所得格差の指標

所得不平等指標または所得分配指標は、社会科学者が特定の国や世界全体など、特定の経済の参加者間の所得の分配と経済的不平等を測定するために使用します。所得不平等がどのように発生するかを説明する理論はさまざまですが、所得不平等指標は単に所得の分散を判断するために使用される測定システムを提供します。不平等の概念は、貧困^[注1]や公平性とは異なります。

所得分配は常に経済理論と経済政策の中心的な関心事であった。アダム・スミス、トーマス・マルサス、デイヴィッド・リカードなどの古典派経済学者は、主に要素所得分配、つまり主な生産要素である土地、労働、資本間の所得分配に関心を持っていた。富の不平等には個別の要因が影響するが、それはしばしば富の分配と関連している。

現代の経済学者もこの問題に取り組んできましたが、個人や世帯間の所得分配にもっと関心を寄せてきました。重要な理論的および政策的懸念には、所得不平等と経済成長の関係が含まれます。記事「経済不平等」では、所得分配の問題の社会的および政策的側面について論じています。

以下に説明するすべての指標は、さまざまな種類のリソースの分配の不平等を評価するために適用できます。ここでは、リソースとしての収入に焦点が当てられています。「収入」にはさまざまな形式があるため、調査対象の収入の種類を明確に記述する必要があります。

所得の 1 つの形態は、個人が受け取る商品とサービスの合計額であり、したがって、必ずしも現金や現金が関係しているわけではありません。ウガンダの自給自足農家が自分で穀物を栽培した場合、それは所得としてカウントされます。公衆衛生や教育などのサービスも所得としてカウントされます。所得の測定には、支出または消費 (経済的には同じ) が使用されることがよくあります。世界銀行は、所得を測定するために、いわゆる「生活水準測定調査」^{[1]を使用しています。これは、200 を超える質問からなる質問票で構成されています。ほとんどの}開発途上国で調査が完了しています。

国内の所得格差の分析に適用される「所得」は、多くの場合、個人または世帯あたりの課税所得を表します。ここで、所得格差の尺度は、累進税率の影響を測定するために、課税前と課税後の所得分布を比較するためにも使用できます。

離散的なケースでは、経済格差指数は関数I(x)で表すことができます。ここで、x はn 個の経済的価値 (富や収入など)の集合x={x ₁ ,x ₂ ,...,x _n }であり、 x _{i は}「経済主体」 iに関連付けられた経済的価値です。

不平等に関する経済学の文献では、不平等の尺度は一般に次の 4 つの特性を満たす必要があると仮定されています。

• 匿名性か対称性か

  この仮定は、不平等の指標は経済における個人の「分類」に左右されず、重要なのは所得の分配だけであると述べています。たとえば、スミス氏とジョーンズ夫人の 2 人で構成される経済で、1 人が所得の 60%、もう 1 人が 40% を所有している場合、40% のシェアを所有するのがスミス氏でもジョーンズ夫人でも、不平等の指標は同じであるはずです。この特性は、不平等の概念を公平性の概念と区別するものです。公平性の概念では、特定の所得レベルを誰が所有し、どのように獲得したかが中心的重要性を持ちます。不平等の指標は、所得がどのように分配されるかについての単なるステートメントであり、経済における特定の人々が誰であるか、または彼らが「値する」所得の種類についてではありません。

  これは一般に数学的には次のように表現されます。

  $${\displaystyle I(P(x))=I(x)}$$

  ここでP(x)はxの任意の順列である。

• スケールの独立性または均質性

  この特性は、より豊かな経済は、構造上、自動的に不平等であるとみなされるべきではないことを示しています。言い換えると、経済におけるすべての人の収入が 2 倍になった場合 (または任意の正の定数で乗算された場合)、不平等の全体的な指標は変化しないはずです。もちろん、同じことはより貧しい経済にも当てはまります。不平等な所得指標は、所得の総レベルとは無関係である必要があります。これは次のように表現できます。

  $${\displaystyle I(\alpha x)=I(x)}$$

  ここでαは正の実数です。

• 人口の独立

  同様に、所得格差の指標は、経済の人口が多いか少ないかに左右されるべきではありません。人口の少ない経済が、人口の多い大規模経済よりも平等であると自動的に判断されるべきではありません。つまり、指標は人口レベルとは無関係であるべきです。これは通常、次のように記述されます。

  $${\displaystyle I(x\cup x)=I(x)}$$

  ここで、xとそれ自身の（コピー）の和集合です。${\displaystyle x\cup x}$

• 移転の原則

  ピグー・ドルトン原理、または移転原理は、不平等の測定基準を実際に不平等の尺度にする仮定です。弱い形では、所得順位を維持したまま、富裕層から貧困層に所得の一部が移転された場合、測定された不平等は増加しないはずです。強い形では、測定された不平等のレベルは減少するはずです。

