ナッシュ・モーザーの定理

数学の解析学の分野において、数学者ジョン・フォーブス・ナッシュによって発見され、彼とユルゲン・モーザーにちなんで名付けられたナッシュ・モーザーの定理は、線形化された問題に必要な解写像が有界でない場合の設定に、バナッハ空間上の逆関数定理を一般化したものである。

バナッハ空間の場合、ある点における導関数の可逆性があれば写像が局所的に可逆であるのに対し、ナッシュ・モーザーの定理では導関数が近傍で可逆であることが要求される。この定理は、滑らかな関数の空間における非線形偏微分方程式の局所存在を証明するために広く用いられている。特に、導関数の逆関数が導関数を「失う」場合、つまりバナッハ空間の陰関数定理が適用できない場合に有用である。

^{ナッシュ・モーザーの定理は、ナッシュ（1956） [ 1 ]}に遡り、彼は等長埋め込み問題の特殊な場合においてこの定理を証明しました。彼の論文から、彼の方法が一般化できることは明らかです。例えば、モーザー（1966） ^{[ 2 ] [ 3 ]}は、ナッシュの方法がKAM理論における天体力学の周期軌道の問題の解決にうまく適用できることを示しました。しかし、適切な一般的な定式化を見つけることは非常に困難であることが判明しており、今日まで包括的なバージョンはありません。グロモフ、ハミルトン、ホルマンダー、サン＝レイモン、シュワルツ、セルゲラートによるさまざまなバージョンが以下の参考文献に示されています。以下に引用するハミルトンのバージョンは特に広く引用されています。

これは、ナッシュ・モーザー定理の本来の設定である等長埋め込み問題の設定で導入される。${\displaystyle \Omega }$の開部分集合である$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$地図を考えてみてください$${\displaystyle P:C^{1}(\Omega$$ ;\mathbb {R} ^{N})\to C^{0}{\big (}\Omega  ;{\text{Sym}}_{n\times n}(\mathbb {R} ){\big )}} は 次のように与えられる。$${\displaystyle P(f)_{ij}=\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{j}}}.}$$ナッシュの等長埋め込み問題の解法（非線形偏微分方程式の解法で予想されるように）では、主要なステップは「f が次の条件を満たす場合」という概略的な形式の記述である。${\displaystyle P(f)}$が正定値である場合、任意の行列値関数に対して${\displaystyle g}$これは${\displaystyle P(f)}$存在する${\displaystyle f_{g}}$と${\displaystyle P(f_{g})=g}$。

標準的な慣例に従えば、バナッハ空間の逆関数定理を適用することが期待される。したがって、例えば、P を次のように制限することが期待されるかもしれない。${\displaystyle C^{5}(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{N})} 、そしてこの領域への埋め込みfに対して、線形化を研究する${\displaystyle C^{5}(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{N})\to C^{4}(\Omega ;Sym_{n\times n}(\mathbb {R} ))} は 次のように与えられる。 $${\displaystyle {\widetilde {f}}\mapsto \sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\beta }}{\partial u^{j}}}+\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial u^{j}}}.}$$これが可逆であり、かつその逆関数が有界であることを示すことができれば、バナッハ空間の逆関数定理が直接適用できる。

しかし、そのような定式化が機能しない深い理由があります。問題は、2階微分演算子が存在することです。${\displaystyle P(f)}$これは、 fに適用される 2 階微分演算子と一致する。正確には、fが埋め込みである 場合、$${\displaystyle R^{P(f)}=|H(f)|^{2}-|h(f)|_{P(f)}^{2},}$$ どこ${\displaystyle R^{P(f)}}$はリーマン計量P(f)のスカラー曲率、H(f) は埋め込みfの平均曲率、h(f)はその第 2 基本形式を表します。上記の式は曲面理論のガウス方程式です。したがって、P(f)がC ⁴の場合、R ^P(f)は一般にC ²のみです。次に、上記の式によれば、f は一般にC ⁴のみです。C ⁵の場合、| H | 2 ⁻ | h | 2^は少なくともC ³でなければなりません。この問題の根源は、次のように簡潔に表現できます。ガウス方程式は、QとPの合成の次数がPとQの次数の合計よりも小さい微分演算子Qが存在することを示しています。

