バナッハの不動点定理

数学において、バナッハの不動点定理（縮約写像定理、縮小写像定理、またはバナッハ・カッチョッポリの定理とも呼ばれる）は、距離空間の理論における重要なツールです。この定理は、距離空間の特定の自己写像の不動点の存在と一意性を保証し、それらの不動点を見つけるための構成的な方法を提供します。これは、ピカールの逐次近似法の抽象的な定式化として理解できます。^{[ 1 ]}この定理は、1922 年に最初にそれを述べたシュテファン・バナッハ(1892–1945)にちなんで名付けられました。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

定義。${\displaystyle (X,d)}$距離空間であり、距離は${\displaystyle d(x,y)}$次は地図${\displaystyle T:X\to X}$これは、${\displaystyle X}$非負の定数が存在する場合${\displaystyle q<1}$そのため

${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq q\,d(x,y)}$

すべての人々のために${\displaystyle x,y\in X.}$

バナッハの不動点定理。${\displaystyle (X,d)}$縮小写像を持つ空でない完備距離空間である${\displaystyle T:X\to X.}$それから${\displaystyle T}$唯一の固定点を許容する${\displaystyle x^{*}\in X}$、 意味${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$。 さらに、${\displaystyle x^{*}}$次のように見つけることができます: 任意の要素から始めます${\displaystyle x_{0}\in X}$そして定義する${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$のために${\displaystyle n\geq 1.}$それから$\lim_{n\to\infty}x_{n}=x^{*}}$。

注1．以下の不等式は同値であり、収束速度を表す。

$${\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq q^{n}d(x^{*},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq q\,d(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}}$$

価値${\displaystyle q}$はリプシッツ定数と呼ばれます。${\displaystyle T}$、そして最小限のそのような${\displaystyle q}$は、時に「最も優れたリプシッツ定数」と呼ばれる。${\displaystyle T}$。

注釈2.条件${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$すべての人々のために${\displaystyle x\neq y}$一般的には、固定点の存在を保証するには十分ではない。これは地図によって示されている。 $${\displaystyle T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,}$$ 固定点を持たない。しかし、${\displaystyle X}$がコンパクトである場合、このより弱い条件は、 の最小値として容易に見つけることができる固定点の存在と一意性を意味します。${\displaystyle d(x,T(x))}$実際、コンパクト性により最小化解が存在し、それは不動点である。したがって、不動点は、次の反復の任意のシーケンスの極限であることが容易にわかる。${\displaystyle T}$。

注釈3.実際に定理を用いる場合、最も難しい部分は通常、定義することです。${\displaystyle X}$適切に${\displaystyle T(X)\subseteq X}$。

させて${\displaystyle x_{0}\in X}$任意であり、シーケンスを定義する${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$設定することで${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$まず、すべての に対して次のことが成り立つことに注意します。${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$不等式があります

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}$

これは帰納法によって導かれる${\displaystyle n}$事実を利用して${\displaystyle T}$これは縮約写像です。すると、${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$はコーシー列である。特に、${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$そのため${\displaystyle m>n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\[5pt]&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{mn-1}q^{k}\\[5pt]&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}}$

させて${\displaystyle \varepsilon >0}$任意である。${\displaystyle q\in [0,1)}$大きな${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$となることによって

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}$

したがって、選択することで${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$より大きい${\displaystyle N}$私たちは次のように書くかもしれません。

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .}$

これは、このシーケンスが${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$はコーシーである。${\displaystyle (X,d)}$数列には限界がある${\displaystyle x^{*}\in X.}$さらに、${\displaystyle x^{*}}$固定点である必要がある${\displaystyle T}$:

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).}$

縮約マッピングとして、${\displaystyle T}$連続なので、極限を内側に持ち込む${\displaystyle T}$正当化された。最後に、${\displaystyle T}$固定点は 1 つしか持てない${\displaystyle (X,d)}$異なる固定点のペアは${\displaystyle p_{1}}$そして${\displaystyle p_{2}}$収縮と矛盾する${\displaystyle T}$:

$${\displaystyle d(p_{1},p_{2})=d(T(p_{1}),T(p_{2}))\leq qd(p_{1},p_{2})<d(p_{1},p_{2}),}$$

平等は${\displaystyle p_{1},p_{2}}$固定点である${\displaystyle T}$最初の不等式は、${\displaystyle T}$これは縮約写像であり、最後の不等式は${\displaystyle q<1}$そして${\displaystyle d(p_{1},p_{2})>0}$として${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$。