その他の役に立つが必須ではないプロパティは次のとおりです。

• 非否定性

  インデックスI(x)はゼロ以上です。

• 平等主義ゼロ

  すべての値x _iが等しい平等主義の場合には、インデックスI(x)はゼロになります。

• 最大不平等によって制限される

  インデックスI(x) は、最大の不平等に対して最大値に達します。(1 つを除いてすべての x _iはゼロです) この値は通常、エージェントの数n が無限大に近づくにつれて 1 になります。

• サブグループの分解可能性^[2]

  この特性は、エージェントの集合x が2 つの互いに素な部分集合 ( yとz ) に分割される場合、I(x) は次のように表現できることを示しています。

  $${\displaystyle I(y\cup z)=w_{y}(y,z)I(y)+w_{z}(y,z)I(z)+w_{\mu }(y,z)I ({\mu _{y},\mu _{z}})}$$

  ここで、μ(x)とμ(y)はxとyの平均所得です。

  $${\displaystyle \mu_{x}={\frac{1}{n}}\sum_{1}^{n}x_{i}}$$

  w関数は、集合yとzのスカラー重み関数です。より強い表現では、w _y = μ _y / μ _x、w _z = μ _z / μ _xです。

不平等を測定するために使用される最も一般的な指標には、ジニ指数（ジニ係数とも呼ばれる）、タイル指数、フーバー指数があります。これらは、上記の 4 つの特性をすべて備えています。

経験的観点から望ましいかもしれない不平等指標のもう 1 つの特性は、「分解可能性」です。これは、特定の経済がサブ地域に分割され、各サブ地域ごとに不平等指標が個別に計算される場合、経済全体の不平等の尺度は、地域不平等の加重平均に、地域の平均の不平等に比例する項を加えたものになることを意味します (より弱い形式では、必ずしも線形ではないものの、サブ地域不平等の明示的な関数になることを意味します)。上記の指標のうち、この特性を持つのは Theil 指標のみです。

これらの所得格差指標は、所得の分布全体を 1 つの指標に集約しようとする要約統計であるため、測定された格差に関する情報は削減されます。もちろん、この情報削減は、格差指標を計算する目的であり、複雑さを軽減します。

所得分布を総所得のシェアで表すと、複雑さの軽減効果は弱くなります。単一の尺度を示すのではなく、調査対象の社会を五分位(または人口のその他の割合) などのセグメントに分割します。通常、各セグメントには同じ割合の所得者が含まれます。所得分布が不平等な場合、各セグメントで得られる所得のシェアは異なります。

多くの場合、上記の不平等指数は、セグメント内の不平等を評価せずに、このようなセグメント データから計算されます。セグメントの数が多いほど (五分位ではなく十分位など)、測定された分布の不平等は実際の不平等に近づきます。(セグメント内の不平等がわかっている場合は、「分解可能」という特性を持つ不平等メトリックによって、全体の不平等を決定できます。)

五分位の不平等の尺度は、移転原理を弱い形でのみ満たします。なぜなら、関連する五分位の外側の所得分配の変化はこの尺度では捉えられないからです。つまり、非常に裕福な人々と非常に貧しい人々との間の所得分配だけが重要であり、中間層の不平等は役割を果たしません。

3 つの不平等指標の詳細については、それぞれの Wikipedia の記事で説明されています。次のサブセクションでは、それらについて簡単に説明します。

ジニ係数は、人口内で資源がどれだけ公平に分配されているかを測定する要約統計であり、所得はその主な例です。ジニ係数の自己完結的な表示に加えて、この要約統計を解釈する2つの同等の方法を示します。1つは、平均ドルを稼ぐ人のパーセンタイルレベルの観点から、もう1つは、ランダムに選択された2つの所得のうち低い方の所得が平均所得と平均的にどのように比較されるかの観点からです。^[3]

ジニ係数は、所得順に並べられたすべての人口パーセンタイルについて、各人口パーセンタイルまでの累積所得の均等配分からの不足額の合計であり、その不足額の合計を完全な不平等を伴う最大値で割ったものです。

ジニ係数の範囲は 0 から 1 (0% から 100%) で、0 は完全な平等を示し、1 (100%) は最大の不平等を示します。

ジニ指数は、最も頻繁に使用される不平等指数です。この指数が広く使用されている理由は、ジニ指数をローレンツ曲線図の 2 つの領域の比率として計算する方法が理解しやすいためです。この尺度は、所得の全体的な分散を捉えようとしますが、分布の下限、中間、上限に異なるレベルの重要性を置く傾向があります。欠点として、ジニ指数は数値を図のプロパティにマッピングするだけで、図自体は分布プロセスのモデルに基づいていません。ジニ指数の「意味」は経験的にしか理解できません。さらに、ジニは分布のどこで不平等が発生するかを把握しません。その結果、所得の 2 つの非常に異なる分布が同じジニ指数を持つ場合があります。

