、 d _X f は、 X方向のfの方向微分です。               

微分形式の外積（同じ記号∧で表される）は、それらの点ごとの 外積として定義されます。

一般的なk形式の外微分には、同等の定義が数多く存在します。

外微分は、 k形式から( k + 1)形式への唯一のℝ線形写像として定義され、次の特性を持ちます。

• -形式に適用される演算子は、${\displaystyle d}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle df}$${\displaystyle f}$
• とが2つの -形式である場合、任意の体元に対して${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle k}$${\displaystyle d(a\alpha +b\beta )=ad\alpha +bd\beta }$${\displaystyle a,b}$
• が -形式でが-形式である場合、（次数積則）${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle l}$${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta }$
• が -形式である場合、（ポアンカレの補題）${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle d(d\alpha )=0}$

と が2つの -形式（関数）である場合、量、または単に の3番目の性質から、よく知られた積の法則が回復されます。3番目の性質は一般化することができ、たとえばが-形式、が-形式、 が-形式である場合、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle d(f\wedge g)}$${\displaystyle d(fg)}$${\displaystyle d(fg)=df\,g+gdf}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle l}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle m}$

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta \wedge \gamma )=d\alpha \wedge \beta \wedge \gamma +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta \wedge \gamma +(-1)^{k+l}\alpha \wedge \beta \wedge d\gamma .}$

あるいは、完全に局所座標系 ( x ¹ , ..., x ⁿ )で作業することもできます。座標微分dx ¹ , ..., dx ^{n は}、それぞれが座標に関連付けられた 1 形式空間の基底を形成します。1 ≤ i _p ≤ nで1 ≤ p ≤ kの多重インデックス I = ( i ₁ , ..., i _k )が与えられ ( dx ^{i ₁} ∧ ... ∧ dx ^{i _{k を}}dx ^Iで表す)、(単純な) k形式 の外微分は

${\displaystyle \varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

ℝ ^{n は}次のように定義される

${\displaystyle d{\varphi }=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {\partial g}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\wedge \,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

（アインシュタインの総和規則を使用）。外微分の定義は、一般的なk形式（基本的な単純な形式 の線形結合として表現可能）に線形拡張されます。${\displaystyle k}$

${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I},}$

ここで、マルチインデックスIの各要素は、{1, ..., n }内のすべての値に渡って実行されます。jがマルチインデックスIの要素の1つに等しいときは常に、dx ^j ∧ dx ^I = 0であることに注意してください（外積を参照）。

局所座標における外微分の定義は、公理による前述の定義から導かれる。実際、上で定義した k形式φでは、

${\displaystyle {\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}}$

ここでは、 g を0形式として解釈し、外微分の特性を適用しました。

この結果は、一般のk形式ωに直接拡張され、

${\displaystyle d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$

特に、1形式ωの場合、局所座標におけるdωの成分は

${\displaystyle (d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.}$

注意: の意味については2つの慣例があります。現在の著者のほとんどは^{[引用が必要]}という慣例を持っています。 ${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

${\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.}$

一方、小林・野水やヘルガソンのような古い文献では

${\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.}$

あるいは、 k + 1個の任意の滑らかなベクトル場V ₀、V ₁、...、V _kと対になったk形式ωの外微分に対する明示的な式を与えることもできる^[1]。

${\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})}$

ここで[ V _i , V _j ]はリー括弧を表し、ハットはその要素の省略を表します。

${\displaystyle \omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).}$

特に、ωが1形式の場合、 dω ( X、Y ) = d _X ( ω ( Y )) − d _Y ( ω ( X )) − ω ([ X、Y ])となります。

注:例えば、小林・野水およびヘルガソンの慣例により、式は⁠の係数で異なります。1/1 ...⁠ :

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}}$

例 1.スカラー体uの1形式基底dx ¹ , ..., dx ⁿ上のσ = u  dx ¹ ∧ dx ²を考えます。外微分は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}}$

最後の式は、i = 3から合計が始まりますが、外積の特性から簡単にわかります。つまり、dx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0 です。

例2. σ = u  dx + v  dy をℝ ²上で定義された1形式とします。上記の式を各項に適用すると（x ¹ = xおよびx ² = yと仮定）、合計は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}}$

