反準同型性

数学において、反準同型とは、乗算の順序を逆にする乗算を伴う集合上で定義される関数の一種である。反自己同型とは、集合からそれ自身への可逆な反準同型、すなわち反同型である。全単射性から、反自己同型には逆があり、反自己同型の逆もまた反自己同型であることが分かる。

非公式には、反準同型は乗算の順序を入れ替える写像です。公式には、構造との間の反準同型は準同型であり、 は集合として等しいですが、その乗算は で定義されたものと逆になっています。 上の (一般に非可換な) 乗算を で表すと、で表される上の乗算は で定義されます。オブジェクトはの反対オブジェクト(それぞれ、反対のグループ、反対の代数、反対のカテゴリなど) と呼ばれます。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \phi \colon X\to Y^{\text{op}}}$${\displaystyle Y^{\text{op}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle Y^{\text{op}}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle x*y:=y\cdot x}$${\displaystyle Y^{\text{op}}}$${\displaystyle Y}$

この定義は準同型の定義と同等です(マップを適用する前または後の操作を逆にすることは同等です)。 正式には、マップに送信してマップ上の恒等関数として動作することは関数(実際には反転) です。 ${\displaystyle \phi \colon X^{\text{op}}\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\text{op}}}$

群論において、反準同型とは、2つの群の間の乗法の順序を逆にした写像である。したがって、φ  : X → Yが群反準同型であれば、

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

X内のすべてのx、yについて。

x をx ⁻¹に写す写像は、群の反自己同型の一例です。もう 1 つの重要な例は、線型代数における転置演算で、行ベクトルを列ベクトルに変換します。任意のベクトル行列方程式は、因子の順序が逆になった同等の方程式に転置できます。

行列の場合、反自己同型の例は転置写像で与えられます。反転と転置はどちらも反自己同型を与えるので、それらの合成は自己同型です。この反転はしばしば反自己同型写像​​と呼ばれ、一般線型群 GL( n , F )の外部自己同型の例を提供します。ここでFは体ですが、| F | = 2かつn = 1 または 2の場合、または| F | = 3かつn = 1の場合 (つまり、グループGL(1, 2)、GL(2, 2)、およびGL(1, 3)の場合) は除きます。

環論において、反準同型とは、加算は保存するが乗算の順序が逆になる 2 つの環間の写像である。したがって、φ  : X → Yが環反準同型となるのは、次の場合のみである。

φ（１）＝１

φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y )

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

X内の任意のx、yに対して。^[1]

体 K上の代数では、φ は基底ベクトル空間のK線型写像でなければなりません。基底体に反転がある場合は、代わりに、以下の共役転置のように、 φ が共役線型になるように要求できます。

反自己同型写像​​は反転写像であることが多い。つまり、反自己同型の2乗は​​恒等写像である。これらはまた次のようにも呼ばれる。反転反自己同型写像​​。例えば、任意の群において、x をその逆写像 x⁻¹反転反自己同型写像​​である。

反転反自己同型を持つ環は*-環と呼ばれ、これらは重要な例のクラスを形成します。

ソースXまたはターゲットYが可換である場合、反準同型は準同型と同じものになります。

2 つの反準同型の合成は常に準同型です。これは、順序を 2 回逆にしても順序が維持されるためです。反準同型と準同型を合成すると、別の反準同型が得られます。

• 反転を伴う半群