文脈上、 Pの線形化の逆写像は、たとえそれが写像として存在したとしても、${\displaystyle C^{\infty }(\Omega ;Sym_{n\times n}(\mathbb {R} ))\to C^{\infty }(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{N}} )は適切なバナッハ空間の間に制限できないため、バナッハ空間の陰関数定理を適用できません。

全く同じ理屈で、ヘルダー空間、ソボレフ空間、あるいはC ^k空間のいずれを用いた場合でも、バナッハ空間の陰関数定理を直接適用することはできない。これらのいずれの設定においても、 Pの線形化の逆関数は有界にならない。

これは導関数の損失の問題です。一般に、P がk階微分作用素である場合、P(f)がC ^mに属するならば、 f はC ^{m + k}に属するという非常に素朴な期待があります。しかし、これはややまれです。一様楕円微分作用素の場合、有名なSchauder の評価により、この素朴な期待が裏付けられますが、次の注意点があります。${\displaystyle C^{k}}$ヘルダーの空間を備えた空間${\displaystyle C^{k,\alpha }}$これは、バナッハ空間の陰関数定理の適用には何ら追加の困難をもたらさない。しかしながら、上記の解析は、誘導リーマン計量への埋め込みを写像する写像については、この素朴な期待が成り立たないことを示している。この写像の位数が 1 であることから、演算子を反転しても「期待される」 1 階微分は得られない。同様の失敗は、微分同相群の作用が根本原因である幾何学的問題や、最も単純な問題でさえ素朴に期待されるような解の滑らかさが得られない双曲型微分方程式の問題でもよく見られる。これらの困難はすべて、ナッシュ・モーザー定理の適用に共通する文脈を提供する。

このセクションはアイデアを説明することのみを目的としており、そのため意図的に曖昧な表現になっています。具体的には、${\displaystyle P}$は、ある関数空間上の1階微分演算子であり、マップを定義します。${\displaystyle P:C^{k+1}\to C^{k}}$各${\displaystyle k}$ある時点で${\displaystyle C^{k+1}}$関数f、線形化${\displaystyle DP_{f}:C^{k+1}\to C^{k}}$右逆元を持つ${\displaystyle S:C^{k}\to C^{k}}$; 上記の表現では、これは「1つの導関数の損失」を反映しています。この文脈でニュートン法を用いてバナッハ空間の陰関数定理を証明しようとする試みが失敗に終わることは、具体的に次のようになります。${\displaystyle g_{\infty }}$に近い${\displaystyle P(f)}$で${\displaystyle C^{k}}$そして、反復を定義する $${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},}$$ それから${\displaystyle f_{1}\in C^{k+1}}$意味するところは${\displaystyle g_{\infty }-P(f_{n})}$は${\displaystyle C^{k}}$、 その後${\displaystyle f_{2}}$は${\displaystyle C^{k}}$同じ理由で、${\displaystyle f_{3}}$は${\displaystyle C^{k-1}}$、${\displaystyle f_{4}}$は${\displaystyle C^{k-2}}$などなど。有限回のステップで反復は終了しなければならない。なぜなら、すべての規則性が失われ、次のステップが定義されなくなるからである。

ナッシュの解法は、その単純さにおいて非常に印象的である。各について、${\displaystyle n>\theta }$平滑化演算子を持つ${\displaystyle \theta _{n}}$これには${\displaystyle C^{k}}$関数は、滑らかな関数を返し、次のときに恒等関数を近似します。${\displaystyle n}$が大きい。次に「平滑化された」ニュートン反復法 $${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\big )}}$$ 透過的に、以前の「平滑化されていない」バージョンと同じ困難に直面することはありません。なぜなら、これは規則性を失うことのない滑らかな関数の空間での反復だからです。したがって、明確に定義された関数の列が得られます。ナッシュのアプローチの最大の驚きは、この列が実際に関数に収束することです。${\displaystyle f_{\infty }}$と${\displaystyle P(f_{\infty })=g_{\infty }}$多くの数学者にとってこれはかなり驚くべきことである。なぜなら、平滑化演算子を導入するという「修正」は、標準的なニュートン法の根本的な問題を克服するにはあまりにも表面的すぎるように思えるからである。例えば、この点についてミハイル・グロモフは次のように述べている。