• 標準的な応用例として、特定の常微分方程式の解の存在と一意性に関するピカール・リンデレーフの定理の証明が挙げられる。微分方程式の解は、一様ノルムの下での連続関数の空間における適切な積分作用素の不動点として表現される。そして、バナッハの不動点定理を用いて、この積分作用素が一意の不動点を持つことを示す。
• バナッハの不動点定理の帰結の一つは、恒等写像の小さなリプシッツ摂動が双リプシッツ同相写像となることである。${\displaystyle \Omega }$バナッハ空間の開集合である${\displaystyle E}$; させて${\displaystyle I:\Omega \rightarrow E}$を恒等写像（包含写像）とし、${\displaystyle g:\Omega \rightarrow E}$定数のリプシッツ写像である${\displaystyle k<1}$。 それから

1. ${\displaystyle \Omega ':=(I+g)\Omega }$は、の開部分集合である。${\displaystyle E}$: 正確には、どんな${\displaystyle x}$で${\displaystyle \Omega }$そのため${\displaystyle B(x,r)\subset \Omega }$1つは${\displaystyle B((I+g)(x),r(1-k))\subset \Omega '}$;
2. ${\displaystyle I+g:\Omega \rightarrow \Omega '}$は双リプシッツ準同型写像です。

正確に、${\displaystyle (I+g)^{-1}}$依然としてその形式${\displaystyle I+h:\Omega \rightarrow \Omega '}$と${\displaystyle h}$定数のリプシッツ写像${\displaystyle k/(1-k)}$この結果から直接的に、逆関数定理の証明が得られる。

• これは、ニュートンの逐次近似法が確実に機能するための十分条件を与えるために使用でき、同様にチェビシェフの3次近似法にも適用できる。
• これは、積分方程式の解の存在と一意性を証明するために使用できる。
• これはナッシュ埋め込み定理の証明を与えるために使用できる。^{[ 4 ]}
• これは、強化学習の価値反復、方策反復、および方策評価の解の存在と一意性を証明するために使用できます。^{[ 5 ]}
• これは、クールノー競争^{[ 6 ]やその他の動的経済モデル[ 7 ]}における均衡の存在と一意性を証明するために使用できます。
• Xがベクトル空間の場合、不動点を反復的に近似する別の方法として、ニュートン法を適用して解く方法がある。${\displaystyle f(x)-x=0}$。
• この定理を現実世界で例示する例として、次のようなデモンストレーションがあります。これは、正式な数学の知識がほとんどなくても理解できる場合が多いです。ある人が、自分がいる都市の地図（あるいは自国の地図、あるいは自分がいる建物の設計図など）が印刷された紙を持っているとします。その人は、その地図を床に置きます。これは、都市から都市自身への連続関数を表していると考えることができ、明らかに縮約です。したがって、地図上には、それが表す点の真上に位置する点がちょうど1つ存在します。地図が完全であり、表すすべての点が投影によってより接近する限り、地図の精度や投影法は問題になりません。さらに、その人が地図を丸めて床に平らに置いたとしても、紙が破れない限り、これは依然として縮約であり、同じ結論が得られます。

バナッハの縮約原理の逆はいくつか存在する。以下は、 1959年にチェスワフ・ベッサガによって示されたものである。

させて${\displaystyle f:X\rightarrow X}$抽象集合のマップであり、各反復は${\displaystyle f^{n}}$は一意の不動点を持つ。${\displaystyle q\in (0,1)}$すると、完全なメトリックが存在する${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle f}$収縮的で、${\displaystyle q}$は収縮定数です。

実際、このような逆を得るには非常に弱い仮定で十分です。例えば、${\displaystyle f:X\to X}$これは、一意の不動点を持つT ₁位相空間上の写像である。${\displaystyle a}$、各${\displaystyle x\in X}$我々は持っています${\displaystyle f^{n}(x)\rightarrow a}$そうすれば、すでにメトリックが存在する${\displaystyle X}$に関して${\displaystyle f}$収縮定数を持つバナッハ収縮原理の条件を満たす${\displaystyle 1/2}$[ ^{8 ]}この場合、距離は実際には^超距離です。

いくつかの一般化がある（そのうちのいくつかは直接的な帰結である）。^{[ 9 ]}

させて${\displaystyle T:X\rightarrow X}$完備な空でない距離空間上の写像であるとする。すると、例えば、バナッハの不動点定理のいくつかの一般化は次のようになる。