20:20または20/20比率は、特定の人口の上位20%が下位20%よりどれだけ裕福であるかを比較する。これにより、上位と下位の外れ値が統計に与える影響が軽減され、中間の60%が現場で明らかな不平等を統計的に不明瞭にすることを防ぐため、人口における不平等の実際の影響がより明らかになる可能性がある。この指標は、国連開発計画の人間開発指標に使用されている。^{[4] [5]}たとえば、20:20比率は、日本とスウェーデンの平等格差が低いことを示し、最も裕福な20%の収入は最も貧しい20%の収入の4倍にすぎないが、英国ではその比率は7倍、米国では8倍である。 20:20の比率は、子どもの幸福度指数^[6] 、健康と社会問題の指数^[7 ]、刑務所の受刑者数^[8] 、身体的健康^[9] 、精神的健康^[10]など、人間開発と社会の安定の指標とよく相関するため、より有用な指標であると考える人もいます。^[11]

パルマ比率は、国民総所得における最も裕福な10%のシェアを最も貧しい40%のシェアで割った比率として定義されます。^{[12]これはチリの経済学者}ガブリエル・パルマの研究に基づいています。彼は、中流階級の所得が国民総所得の約半分を占め、残りの半分は最も裕福な10%と最も貧しい40%の間で分割されているが、この2つのグループの割合は国によってかなり異なることを発見しました。^[13]

パルマ比率は、ジニ係数が分配の中間層の変化に対して過敏であり、最上層と最下層の変化に対して鈍感であることに対処するものであり、^[14]したがって、所得格差が社会全体に与える経済的影響をより正確に反映している。パルマは、分配政策は主に富裕層と貧困層の間の闘争、そして中流階級が誰の側につくかに関係していると示唆している。^[13]

炭素パルマ比率は所得パルマ比率から導き出され、排出量上位 10% の総排出量と下位 40% の総排出量の比率として説明され、個人間の炭素排出量の分配不平等について国際社会と一般大衆に知らせるための新しい指標として提案されています。この比率は、個人の排出量と所得の弾性関係を使用して、国内および国家間で計算されます。結果によると、ほとんどの開発途上国の炭素パルマ比率は一般的に高く、地域および所得の不平等を調整し、排出量と所得の公平性を同時に高めるために主に高排出国に削減を促すことに重点を置く必要があることを示しています。先進国の炭素パルマ比率は比較的低いですが、温暖化に対する歴史的責任が大きいため、国家の緩和貢献を体系的に増やすために、すべての人々の排出量を大幅に削減していることが示されています。世界規模で見ると、現在の炭素パルマ比率はどの国よりも著しく高く、個人の排出量が領土の境界外にあると見なすと、非常に深刻な不平等を示しています。^[15]

フーバー指数は、あらゆる不平等の尺度の中で最も計算が簡単な指数です。これは、完全な平等の状態を達成するために再分配されなければならない全所得の割合です。

完全に平等な世界では、平等な分配を実現するために資源を再分配する必要はありません。フーバー指数は 0 です。すべての収入が 1 つの家族によって受け取られる世界では、平等を実現するためには、その収入のほぼ 100% を再分配 (つまり、他の家族に渡して受け取る) する必要があります。フーバー指数は 0 から 1 (0% から 100%) の範囲になります。0 は完全な平等を示し、1 (100%) は最大の不平等を示します。

ガルト スコアは、企業のCEO の給与とその企業の平均的な従業員の給与の単純な比率です。CEO に平均的な従業員の給与の何倍もの給与を支払っている企業は、ガルト スコアが高くなります。

この名前は、アイン・ランドの小説『肩をすくめるア​​トラス』（1957年） に登場する架空の人物、ジョン・ゴールトにちなんで付けられました。

スコアは、給与、ボーナス、株式報酬と従業員ストックオプションの価値、非株式インセンティブプラン報酬、非適格繰延報酬を含む CEO の総報酬を使用して計算されます。

所得格差の尺度として使用される変動係数 (CV) は、所得の標準偏差 (所得の分散の平方根) を所得の平均で割ることによって算出されます。したがって、標準偏差が小さい国では係数の変動は小さくなり、所得分配がより平等であることを意味します。

CVは数学的に扱いやすく、その平方はサブグループ分解可能であるという利点があるが、上限は定められていない。この単純な測定形式は、2つの大きな制限があるため、あまり一般的に使用されていない。1つ目は、CVはジニ係数とは異なり上限がないため、解釈と比較が困難になることである。2つ目は、平均値と標準偏差が異常な境界値に大きく影響される可能性があるため、異常なデータ分布の場合、この係数は所得格差の尺度として適切な選択ではない。^[16]

実際のジニ係数と比較すると、変動係数はスケールの右端に高い重みを置いており、富裕層に敏感になっています。研究の目的が分布の最上部への富の集中を分析することである場合、変動係数は適切な指標の選択となる可能性があります。^{[17] [18]}