M が境界を持つコンパクトで滑らかな向き付け可能なn次元多様体であり、ω がM上の( n − 1)形式である場合、ストークスの定理の一般化形は次のように述べる。

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega }$

直感的には、Mを無限小領域に分割し、すべての領域の境界を通過するフラックスを追加すると、内部境界はすべて打ち消され、Mの境界を通過する全フラックスが残ります。

k形式ω は、 dω = 0のとき閉じているといいます。閉じた形式はdの核です。 ω は、ある( k − 1)形式αに対してω = dαのとき正確であるといいます。正確な形式はdの像です。 d ² = 0なので、すべての正確な形式は閉じています。ポアンカレの補題によれば、収縮可能な領域ではその逆が当てはまります。

外微分d はd ² = 0という性質を持つため、多様体上のde Rham コホモロジーを定義するための微分（共境界）として使用できます。 k次 de Rham コホモロジー（群）は、正確なk形式を法とする閉じたk形式のベクトル空間です。前のセクションで述べたように、ポアンカレの補題は、これらのベクトル空間が収縮可能な領域（k > 0 ）に対して自明であると述べています。滑らかな多様体の場合、形式の積分により、 de Rham コホモロジーからℝ上の特異コホモロジーへの自然な準同型が得られます。 de Rham の定理は、このマップが実際には同型であり、ポアンカレの補題の広範囲にわたる一般化であることを示しています。一般化されたストークスの定理で示唆されているように、外微分は、特異単体上の 境界マップの「双対」です。

外微分は技術的な意味で自然である。f  : M → Nが滑らかな写像であり、Ω ^kが各多様体にk形式の空間を割り当てる反変滑らかな関数である場合、次の図式は可換である。  

したがって、d (  f ^∗ ω ) =   f ^∗ dωであり、f ^{∗ は}fの引き戻しを表します。これは、定義により、f ^∗ ω (·)がω (  f _∗ (·))であり、f _{∗ が}fの押し出しであることから導かれます。したがって、d はΩ ^kからΩ ^{k +1}への自然変換です。        

ベクトル計算演算子のほとんどは、外微分の概念の特殊なケースであるか、または外微分の概念と密接な関係があります。

実微分可能多様体M上の滑らかな関数f  : M → ℝは 0形式です。この0形式の外微分は1形式dfです。  

内積⟨·,·⟩が定義されている場合、関数fの勾配 ∇fは、  Vの任意の要素との内積がベクトルに沿ったfの方向微分となるようなV内の唯一のベクトルとして定義され、つまり     

${\displaystyle \langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.}$

つまり、

${\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },}$

ここで、♯は、内積によって誘導される前述の 音楽同型性 ♯  : V ^∗ → Vを表します。

1形式df は 余接バンドルのセクションであり、各点における余接空間の fの局所線形近似を与えます。  

ℝ ⁿ上のベクトル場V = ( v ₁ , v ₂ , ..., v _n )は対応する( n − 1)形式 を持つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}}$

ここで、 はその要素の省略を表します。 ${\displaystyle {\widehat {dx^{i}}}}$

(例えば、n = 3、つまり3次元空間のとき、2形式ω _{V は}局所的にはVとのスカラー三重積です。)超曲面上のω _Vの積分は、その超曲面上のVの流束です。

この( n −1)形式の外微分はn形式 である。

${\displaystyle d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).}$

ℝ ⁿ上のベクトル場Vも対応する1形式 を持つ。

${\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.}$

局所的には、η _{V は}Vとのドット積です。経路に沿ったη _Vの積分は、その経路に沿って− Vに対して行われた仕事です。

n = 3 のとき、3次元空間では、1形式η _Vの外微分は2形式

${\displaystyle d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.}$

標準的なベクトル計算演算子は、任意の擬リーマン多様体に対して一般化することができ、次のように座標フリー表記法で記述できます。

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}}$

ここで、⋆はホッジスター演算子、♭と♯は音楽同型、fはスカラー場、F はベクトル場です。   

回転の式では、 ⋆ d ( F ^♭ )に♯を作用させる必要があることに注意してください。これはn − 2次形式です。 ♯を任意の次数のk形式に自然に一般化することで、この式は任意のnに対して意味をなします。

• カルタン、エリー(1899)。 「確実な表現の違いとプファフの問題」。高等師範科学誌。セリエ 3 (フランス語)。１６．パリ: ゴティエ ヴィラール: 239–332。土井：10.24033/asens.467。ISSN  0012-9593。JFM  30.0313.04 。2016 年2 月 2 日に取得。
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• ダーリング、RWR (1994)。微分形式と接続。ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局。p. 35。ISBN 0-521-46800-0。
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• Ghostarchive と Wayback Machine にアーカイブされています: 「導関数はあなたが思っているものではありません」。Aleph Zero。2020 年 11 月 3 日 – YouTube経由。