平均絶対差

平均絶対差（単変量）は、確率分布から抽出された2つの独立した値の平均絶対差に等しい統計的散布度の尺度です。関連する統計量は相対平均絶対差で、これは平均絶対差を算術平均で割ったもので、ジニ係数の2倍に等しくなります。平均絶対差は、絶対平均差（平均符号差の絶対値と混同しないように注意）やジニ平均差（GMD）とも呼ばれます。^[1] 平均絶対差は、ΔまたはMDと表記されることもあります。

平均絶対差は、独立して同一に分布する2 つのランダム変数XとYの絶対差(以降、Qと呼ぶ)の「平均」または「平均値」、正式には期待値として定義されます。

${\displaystyle \mathrm {MD} :=E[|XY|].}$

具体的には、離散的なケースでは、

• Qに従って均一に分布する母集団からn個のランダムサンプルを抽出した場合、全期待値の法則により、サンプル値y _i（i = 1 からnまで）のシーケンスの（経験的）平均絶対差は、すべての可能な差の絶対値の算術平均として計算できます。

${\displaystyle \mathrm {MD} =E[|XY|]=E_{X}[E_{Y|X}[|XY|]]={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|x_{i}-y_{j}|.}$

• Q が離散確率関数 f ( y )を持つ場合、y _i（i = 1 からn）は非ゼロの確率を持つ値です。

${\displaystyle \mathrm {MD} =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}f(y_{i})f(y_{j})|y_{ i}-y_{j}|.}$

連続的な場合、

• Qが確率密度関数 f ( x )を持つ場合:

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,f(y)\,|x-y|\,dx\,dy.}$

この式の別の形式は次のようになります。

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }2\,f(x)\,f(x+\delta )\,\delta \,dx\,d\delta .}$

• Q が累積分布関数 F ( x ) を持ち、その関数が分位関数 Q ( F ) である場合、 f(x)=dF(x)/dxかつQ(F(x))=x であるため、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|Q(F_{1})-Q(F_{2})|\,dF_{1}\,dF_{2}.}$

確率分布が有限かつ非ゼロの算術平均AMを持つ場合、相対平均絶対差（ΔまたはRMDと表記されることもある）は次のように定義される。

${\displaystyle \mathrm {RMD} ={\frac {\mathrm {MD} }{\mathrm {AM} }}.}$

相対平均絶対差は、平均の大きさと比較して平均絶対差を定量化する無次元量です。相対平均絶対差は、ローレンツ曲線で定義されるジニ係数の 2 倍に等しくなります。この関係により、相対平均絶対差とジニ係数の両方に補完的な観点が与えられ、それらの値を計算する代替方法も含まれます。

平均絶対差は変換や反転に対して不変であり、正のスケーリングに比例して変化します。つまり、Xがランダム変数でcが定数の場合、次のようになります。

• MD( X + c ) = MD( X )、
• MD(− X ) = MD( X )であり、
• MD( cX ) = | c | MD( X )。

相対平均絶対差は正のスケーリングに対して不変であり、負のスケーリングと交換され、元の算術平均と変換された算術平均の比率に比例して変換によって変化します。つまり、Xがランダム変数で c が定数の場合、次のようになります。

• RMD( X + c ) = RMD( X ) · mean( X )/ (mean( X ) + c ) = RMD( X ) / (1 + c / mean( X ))、c ≠ −mean( X )の場合、
• RMD(− X ) = −RMD( X )、そして
• c > 0の場合、 RMD( c X ) = RMD( X )となります。

ランダム変数の平均が正の場合、その相対平均絶対差は常に 0 以上になります。さらに、ランダム変数が 0 以上の値しか取れない場合、その相対平均絶対差は 2 未満になります。

平均絶対差はL スケールの2 倍(第 2 L モーメント) ですが、標準偏差は平均の周りの分散の平方根です (第 2 従来中心モーメント)。L モーメントと従来モーメントの違いは、平均絶対差と標準偏差を比較すると最初にわかります (第 1 L モーメントと第 1 従来モーメントはどちらも平均です)。

標準偏差と平均絶対差はどちらも分散、つまり母集団の値または分布の確率がどの程度広がっているかを測定します。平均絶対差は中心傾向の特定の尺度で定義されませんが、標準偏差は算術平均からの偏差で定義されます。標準偏差は差を二乗するため、平均絶対差と比較して、大きい差に重みが増し、小さい差に重みが減る傾向があります。算術平均が有限の場合、標準偏差が無限であっても平均絶対差も有限になります。具体的な比較については例を参照してください。

最近導入された距離標準偏差は、平均絶対差と同様の役割を果たしますが、距離標準偏差は中心距離で機能します。E統計も参照してください。

ランダム変数XからのランダムサンプルSはn個の値y _iから成り、統計量は

${\displaystyle \mathrm {MD} (S)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{n(n-1)}}}$

MD( X )の一貫性のある偏りのない 推定値です。統計量:

${\displaystyle \mathrm {RMD} (S)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{(n-1)\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}}$

はRMD( X )の一貫した 推定値ですが、一般には偏りのない推定値ではありません。

RMD( X )の信頼区間はブートストラップサンプリング手法を使用して計算できます。

一般に、RMD( X )の不偏推定量は存在しない。これは、平均の逆数を掛けた不偏推定値を見つけることが難しいためである。例えば、サンプルが未知のpに対するランダム変数X ( p )から取られていることがわかっていて、X ( p )−1がベルヌーイ分布に従う場合であっても、Pr( X ( p )=1)=1−  pかつPr( X ( p )=2)= pとなるので、

RMD( X ( p )) = 2p ( 1−  p )/(1+  p )です。

しかし、 RMD( X ( p ))の推定値R ( S )の期待値は次の形式となる: ^[要出典]

${\displaystyle \operatorname {E} (R(S))=\sum _{i=0}^{n}p^{i}(1-p)^{n-i}r_{i},}$

ここで、r _{i は}定数です。したがって、0から1までの すべてのpに対して、E( R ( S ))はRMD( X ( p ))と等しくなることはありません。

†はベータ関数である${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$

• 平均絶対誤差
• 平均偏差
• 見積もり
• 変動係数
• Lモーメント

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