所得の対数分散は、所得の対数分布に適用された分散として説明されます。^[19]このスケール不変の相対的不平等の尺度は左裾に敏感であるため、低所得層（貧困層）の貧困レベルを研究する際に使用するのに最適です。^[16]

賃金シェアは、雇用者報酬とGDPの比率です。言い換えれば、雇用者所得の合計を国民所得で割ったものです。

セン貧困指標は、貧困ライン以下の人々のジニ係数と貧困者比率、貧困ライン以下の人々の平均所得を組み合わせたものである。^[20]この指標はノーベル賞受賞者のアマルティア・センによって開発されたが、所得格差仮説の分野ではまだ使用されていない。熱狂的に歓迎されているものの、セン貧困指数は、例えば移転公理を満たしていない、分解可能ではない、またはサブグループ整合していないなど、いくつかの理想的な条件を満たしていない。^[21]

下のセクションで説明するように、Theil-L は、最大エントロピー (完全な平等で達成される) を基準として測定された、一人当たりの所得分布のディスエントロピーです。 (別の解釈では、Theil-L は、全所得に対する比率 (平均所得)/(所得 i) の幾何平均の自然対数です。関連する Atkinson(1) は、所得分布に対する (所得 i)/(平均所得) の幾何平均から 1 を引いたものです。)

大きい所得と小さい所得の間の移転は、大きい所得の比率の変化よりも小さい所得の比率の変化が大きいため、この指標によって移転原理が満たされます。

タイル指数が 0 の場合は完全な平等を示します。タイル指数が 1 の場合は、調査対象のシステムの分布エントロピーが 82:18 分布のシステムとほぼ同様であることを示します。^{[22]これは、「80:20}パレート原理」が適用されるシステムの不平等よりもわずかに不平等です。^{[注 2]タイル指数は、0 から 1 (0% から 100%) の範囲を持つ}アトキンソン指数に変換できます。0 は完全な平等を示し、1 (100%) は最大の不平等を示します。(変換については、 一般化エントロピー指数を参照してください。)

タイル指数はエントロピーの尺度である。あらゆる資源配分と情報理論に関して言えば、「最大エントロピー」は所得者がその資源によって区別されなくなるとき、すなわち完全な平等があるときに発生する。現実社会では、人々は所得という異なる資源によって区別される。より「区別可能」であればあるほど、所得と所得者からなるシステムの「実際のエントロピー」は低くなる。また、情報理論に基づいて、これら2つのエントロピーのギャップは「冗長性」と呼ばれる。^{[23]これは}負のエントロピーのように動作する。

また、タイル指数には「タイルエントロピー」という用語も使用されていた。これは混乱を招いた。例えば、アマルティア・センはタイル指数について「熱力学の文脈ではエントロピーは破滅と関連づけられているため、エントロピーが良いものであるということに慣れるには少し時間がかかるかもしれない」とコメントしている。^{[24]タイル指数の増加はエントロピーの増加を示すのでは}なく、冗長性の増加（エントロピーの減少）を示すことを理解することが重要である。

不平等が大きいと、Theil の冗長性が高くなります。冗長性が高いということは、エントロピーが低いことを意味します。しかし、これは必ずしも不平等が非常に高いことが「良い」ことを意味するわけではありません。なぜなら、エントロピーが非常に低いと、爆発的な補償プロセスにつながることもあるからです。また、Theil 指数を使用することで、不平等が非常に低い (冗長性が低く、エントロピーが高い) ことが「良い」ことを意味するわけでもありません。なぜなら、エントロピーが高いと、リソース割り当てプロセスが遅く、弱く、非効率的になるからです。

Theil 指数には 3 つのバリエーションがあります。所得分布に適用する場合、最初の Theil 指数 (Theil-L) は所得が所得者にどのように分配されるかに関連し、2 番目の Theil 指数 (Theil-T) は所得者が所得にどのように分配されるかに関連します。

3 番目の「対称化」Theil 指数 (Theil-S) は、前の 2 つの指数の算術平均です。3 番目の Theil 指数の式は、フーバー指数と類似しています (関連記事で説明されているように)。フーバー指数の場合と同様に、対称化 Theil 指数は、所得を所得者と入れ替えても変化しません。スプレッドシート計算によって分布データから直接 3 番目の Theil 指数を生成する方法を次に示します。

タイル指数の重要な特性は、グループ間とグループ内の要素に分解できることであり、この特性によってタイル指数の応用が普及している。例えば、全体的な所得格差のタイル指数は、地域間と地域内の不平等要素に分解することができ、地域間要素の相対的な割合は、所得格差の空間的次元の相対的な重要性を示唆している。^[25]

