アトキンソン指数

アトキンソン指数（アトキンソン指標またはアトキンソン不平等指標とも呼ばれる）は、イギリスの経済学者アンソニー・バーンズ・アトキンソンが開発した所得格差の指標である。この指標は、分布のどの端が観察された不平等に最も寄与したかを判断するのに役立つ。^[1]

アトキンソン指数は次のように定義されます。

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{for}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{for}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{for}}\ \varepsilon =+\infty \end{cases}}}$

ここで、は個人所得（i = 1, 2, ..., N）、は平均所得です。 ${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \mu}$

言い換えれば、アトキンソン指数は、指数1−εのヘルダー一般化平均と所得の算術平均の比の1の補数です（通常どおり、指数0の一般化平均は幾何平均として解釈されます）。

この指数は、所得に重み付けする係数を課すことで、規範的な尺度に変えることができる。所得分布の特定の部分の変化に、より大きな重みを置けるようにするには、「不平等回避」のレベルを適切に選択する。アトキンソン指数は、が増加するにつれて、所得分布の下端の変化に対してより敏感になる。逆に、不平等回避のレベルが低下すると（つまり、が0 に近づくと）、アトキンソンは分布の下端の変化に対してより鈍感になる。アトキンソン指数は、 が負でないという共通の制約のため、 の値がない場合は、上位所得に対して非常に敏感である。^[2] ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

アトキンソンパラメータは、不平等から生じる暗黙の社会福祉損失の、対応する一般化エントロピー指数で測定される所得不平等に対する感度を調節するため、「不平等回避パラメータ」と呼ばれることが多い。アトキンソン指数は、対応する社会福祉関数を参照して定義され、平均所得にアトキンソン指数の 1 を引いた値を掛けると、福祉相当の均等分配所得が得られる。したがって、アトキンソン指数は、完全な不平等が導入された場合に社会福祉を低下させることなく犠牲にできる現在の所得の割合を与える。 の場合(不平等回避なし)、所得からの限界社会福祉は所得に対して不変である。つまり、所得の限界増加は、それが貧しい個人に渡っても裕福な個人に渡っても、同じだけの社会福祉を生み出す。この場合、福祉相当の均等分配所得は平均所得に等しく、アトキンソン指数はゼロである。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon =0}$

（不平等に対する無限の嫌悪）の場合、最も貧しい個人の所得の限界社会福祉は、それよりわずかに裕福な個人の所得よりも無限に大きく、アトキンソンの社会福祉関数はサンプル内の最小所得に等しくなります。この場合、アトキンソン指数は、平均所得から最小所得を引いたものを平均所得で割ったものに等しくなります。大規模な典型的な所得分布では、所得がゼロまたはゼロに近いことが一般的であるため、アトキンソン指数は、非常に大きい場合、1 または 1 に非常に近い値になる傾向があります。 ${\displaystyle \varepsilon =+\infty }$${\displaystyle \epsilon }$

アトキンソン指数は 0 から 1 の間で変化し、特定のパラメータに対して、特定の所得分布の完全な再分配によって得られる社会的効用の量を測る指標です。功利主義の倫理基準といくつかの制限的な仮定 (均質な人口と一定の代替効用の弾力性) の下では、所得の限界効用の所得弾力性に等しくなります。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

不平等回避を伴うアトキンソン指数は、（単調な再スケーリングの下で​​は）パラメータを伴う一般化エントロピー指数と同等である。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \alpha =1-\varepsilon }$

制約下で対応するGE指数から不平等回避パラメータを持つアトキンソン指数を導出する式は次のように表されます。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \varepsilon =1-\alpha }$$${\displaystyle A=1-[\varepsilon (\varepsilon -1)GE(\alpha )+1]^{(1/(1-\varepsilon ))}\qquad \varepsilon \neq 1}$$ $${\displaystyle A=1-e^{-GE(\alpha )}\qquad \varepsilon =1}$$

