ローレンツ曲線

経済学において、ローレンツ曲線は所得または富の分布をグラフで表したものである。これは、富の分布の不平等を表すために、マックス・O・ローレンツによって1905年に開発された。

この曲線は、所得または資産の下位x %の人々が占める割合を示すグラフですが、これは有限人口に対して厳密には当てはまりません (下記参照)。所得分布を表すためによく用いられ、下位x %の世帯が総所得の何パーセント( y %)を占めているかを示します。x軸には世帯の割合、 y軸には所得の割合がプロットされます。資産の分布を示すためにも使用できます。このような用途では、多くの経済学者がこれを社会的不平等の尺度とみなしています。

この概念は、生態学における個体の大きさの不平等を記述するのに役立ち^{[ 1 ]} 、生物多様性の研究では、種の累積割合を個体の累積割合に対してプロットします^{[ 2 ]} 。また、ビジネスモデリングにも役立ちます。たとえば、消費者金融では、リスクスコアが最も高いx %の人々に起因する延滞の実際の割合y %を測定します。ローレンツ曲線は、疫学や公衆衛生にも適用され、たとえば、地域の流行発生率に関してランク付けされた地域(x%)に居住する人口によって生成された全国累積発生率(y%)の分布としてパンデミックの不平等を測定します^{[ 3 ]}。

ローレンツ曲線上の点は、「全世帯の下位20％が総所得の10％を占めている」といった記述を表している。

完全に平等な所得分配とは、すべての人が同じ所得を得ている状態を指します。この場合、社会の下位N％は常に所得のN％を占めることになります。これは直線y = xで表すことができ、「完全平等線」と呼ばれます。

対照的に、完全な不平等な分配とは、一人の人がすべての収入を得て、他の全員が収入を得られない状態を指します。この場合、曲線はx < 100%の範囲でy = 0%となり、x = 100%のときにy = 100%となります。この曲線は「完全不平等線」と呼ばれます。

ジニ係数は、完全平等線と観測されたローレンツ曲線の間の面積と、完全平等線と完全不平等線の間の面積の比です。係数が高いほど、分布の不平等度が高いことを示します。右の図では、これはA / ( A + B )という比で表され、AとB は図に示された領域の面積です。

ローレンツ曲線は、ある変数の分布を、その変数の仮想的な一様分布と比較する確率プロット（ P-Pプロット）です。通常、関数L ( F )で表され、横軸は人口の累積割合F、縦軸は総資産または総所得の累積割合Lを表します。

曲線L はFの滑らかな増加関数である必要はありません。富の分布には、例えば寡頭制や負の富を持つ人々が存在する可能性があります。^{[ 4 ]}

Y の離散分布は、非減少順( y _i ≤ y _{i +1} )の値y ₁ , ..., y _nとそれらの確率によって与えられる。${\displaystyle f(y_{j}):=\Pr(Y=y_{j})}$ローレンツ曲線は、点( F _i , L _i ) ( i = 0 からnまで) を結ぶ連続的な区分的線形関数であり、ここでF ₀ = 0、L ₀ = 0であり、i = 1 からnまでです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}&:=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\\S_{i}&:=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\,y_{j}\\L_{i}&:={\frac {S_{i}}{S_{n}}}\end{aligned}}}$$

すべてのy _iが確率1 / nで等しい確率である場合、これは次のように簡略化されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}&={\frac {i}{n}}\\S_{i}&={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{i}\;y_{j}\\L_{i}&={\frac {S_{i}}{S_{n}}}\end{aligned}}}$$

確率密度関数fと累積分布関数Fを持つ連続分布の場合、ローレンツ曲線Lは次のように表されます。 $${\displaystyle L(F(x))={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\int _{-\infty }^{\infty }t\,f(t)\,dt}}={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\mu }}}$$ どこ${\displaystyle \mu }$は平均値を表します。ローレンツ曲線L ( F )は、 x をパラメータとする関数として、L ( x )対F ( x )のグラフにプロットできます。他の文脈では、ここで計算される量は長さバイアス分布 (またはサイズバイアス分布) として知られており、再生理論においても重要な役割を果たします。

あるいは、累積分布関数F ( x )とその逆関数である分位関数x ( F )に対して、ローレンツ曲線L ( F )は次のように直接与えられます。 $${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{0}^{F}x(F_{1})\,dF_{1}}{\int _{0}^{1}x(F_{1})\,dF_{1}}}}$$

累積分布関数に一定値の区間が存在するため、分位関数x ( F )は存在しない可能性があります。しかし、 x ( F )の定義を一般化することで、前述の式を適用できます。 $${\displaystyle x(F_{1})=\inf\{y:F(y)\geq F_{1}\}}$$ ここでinfは最小値です。

ローレンツ曲線の例については、パレート分布を参照してください。

ローレンツ曲線は常に(0,0)から始まり、(1,1)で終わります。

確率分布の平均がゼロまたは無限大の場合、ローレンツ曲線は定義されません。

確率分布のローレンツ曲線は連続関数である。しかし、不連続関数を表すローレンツ曲線は、確率分布のローレンツ曲線の極限として構築することができ、完全不等式線はその一例である。