Theil 指数は、所得が所得者に対して確率的プロセスで割り当てられるシステムの分配冗長性を示します。これに対して、フーバー指数は、社会の所得分配の最小サイズを示します。このサイズは、最大エントロピーに達するために再分配する必要があります。この最小サイズを超えないようにするには、完全に計画された再分配が必要です。したがって、フーバー指数は、「確率的」Theil 指数の「非確率的」な対応物です。

現実世界の配分プロセスに Theil 指数を適用しても、これらのプロセスが確率的であることを意味するわけではありません。Theil 指数は、観察対象システムにおける秩序だったリソース配分と、閉鎖システムにおける確率的なリソース配分の最終段階との間の距離を示します。同様に、フーバー指数を適用しても、配分プロセスが完全に計画された経済で発生することを意味するわけではありません。フーバー指数は、観察対象システムにおけるリソース配分と、リソース配分の計画された「均等化」の最終段階との間の距離を示します。どちらの指数でも、このような均等化は目標ではなく、あくまでも基準として機能します。

特定の分布では、Theil 指数は Hoover 指数よりも大きくなることも、小さくなることもあります。

• 不平等が大きい場合、Theil 指数は Hoover 指数よりも大きくなります。つまり、閉鎖系で均衡 (最大エントロピー) を達成するには、計画的かつ最適化された再配分プロセスの場合 (計画的かつ最適化された再配分プロセスでは、必要最小限のリソースのみを再配分すればよい) よりも多くのリソースを再配分する必要があります。開放系では、エントロピーの輸出 (冗長性の輸入) によって、不平等が大きいことによる分配のダイナミクスを維持できます。
• 不平等が低い場合、Theil 指数は Hoover 指数よりも小さくなります。ここでは、均衡に到達する過程で、計画的かつ最適化された資源の再配分は、確率的な再配分よりも再配分のダイナミクスに貢献します。これも直感的に理解できます。不平等が低いと、資源を再配分する衝動も弱まるからです。このようなシステムの人々は、不平等の拡大を容認したり、助長したりする可能性があります。これは冗長性の増加 (エントロピーの減少) となるため、冗長性を社会に輸入 (エントロピーを社会から輸出) する必要があります。その場合、社会はオープン システムである必要があります。閉鎖システムとしての社会の分配カテゴリの冗長性を高めるには、その経済カテゴリで動作するサブシステムから、社会内の他のエントロピー カテゴリを持つ他のサブシステムにエントロピーを輸出する必要があります。たとえば、社会的エントロピーが増加する可能性があります。しかし、現実の世界では、社会は開放系であるが、その開放性は社会とその社会の環境との間のインターフェースのエントロピー交換能力によって制限される。資源配分が、73:27 分割 (資源の 73% が人口の 27% に属し、その逆も同様) の基準社会の資源配分とエントロピー的に類似している社会の場合、^{[注 3]}フーバー指数とタイル指数が等しくなるポイントは、フーバー指数とタイル指数が約 46% (0.46) の値である。

アトキンソン指数 (アトキンソン測度またはアトキンソン不平等測度とも呼ばれる) は、分布のどの端が観測された不平等に最も寄与したかを判断するのに役立つ測度です。

アトキンソン εパラメータは、対応する一般化エントロピー指数で測定される所得不平等に対する不平等から暗示される社会福祉損失の感度を調節するため、「不平等回避パラメータ」と呼ばれることがよくあります。アトキンソン指数は、対応する社会福祉関数を参照して定義され、平均所得に 1 を引いたアトキンソン指数を掛けると、福祉に相当する均等分配所得が得られます。

所得に重み付けする係数ε を課すことで、この指数を規範的な尺度に変えることができます。「不平等回避」のレベルである ε を適切に選択することで、所得分布の特定の部分の変化に、より大きな重みを付けることができます。アトキンソン指数は、ε が増加するにつれて、所得分布の下限の変化に対してより敏感になります。逆に、不平等回避のレベルが下がると (つまり、ε が 0 に近づくと)、アトキンソンは分布の下限の変化に対してより鈍感になります。アトキンソン指数は、ε が負でないという共通の制約のため、ε の値がどのような場合でも、上位所得に対して非常に敏感です。

もう一つの一般的な評価基準は、2 つの異なるグループの所得の比率、一般的には「高所得者と低所得者」の比率を取ることです。これは、所得分布全体ではなく、所得分布の 2 つの部分を比較します。これらの部分間の平等は 1:1 に相当し、部分の不平等が大きいほど、比率は大きくなります。これらの統計は相対的であるため (この人口はこの人口の 2 倍の所得がある)、解釈や伝達は簡単ですが、絶対的な尺度には当てはまらないため、不平等の絶対的な尺度にはなりません。