アトキンソン指数は次の特性を満たします。

1. インデックスは引数に関して対称です。任意の順列に対してです。${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})}$${\displaystyle \sigma}$
2. インデックスは非負であり、すべての所得が同じである場合にのみゼロになります。つまり、すべて の場合に限ります。${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0}$${\displaystyle y_{i}=\mu }$${\displaystyle i}$
3. この指数は移転の原則を満たしています。つまり、ある所得を持つ個人から別の所得を持つ個人に移転が行われ、その場合、不平等指数は増加できません。${\displaystyle \Delta >0}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta }$
4. この指標は、人口複製公理を満たしています。つまり、既存の人口を任意の回数複製して新しい人口を形成した場合、不等式は同じままです。${\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}$
5. この指数は、平均独立性、または所得均一性の公理を満たしています。つまり、すべての所得に正の定数を掛けても、不等式は同じままです。任意の についてです。${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})}$${\displaystyle k>0}$
6. この指数は（非加法的に）サブグループ分解可能であり、対応する一般化エントロピー指数は加法的にサブグループ分解可能である。^[3]これは、人口全体の不平等は、各グループ内の対応する一般化エントロピー指数の合計として計算でき、グループ平均所得の一般化エントロピー指数は次のようになることを意味している。

${\displaystyle GE(\alpha ;y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}GE(\alpha ;y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+GE(\alpha ;\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})}$

ここで、指数グループ、、グループ内の個人はグループ の平均所得であり、重みはおよびに依存します。加法分解可能な不平等指数のクラスは非常に制限的です。実際、加法分解可能なのは一般化エントロピー指数のみです。ジニ指数を含む多くの一般的な指数は、この特性を満たしていません。${\displaystyle g}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mu_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle w_{g}}$${\displaystyle \mu _{g},\mu ,N}$${\displaystyle N_{g}}$

• 所得格差の指標
• 一般化エントロピー指数
• ジニ係数

• Atkinson, AB (1970) 不平等の測定について。経済理論ジャーナル、2 (3)、pp. 244–263、doi :10.1016/0022-0531(70)90039-6。この不平等指数を提案した最初の論文。
• Allison PD (1978) 不平等の尺度、American Sociological Review、43、pp. 865–880。アトキンソン尺度の特性に関する技術的な議論を提示しています。アトキンソン指数の計算式に誤りがありますが、Allison (1979) で修正されています。
• アリソン、PD（1979）ジャッソへの返答。アメリカ社会学評論44（5）：870–72。
• Biewen M、Jenkins SP (2003)。複雑な調査データからの一般化エントロピーおよびアトキンソン不等式指数の推定。IZA ディスカッション ペーパー #763。アトキンソン指数の統計的推論を提供します。
• ランバート、P.（2002）「所得の分配と再分配」第3版、マンチェスター大学出版局、ISBN 978-0-7190-5732-8。 
• Sen A、Foster JE (1997) On Economic Inequality、Oxford University Press、ISBN 978-0-19-828193-1。(本書内の数式の一部の Python スクリプト) 
• 世界所得不平等データベース 2011-03-13ウェイバックマシンにアーカイブ、世界開発経済研究所より
• 所得格差、1947年～1998年、米国国勢調査局より。

ソフトウェア：

• 無料のオンライン計算機は、ジニ係数を計算し、ローレンツ曲線をプロットし、あらゆるデータセットの集中度の他の多くの尺度を計算します。
• 無料計算機:アトキンソン不等式、ジニ不等式、フーバー不等式を計算するオンラインおよびダウンロード可能なスクリプト ( PythonおよびLua )
• R データ分析ソフトウェアのユーザーは、Gini、Atkinson、Theil などのさまざまな不平等指数を計算できる「ineq」パッケージをインストールできます。
• MATLAB 不等式パッケージ (2008-10-04 にWayback Machineにアーカイブ済み) には、ジニ係数、アトキンソン係数、Theil 係数を計算し、ローレンツ曲線をプロットするためのコードが含まれています。多くの例が利用可能です。
• Stata不等式パッケージ: ineqdeco (不等式をグループごとに分解)、svygei と svyatk (一般化エントロピーとアトキンソン指数の設計一貫性のある分散を計算する)、glcurve (一般化ローレンツ曲線を取得する)。Statassc install ineqdecoプロンプトに etc. と入力して、これらのパッケージをインストールできます。