ジニ係数

極端なケースとしては、すべての人が同じ収入を受け取る最も平等な社会（G = 0 ）と、 1人が総収入の100%を受け取り、残りのN − 1人が何も受け取らない最も不平等な社会（N人） （G = 1 − 1/ N）が挙げられます。

単純なケースとして、所得水準を低所得と高所得の2段階に分けるとします。高所得層が人口のuを占め、全所得のfを占める場合、ジニ係数はf − uとなります。同じuとfの値を持つ、より段階的な所得分布では、ジニ係数は常にf − uよりも高くなります。

例えば、人口の上位20%の富裕層が全所得の80%を占めている場合（パレートの法則を参照）、所得ジニ係数は少なくとも60%になります。別の例として、^{[ 27 ]}世界人口の1%が全富の50%を所有している 場合、富のジニ係数は少なくとも49%になります。

場合によっては、この式をローレンツ曲線に直接参照することなくジニ係数を計算するために適用できます。例えば、( yを個人または世帯の所得または資産を表すものとします)：

• n個の個体からなる集団で、各個体の値が$\displaystyle y_{1}\leq y_{2}\leq \cdots \leq y_{n}}$[ ^{28 ]​}

${\displaystyle G={\frac {1}{n}}\left(n+1-2\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}(n+1-i)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\right)\right).}$

これは以下のように簡略化できます。

${\displaystyle G={\frac {2\sum _{i=1}^{n}iy_{i}}{n\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}-{\frac {n+1}{n}}.}$

ジニ係数は、相対平均絶対差の半分と考えることもできます。$\displaystyle y_{1}\leq y_{2}\leq \cdots \leq y_{n}}$サンプルジニ係数

${\displaystyle G(S)={\frac {1}{n-1}}\left(n+1-2\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}(n+1-i)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\right)\right)}$

は母集団ジニ係数の不偏推定量ですが、一般には不偏推定量ではありません。簡略化すると次のようになります。

${\displaystyle G(S)=1-{\frac {2}{n-1}}\left(n-{\frac {\sum _{i=1}^{n}iy_{i}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\right).}$

母集団のジニ係数を常に不偏推定する標本統計量は存在しない。

確率質量関数を持つ離散確率分布の場合${\displaystyle f(y_{i}),}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$、 どこ ${\displaystyle f(y_{i})}$所得または富を持つ人口の割合${\displaystyle y_{i}>0}$ジニ係数は次のとおりです。

${\displaystyle G={\frac {1}{2\mu }}\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}\,f(y_{i})f(y_{j})|y_{i}-y_{j}|}$

どこ

${\displaystyle \mu =\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}f(y_{i}).}$

非ゼロ確率の点が昇順でインデックス付けされている場合${\displaystyle (y_{i}<y_{i+1})}$、 それから：

${\displaystyle G=1-{\frac {\sum _{i=1}^{n}f(y_{i})(S_{i-1}+S_{i})}{S_{n}}}}$

どこ

${\displaystyle S_{i}=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\,y_{j}\,}$そして${\displaystyle S_{0}=0.}$これらの公式は極限においても適用可能であり、${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$

人口が多い場合、所得分布は連続確率密度関数f ( x ) で表すことができ、ここでf ( x ) dx は、 xを中心とした区間dx内に富または所得を持つ人口の割合です。F ( x ) がf ( x )の累積分布関数である場合：

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$

そして、L ( x )はローレンツ関数である。

${\displaystyle L(x)={\frac {\int _{0}^{x}t\,f(t)\,dt}{\int _{0}^{\infty }t\,f(t)\,dt}}}$

すると、ローレンツ曲線L ( F ) はL ( x ) とF ( x )のパラメトリック関数として表すことができ、 Bの値は積分によって求めることができる。

${\displaystyle B=\int _{0}^{1}L(F)\,dF.}$

ジニ係数は、分布F ( y )の累積分布関数から直接計算することもできます。μを分布の平均と定義し、F ( y ) がすべての負の値に対してゼロであると指定すると、ジニ係数は次のように表されます。

${\displaystyle G=1-{\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }(1-F(y))^{2}\,dy={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }F(y)(1-F(y))\,dy}$