ここの最初のグラフのように、特定のパーセンタイルを中央値と比較することは特に一般的です。分布を特定のパーセンタイルで要約する7 つの数字の要約と比較してください。このような比率は人口全体の不平等の全体的なレベルを表すものではありませんが、所得分布の形状の尺度を提供します。たとえば、添付のグラフは、1967 年から 2003 年の期間に、中央値と 10 パーセンタイルおよび 20 パーセンタイルとの間の米国の所得比率は大きく変化しなかった一方で、中央値と 80 パーセンタイル、90 パーセンタイル、95 パーセンタイルとの間の比率が増加したことを示しています。これは、この期間の米国のジニ係数の上昇が、（中央値と比較して）高所得者の利益によるものであり、（中央値と比較して）低所得者の損失によるものではないことを反映しています。

関連する比率のクラスは「所得シェア」であり、これは人口の特定の最も裕福なまたは最も貧しい割合のセグメントが受け取る国民所得の割合です。

人口ですが、ローレンツ曲線 (ジニ係数のセクションで説明) は、 0 から 100 までのすべてのxについて、人口の最低所得x % の累積所得をグラフ化します。ただし、データについてコメントする場合は、逆数として表現して、最も裕福なx % の所得の割合を示すことができます。

ローレンツ曲線の重要かつ明白な特性は、国 A の（例えば）最貧困層 1% の国民所得の累積シェアが国 B と比較して高い場合、次のようになるということです。

1. 2 つの国のローレンツ曲線が交差しない場合は、国 A のローレンツ曲線はどこでも国 B のローレンツ曲線よりも高くなります。つまり、0 から 100 までの任意の X について、人口の最貧困層 X% の国民所得シェアは国 B よりも国 A のほうが大きいということです。
2. 2 つの国のローレンツ曲線が交差する場合、交差点の貧しい側では、国 A のローレンツ曲線が高くなることはほぼ確実です。つまり、交差点までの人口の最も貧しい X% について、国 A の人口の国民所得シェアの方が大きいということです。

不平等が害を及ぼす場合、そのほとんどは人口の貧しい層に及びます。所得順に並べた任意のパーセンタイルにおいて、国民所得のシェアが大きいほど、平等なシェア（国民の平均所得）の受け取る割合も大きくなります。

したがって、最も貧しい 1% の国民所得の累積シェアが大きい国では、すべてのパーセンタイル X について、または (ローレンツ曲線が交差する場合) 交差点の貧しい側のパーセンタイルについて、最も貧しい X% の平等なシェアの累積受領率がより大きくなります。

いくつかの情報源^{[どれ？ ]}は、複数のローレンツ曲線データポイント（数パーセンタイルまでの累積国民所得シェア）を報告しています。

前述のように、所得シェアとサブ人口の規模の比率を取ることは、平均所得に対する平均サブ人口所得の比率に相当します。

所得分布は一般に正の方向に歪んでいるため、平均値は中央値よりも高く、平均値に対する比率は中央値に対する比率よりも低くなります。これは特に、所得上位者（上位 10%、1%、0.1%、0.01%、および「上位 100」所得者など）に帰属する所得の割合を測定するために使用されます。米国では、上位 400 人の所得者は、所得者の 0.0002%（1,000,000 人に 2 人）であり、所得の集中、つまり富の凝縮、または所得の凝縮を調査するために使用されます。たとえば、右のグラフでは、米国の上位所得者の所得シェアは 1950 年代半ばから 1980 年代半ばまでほぼ一定でしたが、1980 年代半ばから 2000 年代にかけて増加しました。この不平等の拡大はジニ係数に反映されています。

例えば、2007年には米国の所得上位10％（10％）が総賃金の49.7％（平等分数の倍）を占め、米国の所得上位0.01％が総賃金の6％（平等分数の600倍）を占めた。^[30]${\displaystyle 4.97\approx 5}$

不平等指数による不平等の規範的解釈とは、不平等指数と社会構成員の所得（名目所得または実質所得）に基づいて定義される社会的評価順位との間に関係があることを意味する。所得は通常、成人等価尺度を使用して世帯ではなく個人に割り当てられる。^[31]

規範的アプローチについては、Charles Blackorby、Walter Bossert、David Donaldson が「所得格差の測定: 規範的アプローチ」という論文で論じています。

不平等の統計的解釈は、財政データと、所得不平等の尺度としてのパレート（1895）モデルのパラメータαに基づいています。^[32]このアプローチは、ジョバンニ・M・ジョルジの著書「所得不平等の測定：統計的アプローチ」でさらに詳しく説明されています。

ジニ係数、フーバー指数、タイル指数、および関連する福祉関数^[33]は、スプレッドシートで一緒に計算できます。^[注5]福祉関数は、中央値所得の代替として機能します。

表では、黄色の背景のフィールドがデータ入力に使用されます。これらのデータから、不平等の尺度と関連する福祉関数が計算され、緑の背景のフィールドに表示されます。

ここで示した例では、「Theil 指数」は、社会内の所得のその社会の個人 (または世帯) への分配について計算された Theil 指数と、その社会の所得に対する社会内の個人 (または世帯) の分配について計算された Theil 指数の算術平均を表します。Theil 指数と Hoover 指数の違いは、相対偏差 D の重み付けです。Hoover 指数の場合、グループごとの相対偏差 D は、独自の符号で重み付けされます。Theil 指数の場合、グループごとの相対偏差 D は、そのグループ内の個人ごとの所得によって提供される情報量で重み付けされます。

