コンパクトセットによる消耗

数学、特に一般位相幾何学と解析学において、位相空間のコンパクト集合による網羅性^[1]とは、 (すなわち)のコンパクト部分集合の入れ子になった列であり、それぞれがの内部、すなわち、およびに含まれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots }$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle K_{i+1}}$${\displaystyle K_{i}\subset {\text{int}}(K_{i+1})}$${\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}$

コンパクト集合による枯渇を許容する空間はコンパクト集合によって枯渇可能と呼ばれる。^[2]

例えば、空間 の場合、閉じた球の列はコンパクト集合による空間の枯渇を形成します。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K_{i}=\{x:|x|\leq i\}}$

が の内部にあるという要件を除外するより弱い条件があり、これは空間がσ コンパクト(つまり、コンパクト部分集合の可算な和集合) であることを意味します。 ${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle K_{i+1}}$

コンパクト集合による枯渇がある場合、空間は必然的に局所コンパクトです (ハウスドルフの場合)。逆もまた真であることが多いです。たとえば、コンパクト部分集合の可算な和である局所コンパクト ハウスドルフ空間の場合、次のように枯渇を構築できます。 をコンパクト集合の和 と書きます。次に、であるコンパクト閉包を持つ開集合を帰納的に選択します。すると、 は必要な枯渇です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\bigcup _{1}^{\infty }K_{n}}$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle V_{n}\supset {\overline {V_{n-1}}}\cup K_{n}}$${\displaystyle V_{0}=\emptyset }$${\displaystyle {\overline {V_{n}}}}$

第二可算な局所コンパクトなハウスドルフ空間の場合、同様の議論を使用して枯渇を構築できます。

ハウスドルフ空間 に対して、コンパクト集合による網羅的解析によって、その空間がパラコンパクトであることを示すことができる。^[3]実際、および がそれぞれコンパクトで に含まれるような開部分集合の増加列があるとする。を の開被覆とする。また とする。すると、各 に対して、はコンパクト集合 の開被覆であり、したがって有限部分被覆 を許容する。すると は の局所有限な精緻化である。${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots }$${\displaystyle X=\bigcup V_{n}}$${\displaystyle {\overline {V_{n}}}}$${\displaystyle V_{n+1}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{n}=\emptyset ,\,n\leq 0}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \{(V_{n+1}-{\overline {V_{n-2}}})\cap U\mid U\in {\mathcal {U}}\}}$${\displaystyle {\overline {V_{n}}}-V_{n-1}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {V}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

注: 実際のところ、証明は各開被覆がコンパクトな閉包を持つ開集合からなる可算な細分化を許容し、その各要素が他の有限個の要素とのみ交差することを示している。^[3]

次のような逆も成り立つ。可算個の連結成分を持つパラコンパクト局所コンパクトハウスドルフ空間はコンパクト集合の可算な和集合であり^[4]、したがってコンパクト部分集合による枯渇が許容される。

位相空間では以下の式は同値である: ^[5]${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$コンパクトセットによって消尽可能です。
2. ${\displaystyle X}$σ コンパクトかつ弱局所コンパクトです。
3. ${\displaystyle X}$はリンデレフであり、弱局所コンパクトである。

(ここで、弱局所コンパクトとは、各点がコンパクトな近傍を持つという弱い意味で局所コンパクトであることを意味します)。

半コンパクト性は、コンパクト集合で網羅可能と σ コンパクト性の中間である。コンパクト集合で網羅可能なすべての空間は半コンパクトであり^[6]、すべての半コンパクト空間は σ コンパクトであるが、逆の含意は成り立たない。たとえば、Arens-Fort 空間とAppert 空間は半コンパクトであるが、コンパクト集合では網羅可能ではない (弱局所コンパクトではないため) ^[7] 。また、通常の位相を持つ有理数集合はσ コンパクトであるが、半コンパクトではない^{[8] 。}${\displaystyle \mathbb {Q} }$

コンパクト集合の可算な和集合であるすべての正則ハウスドルフ空間はパラコンパクトである。^[要出典]

• レオン・エーレンプライス『局所コンパクト空間の超関数理論』アメリカ数学会、1982年。ISBN 0-8218-1221-1。 
• Hans GrauertおよびReinhold Remmert、「シュタイン空間の理論」、Springer Verlag (Classics in Mathematics)、2004 年。ISBN 978-3540003731。 
• ハーダー、ギュンター (2011)。代数幾何学講義。1: 層、層のコホモロジー、およびリーマン面への応用(第 2 版) 。ISBN 3834818445。
• Lee, John M. (2011).位相多様体入門（第2版）. ニューヨーク: Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1。
• ワーナー、フラック W. (1983)。微分可能多様体とリー群の基礎。数学大学院テキスト。シュプリンガー出版。
• ウォール、 CTC 微分位相幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9781107153523。

• 「コンパクトセットによる枯渇」。PlanetMath 。
• 「コンパクト集合による枯渇の存在」。Mathematics Stack Exchange。