標識のあるエリア

数学において、アフィン平面上の領域の符号付き面積または向き付き面積とは、正または負の符号、つまり「プラス」(によって向きが指定される面積のことである。${\displaystyle +}$⁠ ) または「マイナス」( ⁠${\displaystyle -}$より一般的には、任意の曲面領域の符号付き面積は、その曲面の面積です。領域の境界が単純な曲線である場合、符号付き面積は境界の向きも示します。

実関数の積分は、${\displaystyle x}$軸と曲線${\displaystyle y=f(x)}$一定期間にわたって${\displaystyle [a,b]}$⁠。上の領域${\displaystyle x}$軸は正として指定できます（${\displaystyle +}$⁠ )、およびその下の領域${\displaystyle x}$軸は負の値として指定できます（${\displaystyle -}$⁠ ). ^{[ 5 ]}

負の領域は、自然対数の研究において、曲線の下の符号付き領域として現れる。${\displaystyle y=1/x}$のために⁠${\displaystyle 0<x<1}$すなわち： ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=-\int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}<0.}$$

微分幾何学では、曲面の領域の面積の符号は、曲面の向きに関連付けられています。 ^{[ 7 ]}集合の面積は${\displaystyle A}$微分幾何学では、密度の積分として得られる。 $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}dx\wedge dy,}$$ どこで${\displaystyle dx}$そして​​${\displaystyle dy}$は密度を作る微分1形式です。ウェッジ積は反交換性を持つ、${\displaystyle dy\wedge dx=-dx\wedge dy}$密度は平面方向に関連付けられており、これは多様体内では局所的に存在しますが、必ずしも全体的に存在するとは限りません。双曲線の下の面積を積分することによって得られる自然対数の場合、${\displaystyle xy=1}$⁠、密度⁠${\displaystyle dx\wedge dy}$はに対して肯定的である${\displaystyle x>1}$しかし、積分は $${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$ に固定されています${\displaystyle 1}$⁠、その向きは${\displaystyle x}$⁠軸は単位区間で反転します。この積分では、( ⁠${\displaystyle -dx}$)の向きは、 に使用される密度とは逆の密度をもたらします。${\displaystyle x>1}$⁠。この反対の密度では、双曲線の下側で単位区間より上の領域は負の領域とみなされ、その結果、この領域では自然対数は負になります。

符号付き面積は、 1908年にフェリックス・クラインによって行列式と関連付けられました。^{[ 8 ]}三角形が3つの点で指定される場合、その面積は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}$$ 例えば、${\displaystyle (x_{3},\ y_{3})=(0,0),}$すると面積は次のように表される。${\frac {x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}{2}}.$

曲線で囲まれた扇形領域を考える場合、一辺が等しい細い三角形で近似します。${\displaystyle (dx,dy)}$面積を 持つ$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}0&0&1\\x&y&1\\x+dx&y+dy&1\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}(x\ dy-y\ dx).}$$ すると、「曲線と2つの半径ベクトルの間 の扇形の面積」は次のように与えられる。$$\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}(x\ dy-y\ dx).}$$ 例えば、単位双曲線の逆向きは次のように表される。${\displaystyle x=\cosh t,~y=-\sinh t.}$それから $${\displaystyle x\ dy-y\ dx=-\cosh ^{2}t\ dt+\sinh ^{2}t\ dt=-dt,}$$したがって、双曲セクター の領域は⁠${\displaystyle 0}$そして​​${\displaystyle \theta }$⁠は $${\displaystyle {\frac {-1}{2}}\int _{0}^{\theta }dt=\left.{\frac {-t}{2}}\right|_{0}^{\theta }=-{\frac {\theta }{2}},}$$負の双曲線角を負の扇形面積として 与える。

ミハイル・ポストニコフの1979年の教科書『幾何学講義』は、座標ペアの関数として記述される特定の幾何学的変換に訴えている。${\displaystyle (x,y)}$– 「自由に浮動する領域要素」を表現するため。^{[ 9 ]} せん断マッピングは以下のいずれかです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y)&\to (x,\ y+kx),\\(x,y)&\to (x+ky,\ y)\end{aligned}}}$$ 任意の実数に対して${\displaystyle k}$一方、スクイーズマッピングは $${\displaystyle (x,y)\to (\lambda x,\ y/\lambda )}$$ 任意の正の実数に対して${\displaystyle \lambda }$⁠。エリア要素は関連しています（ ⁠${\displaystyle \thicksim }$⁠ ) は、一方の変換を最初の変換に適用したときに、もう一方の変換の結果となる場合に、もう一方の変換に置き換えられます。同値関係として、面積要素は、関連する要素の同値クラスに分割され、これらはポストニコフ双ベクトルです。

命題：もし${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(ka+\ell b,\ k_{1}a+\ \ell _{1}b)}$そして

${\displaystyle \delta =k\ell _{1}-\ell k_{1}\neq 0,}$それから${\displaystyle (a,b)\thicksim (a_{1},\ ({\frac {1}{\delta }})b_{1}).}$

証拠：${\displaystyle (a,\ b)\thicksim (a+{\frac {\ell }{k}}b,\ b)}$せん断マッピング

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b)}$スクイーズマッピング

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b+{\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+\ell b))}$せん断マッピング

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+({\frac {\delta }{k_{1}}}+\ell )b)}$

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {1}{\delta }}(k_{1}a+\ell _{1}b))\ \ {\text{since}}\ \ \ell +{\frac {\delta }{k_{1}}}={\frac {k}{k_{1}}}\ell _{1}}$

${\displaystyle =(a_{1},\ {\frac {1}{\delta }}b_{1}).}$

• ベクトル領域
• ボリューム形式
• 標識距離
• 署名付き尺度
• 署名入り巻

• クレイトマン、ダニエル。「第15章：平行辺図形の面積と体積；行列式」。クレイトマンのホームページ。MIT数学科ホームページ。