ウィテカーモデル

数学の一分野である表現論において、ホイッタカーモデルは、有限体、局所体、または大域体上のGL ₂などの簡約代数群の表現を、群上の関数の空間上で実現したものである。ETホイッタカーがこの分野で研究したことはなかったが、彼にちなんで名付けられた。これは、(Jacquet 1966, 1967) が、群 SL ₂ ( R ) に対して、表現に含まれる関数のいくつかがホイッタカー関数であると指摘したためである。

Whittaker モデルのない既約表現は「退化」と呼ばれることもあり、Whittaker モデルのある既約表現は「一般」と呼ばれることもあります。シンプレクティック群Sp ₄の表現θ _{10 は}、退化表現の最も単純な例です。

Gが代数群 GL ₂でF が局所体であり、τ がFの加法群の固定された非自明な指標であり、π が一般線型群G ( F )の既約表現である場合、 πのホイッタカーモデルは、G ( F )上の関数ƒの空間上の表現πであり、次を満たす。

${\displaystyle f\left({\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}g\right)=\tau (b)f(g).}$

_{Jacquet & Langlands (1970)はWhittakerモデルを使用して、}GL2の許容表現にL関数を割り当てました。

を一般線型群、の滑らかな複素数値の非自明な加法特性、および単零上三角行列からなるの部分群とする。 の非退化特性は、次の形式である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \chi (u)=\psi (\alpha _{1}x_{12}+\alpha _{2}x_{23}+\cdots +\alpha _{n-1}x_{n-1n}),}$

∈および非ゼロ∈に対して。が の滑らかな表現である場合、ウィテカー関数は上の連続線型関数であり、すべての∈に対して、∈となるものです。重複度 1 は、ユニタリ既約に対して、ウィテカー関数の空間の次元が最大で 1 に等しいこと を示します。${\displaystyle u=(x_{ij})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (\pi ,V)}$${\displaystyle G(F)}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda (\pi (u)v)=\chi (u)\lambda (v)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$

Gが分割簡約群で、U がボレル部分群Bの単能根基である場合、表現のウィテカーモデルは、それを誘導された（ゲルファント・グラエフ）表現 Indに埋め込むものである。^GU
_​( χ )、ここでχ はUの非退化な指標であり、例えば単純な根に対応する指標の和などです。

• ゲルファント・グラエフ表現は、大まかに言って有限体上のウィテカーモデルの和です。
• キリロフモデル

• Jacquet, Hervé (1966)、「幾何学的な解釈と一般化の P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série A et B、262 : A943–A945、ISSN  0151-0509、MR  0200390
• Jacquet, Hervé (1967)、「Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley」、Bulletin de la Société Mathématique de France、95 : 243–309、doi : 10.24033/bsmf.1654、ISSN  0037-9484、MR  0271275
• ジャケ, H.;ラングランズ, ロバート P. (1970)、「GL(2) 上の保型形式」、数学講義ノート、第 114 巻、第 114 巻、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー出版、doi :10.1007/BFb0058988、ISBN 978-3-540-04903-6、MR  0401654、S2CID  122773458
• JA Shalika、「 の多重度 1 定理」${\displaystyle GL_{n}}$、The Annals of Mathematics、第 2 版、第 100 巻、第 2 号 (1974 年)、171–193 ページ。

• ジャケ, エルヴェ; シャリカ, ジョセフ (1983). 「誘導表現のウィテカーモデル」.太平洋数学ジャーナル. 109 (1): 107–120. doi : 10.2140/pjm.1983.109.107 . ISSN  0030-8730.