タイル指数

Theil指数は、主に経済格差^[1]やその他の経済現象を測定するために使用される統計ですが、人種差別の測定にも使用されています。 ^{[2] [3]} Theil指数T _Tは、情報理論における冗長性と同じで、データの最大可能エントロピーから観測されたエントロピーを引いたものです。これは、一般化エントロピー指数の特殊なケースです。冗長性、多様性の欠如、孤立、分離、不平等、非ランダム性、圧縮性の尺度として考えることができます。これは、エラスムス大学ロッテルダムのオランダ人計量経済学者Henri Theil（1924–2000）によって提案されました。^[3]

アンリ・テイル自身は（1967年）「（テイル）指数は、事前確率としての人口シェアを事後確率としての所得シェアに変換する間接メッセージの期待情報量として解釈できる」と述べた。^[4] アマルティア・センは「しかし、テイル指数は恣意的な式であり、所得によって重み付けされた所得シェアの逆数の対数の平均は、まさに直感にあふれた尺度ではないという事実は残る」と指摘した。^[4]

それぞれが特性xを持つN 人の「エージェント」の集団の場合、状況はリストx _i ( i  = 1,..., N ) で表すことができます。ここで、 x _{i は}エージェントiの特性です。たとえば、特性が収入である場合、x _{i は}エージェントiの収入です。

Theil T指数は次のように定義される^[5]

${\displaystyle T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\mu }}\ln \left({\frac {x_{i}}{\mu }}\right)}$

そしてTheil L指数は次のように定義される^[5]

${\displaystyle T_{L}=T_{\alpha =0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln \left({\frac {\mu }{x_{i}}}\right)}$

平均所得は どこですか？${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$

Theil-L は、最大エントロピー (完全な平等で達成される) を基準として測定された、一人当たりの所得分配のディスエントロピーです。

（別の解釈では、Theil-L は、全所得に対する比率 (平均所得)/(所得 i) の幾何平均の自然対数です。関連する Atkinson(1) は、所得分布に対する (所得 i)/(平均所得) の幾何平均から 1 を引いたものです。）

大きい所得と小さい所得の間の移転は、大きい所得の比率の変化よりも小さい所得の比率の変化が大きいため、この指標によって移転原理が満たされます。

同様に、状況が離散分布関数f _k ( k  = 0,..., W ) によって特徴付けられる場合、 f _{k は}所得k を持つ人口の割合、W = Nμ は総所得であり、 Theil 指数は次のようになります。 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{W}f_{k}=1}$

${\displaystyle T_{T}=\sum _{k=0}^{W}\,f_{k}\,{\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)}$

ここで再び平均所得は次のようになります。 ${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \mu =\sum _{k=0}^{W}kf_{k}}$

この場合、収入k は整数であり、k=1 は可能な収入の最小増分 (例: セント) を表すことに注意してください。

状況が連続分布関数f ( k ) (0 から無限大までサポートされる) によって特徴付けられる場合、 f ( k )  dk は所得kからk  +  dkの人口の割合であり、 Theil 指数は次のようになります。

${\displaystyle T_{T}=\int _{0}^{\infty }f(k){\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)dk}$

ここで平均は次のようになります。

${\displaystyle \mu =\int _{0}^{\infty }kf(k)\,dk}$

いくつかの一般的な連続確率分布の Theil 指数を次の表に示します。

全員の収入が同じであれば、T _{T は}0 になります。1 人の人がすべての収入を持っている場合、T _{T は}結果 となり、最大の不平等となります。T _Tを で割ると、方程式を0から 1 の範囲に正規化できますが、独立公理に違反し、不平等の尺度として適格ではなくなります。 ${\displaystyle \ln N}$${\displaystyle \ln N}$${\displaystyle T[x\cup x]\neq T[x]}$

Theil 指数は、すべての人が同じ収入を持つ平等な状態から人口がどれだけ離れているかを示すエントロピーの「距離」を測定します。数値の結果は負のエントロピーで表され、数値が高いほど完全な平等から遠い秩序を示します。指数をエントロピーではなく負のエントロピーを表すように定式化することで、平等ではなく不平等の尺度になります。

Theil 指数は、0 から 1 (0% から 100%) の範囲を持つAtkinson 指数に変換できます。0 は完全な平等を示し、1 (100%) は最大の不平等を示します。(変換については、 一般化エントロピー指数を参照してください。)

タイル指数はシャノンの情報エントロピー の尺度から派生したもので、エントロピーとは与えられた情報セットにおけるランダム性の尺度である。情報理論、物理学、タイル指数において、エントロピーの一般的な形式は次のようになる。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log _{a}\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)\right)=-k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log _{a}\left({p_{i}}\right)\right)}$

どこ

• ${\displaystyle i}$セット内の個々の項目 (集団内の個々のメンバー、またはコンピュータ ファイル内の個々のバイトなど) です。
• ${\displaystyle p_{i}}$セットからランダムに抽出したサンプルから見つける確率です。${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle k}$は定数である。^{[注 1]}
• ${\displaystyle \log _{a}\left({x}\right)}$は底が である対数である。^{[注 2]}${\displaystyle a}$

人口の所得分布を見ると、これは特定の個人の所得と人口全体の総所得の比率に等しいことがわかります。これにより、人口の観測エントロピーは次のようになります。 ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle S_{\text{Theil}}}$

${\displaystyle S_{\text{Theil}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{N{\bar {x}}}}\ln \left({\frac {N{\bar {x}}}{x_{i}}}\right)\right)}$

どこ

• ${\displaystyle x_{i}}$特定の個人の収入です。
• ${\displaystyle \left(N{\bar {x}}\right)}$人口全体の総所得であり、