解析学の初心者か、ナッシュのような天才でなければ、そんなことが真実だとは信じないでしょう。[...] [これは]マックスウェルの悪魔を機械的に実装した永久機関の成功と同じくらい現実的に思えるかもしれません...ナッシュの計算を追ってみて、平滑化が実際に機能することに気づいて驚かない限りは。

注記。真の「平滑化ニュートン反復法」は、平滑化演算子を挿入する場所によっていくつかの異なる形式が存在するものの、上記の形式よりもやや複雑です。主な違いは、次の逆関数性が必要であることです。${\displaystyle DP_{f}}$fの選択肢のオープンな近傍全体に対して、次に (単一変数表記を使用して) 対応する「真の」ニュートン反復法を使用します。 $${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$$ 対照的に $${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{0})}},}$$ 後者は、上述の形式を反映している。これは非常に重要であり、「真の」ニュートン反復法の改良された二次収束は、収束を得るために「平滑化」の誤差に対処するために大きく利用される。ナッシュ法やハミルトン法などの特定の手法は、関数空間での反復ではなく、関数空間での常微分方程式の解法に従う。後者と前者との関係は、本質的にオイラー法と微分方程式の解法の関係である。

ハミルトン（1982）には次の記述がある：^{[ 4 ]}

FとGを穏やかなフレシェ空間とし、${\displaystyle U\subseteq F}$を開集合とし、${\displaystyle P:U\to G}$は滑らかで扱いやすい写像であるとする。各 について、${\displaystyle f\in U}$線形化${\displaystyle dP_{f}:F\to G}$は可逆であり、逆関数の族は写像として${\displaystyle U\times G\to F,}$は滑らかで穏やかである。するとPは局所的に可逆であり、各局所逆関数は${\displaystyle P^{-1}}$滑らかで扱いやすいマップです。

同様に、各線形化が単射のみであり、左逆行列の族が滑らかで扱いやすい場合、P は局所的に単射である。また、各線形化が全射のみであり、右逆行列の族が滑らかで扱いやすい場合、P は滑らかで扱いやすい右逆行列を持つ局所的に全射である。

滑らかで穏やかなマップ

させて${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$フレシェ空間の次数とする。${\displaystyle U}$の開部分集合である${\displaystyle F}$つまり、各${\displaystyle f\in U}$がある${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$そして${\displaystyle \varepsilon >0}$そのため${\displaystyle \|f-f_{1}\|_{n}<\varepsilon }$意味するところは${\displaystyle f_{1}}$また、${\displaystyle U}$。

滑らかな地図${\displaystyle P:U\to G}$と呼ばれるすべての場合に滑らかなマップを扱います${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$導関数${\displaystyle D^{k}P:U\times F\times \cdots \times F\to G}$以下の条件を満たす：

存在する${\displaystyle r}$そして${\displaystyle b}$そのため${\displaystyle n>b}$暗示する

$${\displaystyle {\big \|}D^{k}P\left(f,h_{1},\ldots ,h_{k}\right){\big \|}_{n}\leq C_{n}{\Big (}\|f\|_{n+r}+\|h_{1}\|_{n+r}+\cdots +\|h_{k}\|_{n+r}+1{\Big )}}$$

すべての人々のために${\displaystyle \left(f,h_{1},\dots ,h_{k}\right)\in U\times F\times \cdots \times F}$。

基本的な例では、コンパクトで滑らかな多様体上では、非線形偏微分作用素（多様体上のベクトル束のセクション間の場合もある）は滑らかで穏やかな写像である、と述べられています。この場合、${\displaystyle r}$これは演算子の順序とみなすことができる。