後者の結果は部分積分によって得られる。（なお、この公式は負の値が存在する場合にも適用可能であり、その場合は積分範囲をマイナス無限大からプラス無限大までとする。）

ジニ係数は、分位関数Q ( F ) (累積分布関数の逆関数: Q(F(x)) = x)で表すことができます。

${\displaystyle G={\frac {1}{2\mu }}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|Q(F_{1})-Q(F_{2})|\,dF_{1}\,dF_{2}.}$

ジニ係数はスケールに依存しないため、分布関数がf(x, φ ,a,b,c...)の形式で表せる場合（φはスケール係数、a, b, c...は無次元パラメータ）、ジニ係数はa, b, c...のみの関数になります。^{[ 29 ]}例えば、指数分布はxとスケールパラメータのみの関数であるため、ジニ係数は定数で 1/2 に等しくなります。

関数形式によっては、ジニ係数を明示的に計算できます。たとえば、y が対数の標準偏差が等しい対数正規分布に従う場合、${\displaystyle \sigma }$、 それから${\displaystyle G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)}$どこ${\displaystyle \operatorname {erf} }$誤差関数は（${\displaystyle G=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1}$、 どこ ${\displaystyle \Phi }$は標準正規分布の累積分布関数です。^{[ 30 ]} 下の表では、サポートが である確率密度関数の例をいくつか示しています。${\displaystyle [0,\infty )}$図に示されています。ディラックのデルタ分布は、全員が同じ富（または収入）を持っている場合を表しており、収入にばらつきがないことを意味します。

• ${\displaystyle \Gamma (\,)}$ガンマ関数
• ${\displaystyle B(\,)}$ベータ関数
• ${\displaystyle I_{k}(\,)}$正則化された不完全ベータ関数は

ローレンツ曲線全体が不明な場合があり、特定の区間の値のみが与えられていることがあります。その場合、ローレンツ曲線の欠落値を補間するさまざまな手法を用いてジニ係数を近似することができます。ローレンツ曲線上の既知の点が( X _k , Y _k ) であり、 X _{k が}昇順 ( X _{k – 1} < X _k ) でインデックス付けされている場合、次のようになります。

• X _{k は}、 k = 0,..., nの場合の人口変数の累積割合であり、X 0 ₌ 0、X _n = 1 です。
• Y _{k は}、 k = 0,..., nの場合の所得変数の累積割合であり、Y 0 ₌ 0、Y _n = 1 です。
• Y _{k は}非減少順でインデックス付けする必要があります ( Y _k > Y _{k – 1} )。

ローレンツ曲線を各区間で連続する点間の直線として近似すると、面積 B は台形で近似でき、次のようになります。

${\displaystyle G_{1}=1-\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-X_{k-1})(Y_{k}+Y_{k-1})}$

これは、G の近似値です。領域B を近似するには、他の方法を用いるとより正確な結果が得られます。例えば、区間のペアごとにローレンツ曲線を二次関数で近似したり、既知のデータに一致する基礎となる分布関数を適切に滑らかに近似したりする方法があります。各区間の母平均と境界値も分かっている場合は、これらを用いて近似の精度を向上させることもできます。

標本から計算されたジニ係数は統計量であり、その標準誤差、または母集団ジニ係数の信頼区間を報告する必要があります。これらはブートストラップ法を使用して計算できますが、高速コンピュータの時代であっても、数学的に複雑で計算負荷が高いです。^{[ 39 ]}経済学者のトムソン・オグワングは、標本内のそれぞれの所得変数をランク付けし、最も低い所得にランク1を割り当てる「トリック回帰モデル」を設定することで、このプロセスをより効率的にしました。このモデルでは、ランク（従属変数）を定数Aと、分散がy _kに反比例する正規誤差項の合計として表現します。