計算のために、社会は通常、所得グループに分けられます。多くの場合、各グループにはほぼ同数の個人が含まれる 4 つまたは 5 つのグループがあります。その他のケースでは、グループは所得範囲に基づいて作成され、異なるグループには異なる数の個人が含まれることになります。上の表は、4 つのグループの不平等指数の計算を示しています。各グループには、グループ A あたりの個人 (または世帯) の数と、そのグループ E の合計所得が指定されています。

ジニ係数を計算するには、パラメータ ペア A と E を並べ替える必要があります。(Theil 指数と Hoover 指数の場合、並べ替えは必要ありません。) A と E は、「個人あたりの所得」列の値が昇順になるように並べ替える必要があります。

1. 所得指標を使用する場合、所得をどのように定義するかを明確にする必要があります。所得には、キャピタルゲイン、住宅所有による推定家賃、贈与を含める必要がありますか? これらの収入源または推定収入源 (「推定家賃」の場合) が無視された場合 (よくあることですが)、分析にどのような偏りが生じる可能性がありますか? 無償労働 (親による育児や、毎食シェフを雇う代わりに自分で料理をするなど) はどのように扱われるべきですか? 状況によっては、富や消費の方が適切な尺度となる場合があります。より広範な生活の質の指標が役立つ場合があります。
2. 不平等の尺度を比較するには、比較対象となるグループ（社会など）を五分位に分割することが類似している必要があります。
3. 測定の基本単位が世帯か個人かを適切に区別します。世帯のジニ値は、所得のプールと家族内移転のため、常に個人よりも低くなります。また、世帯のメンバーの数はさまざまです。どの測定単位が使用されるかに応じて、指標は上向きまたは下向きに影響されます。
4. ライフサイクル効果について考えてみましょう。ほとんどの西洋社会では、個人は最初は収入がほとんどないかまったくない状態で人生をスタートし、50 歳くらいまで徐々に収入を増やし、その後収入は減少し、最終的にはマイナスになる傾向があります。これは、測定された不平等から引き出せる結論に影響します。測定された収入の不平等の 30% は、個人が人生のさまざまな段階で経験する不平等によるものであると推定されています (AS Blinder 著、MIT 出版、 The Decomposition of Inequality )。
5. 実質所得分布と名目所得分布のどちらを使用すべきかを明確にします。インフレは絶対的な尺度にどのような影響を与えますか? 一部のグループ (年金受給者など) は他のグループよりもインフレの影響を強く感じますか?
6. 不平等の測定から結論を導き出す際には、政府支出の利益をどのように配分すべきかを検討してください。社会保障セーフティネットの存在は、貧困の絶対的尺度の定義にどのような影響を与えますか。政府のプログラムは、一部の所得グループを他のグループよりも多くサポートしていますか。
7. 不平等の指標は不平等を測るものであり、所得の不平等の考えられる原因を測るものではありません。考えられる原因としては、ライフサイクルの影響（年齢）、遺伝的特性（IQ、才能）、リスクを取る意欲（リスク回避）、余暇/勤勉の選択、相続財産、経済状況、教育と訓練、差別、市場の不完全性などがあります。
8. 不平等の指標は匿名です。所得の流動性による特定の影響は無視されますが、所得の流動性では「誰が金持ち」で「誰が貧乏」かというアイデンティティが考慮されています。たとえば、ある時点で、アリスは 10 ドル、ボブは 2 ドルを持っているかもしれません。その後、ボブは 10 ドル、アリスは 2 ドルを持っているかもしれません。不平等指数はどちらの場合も同じで、かなり高くなります。ただし、アリスとボブの平均保有額は等しい (6 ドル) ため、平均の不平等はゼロになります。手渡された 8 ドルは富の流動性の尺度であり、平均の不平等は一般に平均の不平等よりも高くなります。

これらの点を念頭に置くと、不平等尺度の不適切な使用によって生じる問題を理解するのに役立ちます。ただし、これらの点によって不平等係数が無効になるわけではありません。不平等尺度が十分に説明され、一貫性のある方法で計算されれば、不平等を定量的に比較するための優れたツールとなります。

最近の幅広い学術研究から得られた証拠は、所得格差と成長率および投資率の間には非線形の関係があることを示しています。格差が非常に大きいと成長が鈍化し、中程度の格差は成長を促進します。格差が非常に小さい場合の影響については、研究によって意見が分かれています。