ローレンツ曲線に含まれる情報は、ジニ係数とローレンツ非対称係数によって要約できる。^{[ 1 ]}

ローレンツ曲線は、完全平等線より上に伸びることはできない。

別のローレンツ曲線より下に落ちず、少なくとも一度は上を通るローレンツ曲線は、その別のローレンツ曲線に対してローレンツ優位性を持つ。^{[ 5 ]}

測定対象の変数が負の値をとることができない場合、ローレンツ曲線は次のようになります。

• 完全な不平等の線より下に沈むことはできない、
• 増加している。

ただし、純資産に関するローレンツ曲線は、負債のために純資産がマイナスになる人もいるため、最初はマイナスから始まることに注意してください。

ローレンツ曲線は正のスケーリングに対して不変です。X が確率変数である場合、任意の正の数cに対して、確率変数c XはXと同じローレンツ曲線を持ちます。

ローレンツ曲線は、F = 0.5とL = 0.5をそれぞれ中心として、2 回反転されます。Xがローレンツ曲線L _X ( F )を持つ確率変数である場合、− X は次のローレンツ曲線を持ちます。

L _{− X} = 1 − L _X (1 − F )

ローレンツ曲線は平行移動によって変化し、等価ギャップF − L ( F )は元の平均と平行移動後の平均の比に比例して変化します。X がローレンツ曲線 L X ( F ) と平均 μ X を持つ確率変数である場合、任意の定数_c ≠ − μ Xに対して_、 X + cは次_のように定義されるローレンツ曲線を持ちます。 $${\displaystyle F-L_{X+c}(F)={\frac {\mu _{X}}{\mu _{X}+c}}(F-L_{X}(F))}$$

平均μを持つ累積分布関数F ( x )と（一般化された）分位関数x ( F )について、 0 < F < 1を満たす任意のFに対して、次の式が成り立つ。 

• ローレンツ曲線が微分可能であれば：$${\displaystyle {\frac {dL(F)}{dF}}={\frac {x(F)}{\mu }}}$$
• ローレンツ曲線が2回微分可能であれば、その点において確率密度関数f ( x )が存在し、以下の条件が満たされる。$${\displaystyle {\frac {d^{2}L(F)}{dF^{2}}}={\frac {1}{\mu \,f(x(F))}}\,}$$
• L ( F )が連続微分可能であれば、 L ( F )の接線は点F ( μ )において完全等式線に平行になります。この点は、ローレンツ曲線と完全等式線との間の垂直距離である等式ギャップF - L ( F )が最大となる点でもあります。ギャップの大きさは、相対平均絶対偏差の半分に等しくなります。$${\displaystyle F(\mu )-L(F(\mu ))={\frac {\text{平均絶対偏差}}{2\,\mu }}}$$

L ( F ) = F ^PおよびL ( F ) = 1 − (1 − F ) ^{1/ P} ( P ≥ 1の場合)は、ローレンツ曲線のよく知られた関数形式です。^{[ 6 ]}

• 流通（経済学）
• 富の分配
• 厚生経済学
• 所得格差指標
• ジニ係数
• フーバー指数（別名ロビンフッド指数）
• ROC分析
• 社会福祉（政治学）
• 経済的不平等
• ジップの法則
• パレート分布
• 平均偏差
• 象の曲線

• Lorenz, MO (1905). 「富の集中度を測定する方法」.アメリカ統計協会出版物. 9 (70). アメリカ統計協会出版物、第 9 巻、第 70 号: 209–219。Bibcode : 1905PAmSA ... 9..209L . doi : 10.2307/2276207 . JSTOR 2276207. S2CID 154048722 .  
• Gastwirth, Joseph L. (1972). 「ローレンツ曲線とジニ係数の推定」. The Review of Economics and Statistics . 54 (3). The Review of Economics and Statistics, Vol. 54, No. 3: 306–316 . doi : 10.2307/1937992 . JSTOR 1937992 . 
• チャクラヴァルティ、SR（1990）。倫理的社会指標番号。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-52274-3。
• アナンド、スディール（1983）。マレーシアにおける不平等と貧困。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-520153-1。

• WIID （世界所得不平等データベース）は、2011年3月13日にWayback Machineにアーカイブされました。これは、 WIDER（国連大学傘下の世界開発経済研究所）が収集した、不平等に関する情報源です。
• glcurve：ローレンツ曲線を描画するためのStataモジュール（インストールするには、Stataプロンプトで「findit glcurve」または「ssc install glcurve」と入力してください）
• 不平等と貧困の指標を計算するためのSTATA用無料アドオン
• 無料オンラインソフトウェア（計算機）は、ジニ係数を計算し、ローレンツ曲線を描画し、あらゆるデータセットに対して他の多くの集中度指標を計算します。
• 無料計算機：アトキンソン不等式、ジニ不等式、フーバー不等式に対応したオンラインおよびダウンロード可能なスクリプト（PythonおよびLua ）
• Rデータ分析ソフトウェアのユーザーは、「ineq」パッケージをインストールすることで、ジニ係数、アトキンソン係数、タイル係数など、さまざまな不平等指標を計算できます。
• MATLAB不等式パッケージ（2008年10月4日アーカイブ）には、ジニ係数、アトキンソン係数、タイル係数の計算コード、およびローレンツ曲線のプロットコードが含まれています。多数のサンプルコードも利用可能です。
• ローレンツ曲線に関する包括的な資料。ローレンツ曲線のグラフ化やジニ係数、変動係数の計算を行うExcelスプレッドシートなど、様々な応用例が含まれています。
• LORENZ 3.0は、Excelシートのデータからサンプルローレンツ曲線を描画し、ジニ係数とローレンツ非対称係数を計算するMathematicaノートブックです。