• ${\displaystyle N}$集団内の個体数です。
• ${\displaystyle {\bar {x}}}$（「x バー」）は人口の平均所得です。

• ${\displaystyle \ln \left(x\right)}$は の自然対数です。${\displaystyle x}$${\displaystyle \left(\log _{e}\left(x\right)\right)}$

タイル指数は、観測されたエントロピー（所得がどれだけランダムに分配されているかを表す）が、最大可能エントロピー（[^{注 3]}所得が人口内の個人間で最大限に分配されていることを表す。これは、コインをランダムに無限に投げた場合の[最も起こり得る]結果、つまり表と裏が均等に分配されることに類似した分布である）からどれだけ離れているかを測定する。したがって、タイル指数は、理論上の最大エントロピー（すべての個人の所得が均等である場合に到達される）から観測されたエントロピーを引いた差である。 ${\displaystyle T_{T}}$${\displaystyle S_{\text{Theil}}}$${\displaystyle S_{\text{max}}=\ln \left({N}\right)}$

${\displaystyle T_{T}=S_{\text{max}}-S_{\text{Theil}}=\ln \left({N}\right)-S_{\text{Theil}}}$

が個体数/種の単位である 場合、は生物多様性の尺度であり、シャノン指数と呼ばれます。Theil 指数を x=個体数/種とともに使用すると、一連の種の間での個体数の不平等、つまり「富の隔離」ではなく「生物学的隔離」の尺度になります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle S_{\text{Theil}}}$

Theil 指数は、情報理論で冗長性と呼ばれるものを測定します。^[5]これは、情報を伝えるために利用されなかった残りの「情報スペース」であり、価格シグナルの有効性を低下させます。^{[オリジナル研究? ]} Theil 指数は、一部の個人の収入 (または他の富の尺度) の冗長性を測るものです。一部の個人の冗長性は、他の個人の希少性を意味します。Theil 指数が高いということは、圧縮されていないテキスト ファイルに、利用可能な一意のバイト文字に割り当てられたバイト位置の数が似ていないのと同じように、総収入が個人間で均等に分配されていないことを示しています。

世界銀行 によれば、

「最もよく知られているエントロピーの尺度は、TheilのT（）とTheilのL（）であり、どちらも不平等を地域内（都市、農村など）の不平等による部分と地域間の差異（農村と都市の所得格差など）による部分に分解することができます。通常、国における不平等の少なくとも4分の3はグループ内不平等によるものであり、残りの4分の1はグループ間の差異によるものです。」^[7]${\displaystyle T_{T}}$${\displaystyle T_{L}}$

人口をサブグループに分け、 ${\displaystyle m}$

• ${\displaystyle s_{i}}$はグループの所得シェアであり、${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle N}$は総人口であり、 はグループの人口である。${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle T_{i}}$はそのサブグループのTheil指数であり、
• ${\displaystyle {\overline {x}}_{i}}$はグループの平均所得であり、${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mu }$人口の平均所得は

すると、TheilのT指数は

${\displaystyle T_{T}=\sum _{i=1}^{m}s_{i}T_{i}+\sum _{i=1}^{m}s_{i}\ln {\frac {{\overline {x}}_{i}}{\mu }}}$のために ${\displaystyle s_{i}={\frac {N_{i}}{N}}{\frac {{\overline {x}}_{i}}{\mu }}}$

たとえば、米国内の不平等は、各州内の平均不平等を州の収入で加重したものに、州間の不平等を加えたものです。

注: この画像は、米国の各地域の Theil Index ではなく、各地域による米国の Theil Index への貢献度を表しています。Theil Index は常にプラスですが、Theil Index への個々の貢献度はマイナスまたはプラスになることがあります。

地域間要素に起因する割合を特定するタイル指数の分解は、不平等の空間的次元の相対的な重要性を示唆するため、地域間不平等の実証分析に役立つツールとなる。^[8]

テイルのTとテイルのLはどちらも分解可能です。両者の違いは、それぞれが使用される結果分布の部分に基づいています。一般化エントロピー（GE）ファミリーの不平等指数は、GE指数を定義するパラメータに応じて、貧困層または富裕層間の所得分配の違いに対してより敏感です。GEのパラメータ値が小さいほど、分布の底辺の違いに対してより敏感になります。^[9]

GE(0) = Theil のLであり、分布の下端の差に対してより敏感です。平均対数偏差尺度とも呼ばれます。

GE(1) = TheilのTであり、分布の頂点の違いに対してより敏感です。

分解可能性は、より一般的なジニ係数にはない、Theil 指数の特性です。ジニ係数は、ローレンツ曲線に基づいているため、多くの人にとってより直感的です。ただし、Theil のように簡単に分解できるわけではありません。

多数の経済的応用に加えて、タイル指数は灌漑システムのパフォーマンス^[10]やソフトウェアメトリクスの分布^[11]を評価するために適用されてきました。

• ソフトウェア：
  • 無料のオンライン計算機は、ジニ係数を計算し、ローレンツ曲線をプロットし、あらゆるデータセットの集中度の他の多くの尺度を計算します。
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  • R データ分析ソフトウェアのユーザーは、Gini、Atkinson、Theil などのさまざまな不平等指数を計算できる「ineq」パッケージをインストールできます。
  • MATLAB 不等式パッケージ (2008-10-04 にWayback Machineにアーカイブ済み) には、ジニ係数、アトキンソン係数、Theil 係数を計算し、ローレンツ曲線をプロットするためのコードが含まれています。多くの例が利用可能です。