${\displaystyle k=A+\ N(0,s^{2}/y_{k})}$

したがって、G は定数Aの重み付き最小二乗推定値の関数として表現でき、これを使用して標準誤差のジャックナイフ推定値の計算を高速化できます。経済学者の David Giles は、 Aの推定値の標準誤差を使用して、ジャックナイフを使用せずにGの推定値を直接導出できると主張しました。この方法は、サンプル データを順序付けた後、通常の最小二乗回帰を使用するだけで済みます。結果は、サンプル サイズが増加するにつれて一致度が向上するジャックナイフによる推定値とよく一致しています。^{[ 40 ]}

しかし、これは誤差分布と誤差項の独立性に関するモデルの仮定に依存するという指摘がある。これらの仮定は、実際のデータセットには当てはまらないことが多い。この問題については、現在も議論が続いている。

ギレルミナ・ジャッソ^{[ 41 ]}とアンガス・ディートン^{[ 42 ]}は、それぞれ独立してジニ係数の以下の式を提案した。

${\displaystyle G={\frac {N+1}{N-1}}-{\frac {2}{N(N-1)\mu }}(\sum _{i=1}^{n}P_{i}X_{i})}$

どこ${\displaystyle \mu }$は人口の平均所得、P _iは所得 X を持つ人 i の所得順位 P であり、最も裕福な人が順位 1 を、最も貧しい人が順位Nを受け取ります。これは実質的に所得分布において貧しい人々に高い重みを与え、ジニ係数が移転原理を満たすことを可能にします。Jasso-Deaton 式は係数を再スケーリングし、すべての場合においてその値が 1 になることに注意してください。${\displaystyle X_{i}}$1つを除いてすべてゼロです。ただし、N²で割る必要があるというアリソンの返答に注意してください。^{[ 43 ]}

FAOは、この式の別のバージョンを説明している。^{[ 44 ]}

ユニセフによると、2008年の非加重平均ベースでは、ラテンアメリカとカリブ海地域が世界で最も高い純所得ジニ係数48.3を記録した。その他の地域平均は、サハラ以南アフリカ（44.2）、アジア（40.4）、中東と北アフリカ（39.2）、東ヨーロッパと中央アジア（35.4）、高所得国（30.9）であった。同じ方法を用いると、米国のジニ係数は36とされ、南アフリカは所得ジニ係数が67.8と最も高かった。^{[ 51 ]}

全ての人間の所得分布を見ると、世界的な所得格差は19世紀初頭から絶えず拡大しており（そして今後も拡大し続けるだろう）、1820年から2002年にかけて世界的な所得格差のジニ係数は着実に上昇し、1980年から2002年にかけては特に顕著な上昇が見られた。この傾向はピークに達し、新興経済国、特に人口の多いBRIC諸国の急速な経済成長に伴い、反転し始めているようだ。^{[ 52 ]}

以下の表は、ミラノヴィッチによって計算された過去200年間の世界所得ジニ係数の推定値を示しています。^{[ 53 ]}

同様の情報源からのより詳細なデータでは、1988年以降継続的に減少していることが示されている。これは、グローバリゼーションによって、主に中国やインドなどの国々の数十億人の貧困層の所得が増加したことに起因する。ブラジルなどの発展途上国では、医療、教育、衛生などの基本的なサービスも改善されており、チリやメキシコなどの国では、より累進的な税制政策が実施されている。^{[ 55 ]}

教育ジニ係数は、特定の人口における教育の不平等を推定する指標です。^{[ 58 ]}これは、教育達成度を通じて社会発展の傾向を時系列で把握するために使用されます。世界銀行のエコノミストであるヴィノード・トーマス、ヤン・ワン、シーボー・ファンの3名による85か国を対象とした研究では、1990年にマリの教育ジニ係数が0.92と最も高く（人口全体で教育達成度の不平等が非常に高いことを示唆）、米国は教育不平等ジニ係数が0.14と最も低いと推定されました。1960年から1990年の間に、中国、インド、韓国の教育不平等ジニ係数が最も急速に低下しました。また、米国の教育ジニ係数は1980年から1990年の期間にわずかに上昇したとも主張しています。

インドの教育ジニ係数は1960年から1990年にかけて低下しているものの、依然として大多数の人々が教育を受けておらず、人口の10％が国内の総教育時間の40％以上を受けています。これは、国内の有能な子供たちの多くが、社会に貢献できる人材となるために必要な支援を受けていないことを意味します。多くの人々が未発達で活用されていないため、これは国家社会にとって死荷重損失につながります。^{[ 59 ]}