ハーバード大学のロバート・J・バロは、研究「各国の不平等と成長」の中で、不平等が大きいと貧困国の成長が遅れ、先進地域の成長が促進される傾向があることを発見した。^[34]国連の持続可能な開発目標10のような取り組みの必要性を強調し、不平等の削減を目指している。^[35]パク・フン・モによると、所得格差はGDP成長率に重大なマイナスの影響を与える。彼らの研究「所得格差と経済成長」では、最も重要なのは移転経路であり、最も重要でないのは人的資本経路であることがわかった。しかし、所得格差が生産性成長率に直接与える影響は、その全体的な影響の55％以上を占めている。これは、所得格差が経済成長に与える影響が、私たちが認識したりモデル化したりしてきたものよりもはるかに複雑であることを示している。^[36]

ジョヴァンニ・アンドレア・コルニアとジュリアス・コート（2001年）は、世界開発経済研究所の研究で、わずかに異なる結論に達している。 ^{[37] [38]}そのため、著者らは富の分配についても中庸を追求し、特に極端を避けることを推奨している。平等主義と不平等が非常に高いと、どちらも成長が鈍化する。経済的に十分に発展した国の不平等を考慮すると、公共政策は「効率的な不平等範囲」を目標にすべきである。著者らは、そのような効率的な範囲は、おおよそジニ係数0.25（最も不平等の少ないヨーロッパ諸国に近い不平等）から0.40（米国の不平等レベルに近い不平等）の間にあると主張している。

「機会の不平等、所得の不平等、経済成長」という論文によると、所得の不平等と経済成長の関係は、世代間流動性によって特定される機会の平等のレベルによって媒介される。最近開発された国際的に比較可能な世代間流動性の指標を多数試した結果、世代間流動性が低下するにつれて所得の不平等が成長に与えるマイナスの影響が大きくなることが確認された。この結果は、世代間流動性を除外すると誤った特定化につながることを示唆しており、これが所得の不平等と成長に関する実証研究がこれまで結論が出ていない理由を説明できる。^[39]

別の研究者は、完全な市場では不平等は成長に影響を与えないことを示しました。 ^[40]

不平等と成長の曲線の正確な形は、各国の資源賦存量、歴史、絶対的貧困の残存レベル、利用可能な社会プログラムのストック、さらには物的資本と人的資本の分配に応じて、国ごとに異なることは明らかです。

• 所得平等による国のリスト
• 富の平等性による国のリスト
• 米国の所得格差
• 所得不足
• 国際的な不平等
• クズネッツ曲線
• 貧困の閾値
• 社会経済
• 持続可能な開発目標
• 「金持ちはますます金持ちになり、貧乏人はますます貧乏になる」
• 分配的正義– 所得の平等化を目指す政治的理想
• 多様性指数
• グレートギャツビー曲線
• 人間開発指数
• スーツインデックス
• ジニ係数
• ローレンツ曲線
• エレファントカーブ

• AB Atkinsonおよび F. Bourguignon 編 (2000)。所得分配ハンドブック、第 1 巻。Elsevier。目次
• _____、国際社会行動科学百科事典（2001年）、7265〜7271頁。要約。
• ヨラム・アミエル（著者）、フランク・A・コーウェル：不平等について考える：個人の判断と所得分配、2000年
• フィリップ・B・コールター：不平等の測定、1989年

• トラビス・ヘイル、テキサス大学不平等プロジェクト：一般的な不平等尺度の理論的基礎、例のオンライン計算：1A、1B
• サミュエル・マレー・マセソン: 持続可能なプロジェクト選択のための分配的公平性尺度、1997
• ルクセンブルク所得調査は所得格差の比較研究を実施
• 二つのアメリカ：一方は豊か、一方は貧乏？ 米国の所得格差を理解する
• 米国の所得格差は本当に拡大したのか？
• 所得格差をテーマにしたウェブサイト
• WIID – 世界所得不平等データベース、国連大学世界開発経済研究所
• ソフトウェア：
  • オンライン計算機は、ジニ係数を計算し、ローレンツ曲線をプロットし、あらゆるデータセットの集中度の他の多くの尺度を計算します。
  • オンライン計算機: オンライン (表 HINC-06 ^{[永久リンク切れ‍ ]}、米国国勢調査局、2007 年: 世帯の 25 万ドル以上の所得分布のデータを処理する例) およびアトキンソン不等式、ジニ不等式、フーバー不等式のスクリプト ( PythonおよびLua )のダウンロード可能
  • Python スクリプトは、2011 年 7 月 10 日にWayback Machineにアーカイブされ、アマルティア センの 「経済不平等について」の公式を使用しています。
  • R データ分析ソフトウェアのユーザーは、Gini、Atkinson、Theil などのさまざまな不平等指標の計算を可能にする ineq パッケージをインストールできます。
  • MATLAB 不等式パッケージ (2008-10-04 にWayback Machineにアーカイブ済み) には、ジニ係数、アトキンソン係数、Theil 係数を計算し、ローレンツ曲線をプロットするためのコードが含まれています。多くの例が利用可能です。