平均対数偏差

統計学および計量経済学において、平均対数偏差（MLD）は所得格差の尺度として用いられる。MLDは全員の所得が同じ場合にゼロとなり、所得格差が大きくなるにつれて、特に高所得者層において、より大きな正の値をとる。

家計収入のMLDは^{[ 1 ]と定義されている。}

${\displaystyle \mathrm {MLD} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {\frac {\overline {x}}{x_{i}}}}$

ここでNは世帯数であり、${\displaystyle x_{i}}$は世帯iの所得であり、${\displaystyle {\overline {x}}}$は平均です${\displaystyle x_{i}}$もちろん、同じ公式は所得以外の正の変数や、世帯以外の観察単位にも適用できる。

同等の定義は

${\displaystyle \mathrm {MLD} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\ln {\overline {x}}-\ln x_{i})=\ln {\overline {x}}-{\overline {\ln x}}}$

どこ${\displaystyle {\overline {\ln x}}}$ はln( x )の平均です。最後の定義は、MLD が非負であることを示しています。${\displaystyle \ln {\overline {x}}\geq {\overline {\ln x}}}$イェンセンの不等式による。

MLDは「ln( x )の標準偏差」^{[ 1 ]}（SDL）と呼ばれていますが、これは正しくありません。SDLは

${\displaystyle \mathrm {SDL} ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\ln x_{i}-{\overline {\ln x}})^{2}}}}$

そしてこれはMLDとは等しくない。

特に、確率変数${\displaystyle X}$平均と標準偏差の対数正規分布に従う。${\displaystyle \log(X)}$いる${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \sigma }$それぞれ、

${\displaystyle EX=\exp\{\mu +\sigma ^{2}/2\}.}$

したがって、漸近的にMLDは以下のように収束する。

${\displaystyle \ln\{\exp[\mu +\sigma ^{2}/2]\}-\mu =\sigma ^{2}/2}$

標準対数正規分布の場合、SDLは1に収束し、MLDは1/2に収束する。

MLDは、一般化エントロピー指数の特殊なケースである。具体的には、MLDはα=0の場合の一般化エントロピー指数である。

• 米国国勢調査局：平均対数偏差（MLD）