ジニ所得係数と概念的に類似しているジニ機会係数は、機会の不平等を測定する。^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]}この概念は、アマルティア・センの提案^{[ 63 ]}に基づいている。センは、社会発展の不平等係数は、所得の不平等を減らすプロセスではなく、人々の選択肢を広げ、能力を高めるプロセスに基づいているべきだと述べている。コバチェビッチは、ジニ機会係数のレビューの中で、この係数は、社会が市民に人生で成功を達成させる能力をどれだけ高めているかを推定するものだと説明している。ここでいう成功とは、性別、人種、出生地、親の収入、個人の制御を超えた状況など、出生時にあらかじめ決められた一連の状況によって定義される背景ではなく、個人の選択、努力、才能に基づくものである。

2003年、レーマー^{[ 60 ] [ 64 ]}は、イタリアとスペインが先進国の中で最大の機会不平等ジニ係数を示したと報告した。

1978年、アンソニー・ショロックスは所得ジニ係数に基づく所得移動性の推定指標を導入した。^{[ 65 ]}この指標は、マースミとザンドヴァキリによって一般化され、^{[ 66 ]}現在では一般的にショロックス指数と呼ばれ、ショロックス移動性指数またはショロックス硬直性指数と呼ばれることもある。この指標は、所得不平等のジニ係数が永続的か一時的か、また、国や地域が国民の経済的移動をどの程度可能にし、国民が時間の経過とともにある所得分位（例えば、下位20%）から別の所得分位（例えば、中間20%）へ移動できるようにしているかを推定しようとするものである。言い換えれば、ショロックス指数は、世帯の年間所得などの短期的な所得の不平等と、同じ世帯の5年間または10年間の総所得などの長期的な所得の不平等を比較するものである。

ショロックス指数はいくつかの異なる方法で計算されますが、一般的なアプローチは、同じ地域または国の短期と長期の所得ジニ係数の比率から計算することです。^{[ 67 ]}

1937年以降の米国の社会保障所得データとジニ係数に基づくショロック指数を用いた2010年の研究では、米国の所得移動は、第二次世界大戦後に女性が大量に労働力に流入したことが主な原因で、複雑な歴史をたどってきたと結論付けている。1937年から2000年の間、所得不平等と所得移動の傾向は、男性労働者と女性労働者で異なっていた。男性と女性を一緒に考慮すると、ジニ係数に基づくショロック指数の傾向は、米国ではここ数十年で、すべての労働者の間で長期的な所得不平等が大幅に減少したことを示唆している。^{[ 67 ]} 1990年代のデータのみ、または他の短い期間を使用した他の研究者は、異なる結論に達している。^{[ 68 ]}例えば、サストレとアヤラは、1993年から1998年までの6つの先進国の所得ジニ係数データを調査した結果、フランスは所得移動性が最も低く、イタリアは最も高く、米国とドイツは中間的な所得移動性を示したと結論付けている。^{[ 69 ]}

ジニ係数は相対的な尺度です。発展途上国のジニ係数は、絶対的貧困層の人数が減少しても、（所得格差の拡大により）上昇する可能性があります。^{[ 70 ]}これは、ジニ係数が絶対的な富ではなく、相対的な富を測定するためです。

ジニ係数は単純ですが、この単純さゆえに見落としが生じたり、異なる人口の比較が混乱したりする可能性があります。例えば、バングラデシュ（一人当たり所得1,693ドル）とオランダ（一人当たり所得42,183ドル）はどちらも2010年に所得ジニ係数が0.31でしたが^{[ 71 ]} 、これらの国の生活の質、経済的機会、絶対所得は大きく異なります。つまり、ジニ係数が同じでも、国の富は大きく異なる可能性があります。先進国では基本的な必需品はすべての人に利用可能かもしれませんが、同じジニ係数の発展途上国では、絶対的な富が少ないため、基本的な必需品はほとんどの人にとって利用できないか、不平等にしか利用できない可能性があります。