• ある反復を仮定する${\displaystyle T^{n}}$の${\displaystyle T}$は短縮形です。${\displaystyle T}$固有の不動点を持つ。
• 各${\displaystyle n}$存在する${\displaystyle c_{n}}$そのため${\displaystyle d(T^{n}(x),T^{n}(y))\leq c_{n}d(x,y)}$すべての人々のために${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$そして、

${\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .}$

それから${\displaystyle T}$固有の不動点を持つ。

応用においては、写像を構成する適切な計量を選択することで、標準的なバナッハの不動点定理を用いて不動点の存在と一意性を直接示すことができる場合が多い。${\displaystyle T}$縮約。実際、ベサガによる上記の結果は、そのような計量を求めるべきであることを強く示唆している。一般化については、無限次元空間における不動点定理に関する記事も参照のこと。

空でないコンパクトな距離空間では、任意の関数${\displaystyle T}$満足${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$すべての異なる${\displaystyle x,y}$は一意の不動点を持つ。証明はバナッハの定理よりも簡単である。なぜなら、関数は${\displaystyle d(T(x),x)}$これは連続関数であるため、最小値をとる。そして、その最小値は容易にゼロであることが示される。

距離空間の概念の適切な一般化、例えば距離の概念の定義公理を弱めることによって、別の種類の一般化が生じる。^{[ 10 ]}これらのいくつかは、例えば理論計算機科学におけるプログラミング意味論の理論に応用されている。^{[ 11 ]}

バナッハの不動点定理と不動点反復法の適用により、近似値を迅速に得ることができる。${\displaystyle \pi }$高精度で。関数を考えてみましょう。${\displaystyle f(x)=x+\sin(x)}$検証できるのは${\displaystyle \pi }$は固定点である${\displaystyle f}$そして、${\displaystyle f}$区間をマッピングする${\displaystyle \left[{\frac {3\pi }{4}},{\frac {5\pi }{4}}\right]}$それ自体に対して。さらに、${\displaystyle f^{\prime }(x)=1+\cos(x)}$、そして、以下のことが確認できる。

${\displaystyle 0\leqslant 1+\cos(x)\leqslant 1-{\frac {1}{{\sqrt {2\,}}\,}}\approx 0.292893<1}$

この区間において。したがって、平均値の定理を適用すると、${\displaystyle f}$リプシッツ定数が以下${\displaystyle 1}$（すなわち${\displaystyle 1-1/{\sqrt {2}}}$) バナッハの不動点定理を適用すると、不動点が${\displaystyle \pi }$は区間上の唯一の不動点であり、不動点反復法を用いることができる。

例えば、値${\displaystyle 3}$固定点反復を開始するには、次のように選択できます。${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\leqslant 3\leqslant {\frac {5\pi }{4}}}$バナッハの不動点定理を用いると、次の結論が得られる。

${\displaystyle \pi =f\!{\bigg (}f\!{\Big (}f\!{\big (}\cdots f(3)\cdots {\big )}{\Big )}{\bigg )}={\big (}f\circ \cdots \circ f{\big )}(3).}$

応募する${\displaystyle f}$に${\displaystyle 3}$わずか３回で既に拡張が得られます${\displaystyle \pi }$精度は最大${\displaystyle 33}$数字:

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {id} (3)&=&f^{[0]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.}}0000000000000000000000000000000000\cdots \\f(3)&=&f^{[1]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.141}}1200080598672221007448028081103\cdots \\f{\big (}f(3){\big )}&=&f^{[2]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.1415926535}}721955587348885681408797\cdots \\f{\Big (}f{\big (}f(3){\big )}{\Big )}&=&f^{[3]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.14159265358979323846264338327950}}20\cdots \end{matrix}}}$

• Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). "Banach縮約原理とその応用". Fixed Point Theory in Metric Spaces . Singapore: Springer. pp. 1–23 . doi : 10.1007/978-981-13-2913-5_1 . ISBN  978-981-13-2912-8。
• Chicone, Carmen (2006). 「収縮」 .応用を伴う常微分方程式（第2 版）. ニューヨーク：Springer. pp. 121–135 . ISBN  0-387-30769-9。
• グラナス、アンジェイ；ドゥグンジ、ジェームズ（2003）。不動点理論。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-00173-5。
• イストラチェスク、ヴァシレ・I. (1981).不動点理論入門. オランダ: D. ライデル. ISBN 90-277-1224-7。第7章を参照してください。
• カーク、ウィリアム A.、カムシ、モハメド A. (2001). 『距離空間と不動点理論入門』 ニューヨーク：ジョン・ワイリー。ISBN 0-471-41825-0。

この記事は、PlanetMathのBanach fixed point theoremの資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。