ジニ係数にも数学的な限界がある。ジニ係数は加算式ではないため、異なる人々の集団の平均値を算出して、その集団全体のジニ係数を求めることはできない。

人口の総所得が同じであっても、所得分布が異なる2つの国が同じジニ係数を持つ場合がある（例えば、所得ローレンツ曲線が交差する場合）。^{[ 44 ]}表Aは、そのような状況の一例を示している。両国ともジニ係数は0.2だが、世帯グループの平均所得分布は異なっている。別の例として、所得の低い50%の人が所得がなく、残りの50%の人が同じ所得を持つ人口では、ジニ係数は0.5である。一方、所得の低い75%の人が所得の25%を持ち、上位25%の人が所得の75%を持つ別の人口でも、ジニ係数は0.5である。所得とジニ係数が似ている経済でも、所得分布は大きく異なる場合がある。BellùとLiberatiは、2つの人口間の所得不平等をジニ係数に基づいて順位付けすることは必ずしも可能ではないと主張している。^{[ 72 ]}同様に、計算社会科学者のファビアン・ステファニーは、人口内、例えば同年齢・同学歴の特定の社会経済グループ内の所得格差も、従来のジニ係数では検出されないことを示している。^{[ 73 ]}

ジニ係数には、国民所得や個人所得の絶対値に関する情報は含まれていません。人口は、所得ジニ係数が非常に低い一方で、富ジニ係数が非常に高いという状況を同時に示すことができます。所得の不平等を測定することで、ジニ係数は家計所得の利用効率の差を無視します。富（所得に貢献する場合を除く）を無視することで、比較対象者が人生の異なる段階にある場合、ジニ係数は不平等に見えることがあります。スウェーデンのような裕福な国では、可処分所得のジニ係数が0.31と低く、平等に見える一方で、富のジニ係数は0.79から0.86と非常に高く、社会における富の分配が極めて不平等であることを示唆しています。^{[ 74 ] [ 75 ]}これらの要因は、所得ベースのジニ係数では評価されません。

ジニ係数は、人口が少ない地域では下方バイアスがあります。^{[ 76 ]}人口が少なく経済の多様性が低い郡、州、または国では、ジニ係数が小さくなる傾向があります。経済的に多様な大規模な人口グループでは、各地域よりもはるかに高い係数が期待されます。たとえば、世界経済全体と全人類の所得分布を考慮すると、さまざまな研究者がグローバルジニ係数を0.61から0.68の範囲と推定しています。^{[ 11 ] [ 12 ]} 他の不平等係数と同様に、ジニ係数は測定の粒度によって影響を受けます。たとえば、同じ分布の場合、5つの20%分位点（低粒度）は通常、20の5%分位点（高粒度）よりも低いジニ係数になります。フィリップ・モンフォールは、一貫性のない、または指定されていない粒度を使用すると、ジニ係数の測定の有用性が制限されることを示しました。^{[ 77 ]}

ジニ係数で測定される所得格差の変化は、人口増加（出生率の上昇、高齢化、移住、移民）や所得移動などの社会構造の変化に起因する可能性がある。^{[ 78 ]}

ジニ係数のもう一つの限界は、所得格差しか測定しないため、平等主義の適切な指標とは言えない点です。例えば、平等主義の度合いが等しい2つの国が異なる移民政策を採用しているとします。その場合、低所得者や貧困層の移民をより多く受け入れている国の方がジニ係数が高くなり、結果として所得格差が大きいと判断される可能性があります。

ジニ係数は、同じ経済状況や所得分布であっても、世帯ではなく個人に適用すると異なる結果を示す。世帯データを用いる場合、所得ジニ係数の測定値は世帯の定義方法によって左右される。異なる集団を統一された定義で測定しない限り、比較は意味をなさない。さらに、世帯所得ジニ係数の変化は、離婚率の上昇や大家族世帯が核家族へと分裂するなど、世帯形態の変化によって引き起こされる可能性がある。

DeiningerとSquire（1996）は、世帯所得ではなく個人所得に基づく所得ジニ係数が異なることを示している。例えば、米国では個人所得に基づくジニ係数は0.35であったのに対し、フランスでは0.43であった。彼らの個人に焦点を当てた方法によれば、彼らが調査した108か国の中で、南アフリカは世界で最も高いジニ係数0.62、マレーシアはアジアで最も高いジニ係数0.5、ブラジルはラテンアメリカ・カリブ海地域で最も高い0.57、トルコはOECD諸国で最も高い0.5であった。^{[ 79 ]}

億万長者のトーマス・クォック氏は、香港の所得ジニ係数が高い（2010年は0.434 ^{[ 71 ]}）のは、人口構造の変化が一因だと主張した。ここ数十年、香港では小規模世帯、高齢者世帯、一人暮らしの高齢者が増加している。合計所得はより多くの世帯に分散されるようになった。香港では多くの高齢者が子供と別居している。こうした社会の変化は、世帯所得の分布に大きな変化をもたらした。クォック氏は、所得ジニ係数はこうした社会構造の変化を捉えていないと主張している。^{[ 78 ]}このセクションの表Cにまとめられている米国の世帯所得分布は、この問題が香港に限ったことではないことを裏付けている。米国国勢調査局によると、1979年から2010年の間に、米国の人口は世帯全体の構造変化を経験し、すべての所得階層の所得はインフレ調整後で増加し、世帯所得分布は時間の経過とともに高所得階層にシフトし、所得ジニ係数は上昇した。^{[ 80 ] [ 81 ]}

ジニ係数は、人口の構造的変化の影響を判別することができません。^{[ 78 ]}寿命尺度の重要性をさらに詳しく述べると、ある時点での平等の点推定値としてのジニ係数は、所得の生涯変化を無視しています。一般的に、社会の若年層または高齢者層の割合が増加すると、人々は一般的に高齢期よりも若年期の方が所得と資産が低いため、平等に明らかな変化が生じます。このため、人口内の年齢分布や所得階級内の移動などの要因は、人口統計学的影響を考慮しても、実際には不平等が存在しないにもかかわらず、不平等に見える可能性があります。したがって、ある経済は、ある時点において別の経済よりも高いジニ係数を持つ可能性がありますが、個人の生涯所得で計算されたジニ係数は、ある時点においてより平等に見える経済よりも低くなります。^{[ 15 ]}本質的に重要なのは、特定の年の不平等だけでなく、時間の経過に伴う分布構成です。

現物所得に金銭的価値を割り当てる際の不正確さは、真の不平等を測る指標としてのジニ係数の精度を低下させる。

税金や現金給付は比較的簡単に計上できるが、その他の政府給付は評価が難しい。住宅補助、医療、教育といった給付は、その質や規模によって評価が左右されるため、客観的に評価することは困難である。自由市場が存在しない場合、これらの所得移転を家計所得として評価することは主観的となる。ジニ係数の理論モデルは、正しいか間違っているかを問わず、主観的な仮定を受け入れるという制約がある。

自給自足型で非公式な経済では、人々は自給農業や物々交換など、お金以外の形でかなりの収入を得ている可能性があります。このような収入は、サハラ以南アフリカ、ラテンアメリカ、アジア、東ヨーロッパなどの新興経済国や移行経済国の貧困層に集中する傾向があります。非公式経済は世界の雇用の半分以上を占め、公式のジニ係数が高いサハラ以南アフリカの貧しい国々では雇用の90%にも達します。シュナイダーらは、162か国を対象とした2010年の研究^{[ 82 ]}で、世界のGDPの約31.2%、つまり約20兆ドルが非公式であると報告しています。発展途上国では、より裕福な都市部の高所得者層を除いて、すべての所得階層で非公式経済が優勢です。先進国経済においても、各国のGDPの8%（米国）から27%（イタリア）が非公式経済である。その結果生じる非公式収入は、最低所得層の人々にとって生計活動として支配的である。^{[ 83 ]}非公式経済または地下経済からの収入の価値と分布は定量化が難しく、真の所得ジニ係数の推定が困難である。^{[ 84 ] [ 85 ]}これらの収入の異なる仮定と定量化によって、異なるジニ係数が得られる。^{[ 86 ] [ 87 ] [ 88 ]}