形式冪級数

数学において、形式級数とは、収束の概念とは独立して考えられる無限和であり、級数に対する通常の代数演算（加算、減算、乗算、除算、部分和など）で操作することができます。

形式的冪級数とは、次のような形式の特別な種類の形式級数である。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots ,}$

ここで、係数と呼ばれるものは数、またはより一般的には何らかの環の要素であり、は不定数ま​​たは一般に変数と呼ばれる記号 の形式的な累乗です。したがって、べき級数は、項の数が無限大になることが許される多項式の一般化と見なすことができ、収束要件がない点で通常のべき級数と異なり、これはべき級数がその変数の関数を表さない可能性があることを意味します。形式的なべき級数は係数のシーケンスと1 対 1 で対応していますが、適用できる演算が異なるため、2 つの概念を混同してはなりません。 ${\displaystyle a_{n},}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle x}$

環に係数を持つ形式的な冪級数は、 上の形式的な冪級数と呼ばれます。環上の形式的な冪級数は、一般に と表記される環を形成します(これは、p進整数が整数の環のp進完備化であるのと同じように、多項式環の( x )進完備化として見ることができます。) ${\displaystyle R}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[x]].}$ ${\displaystyle R[x],}$

複数の不定値における形式的なべき級数は、単一の不定値のべきを複数の不定値における単項式に置き換えることによって同様に定義されます。

形式的なべき級数は、整数の列を生成関数として表現するために、組合せ論で広く使用されています。この文脈では、列の要素間の再帰関係は、生成関数が満たす微分方程式として解釈されることがよくあります。これにより、組合せ問題に複素解析の手法を使用できます(解析的組合せ論を参照)。

形式的冪級数は、多項式のようなオブジェクトだが、項の数が無限であると考えることができる。あるいは、冪級数（またはテイラー級数）に詳しい人なら、形式的冪級数は、変数Xが任意の数値（未知の値でさえも）を表すと仮定しないことで収束の問題を無視する冪級数と考えることができる。例えば、次の級数を考える。

${\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}$

これをべき級数として研究すると、その特性には、例えば、コーシー・アダマールの定理により、収束半径が 1 になることが含まれます。しかし、形式的なべき級数としては、これを完全に無視することができます。関係するのは、係数のシーケンス[1, −3, 5, −7, 9, −11, ...] だけです。言い換えれば、形式的なべき級数は、係数のシーケンスを記録するだけのオブジェクトです。対応するべき級数が X の任意の非ゼロ値に対して発散するとしても、階乗 [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] を係数として持つ形式的なべき級数を検討することはまったく問題ありません。

形式的な冪級数の代数は、級数が多項式であると仮定するだけで計算できます。たとえば、

${\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+\cdots ,}$

次に、 AとB を項ごとに 追加します。

${\displaystyle A+B=1-X+5X^{2}-3X^{3}+9X^{4}-5X^{5}+\cdots .}$

形式的な冪級数を多項式として扱うだけで乗算することができます（特にコーシー積を参照）。

${\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}$

積ABの各係数は、 AとBの有限個の係数にのみ依存することに注意してください。たとえば、X ⁵項は次のように表されます。

${\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}$

このため、解析の設定でべき級数を扱う際に生じる絶対収束、条件収束、一様収束といった通常の問題を気にせずに、形式的なべき級数を乗算することができます。

形式的冪級数の乗法を定義したら、乗法逆を次のように定義できます。形式的冪級数Aの乗法逆は、 AC = 1となる形式的冪級数Cです(ただし、そのような形式的冪級数が存在する場合)。A に乗法逆が存在する場合、それは一意であることがわかり、それをA ^{−1と表記します。次に、} Aの逆が存在する場合、B / A を積BA ⁻¹と定義することで、形式的冪級数の除算を定義できます。たとえば、上記の乗法の定義を使用して、よく知られている式を検証できます 。

${\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}$

形式的冪級数に対する重要な演算は係数抽出である。最も基本的な形式では、係数抽出演算子を1つの変数の形式的冪級数に適用すると、変数の 乗の係数が抽出され、となる。他の例としては、 ${\displaystyle [X^{n}]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [X^{2}]A=5}$${\displaystyle [X^{5}]A=-11}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n},\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}}$

同様に、多項式に対して実行される他の多くの演算は、以下で説明するように、形式的な冪級数設定に拡張できます。

可換環R の係数を持つXのすべての形式的冪級数の集合を考えるとき、この集合の要素は集合的に別の環を構成し、それはR上の変数 Xの形式的冪級数の環と書かれ、そう呼ばれます。 ${\displaystyle R[[X]],}$

を、特定の計量を備えた多項式環の完備化として抽象的に特徴付けることができます。これにより、位相環（および完全な計量空間）の構造が自動的に与えられます。しかし、計量空間の完備化の一般的な構成は、ここで必要なことよりも複雑であり、形式的な冪級数を実際よりも複雑に見せてしまいます。次のように、環構造と位相構造を別々に定義し、より明示的に 記述することも可能です。${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R[[X]]}$

集合として、は、自然数（0を含むものとする）でインデックス付けされた、の要素のすべての無限シーケンスの集合として構築することができる。インデックスの項が であるシーケンスを指定すると、そのようなシーケンス2つの加算は次のように定義される。 ${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

そして、

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}$

このタイプの積は、2 つの係数列のコーシー積と呼ばれ、離散畳み込みの一種です。これらの操作により、はゼロ元と乗法的単位元を持つ可換環になります。 ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$${\displaystyle (1,0,0,\ldots )}$

この積は、実際には、1つの不定元における多項式の積を定義するのに使われるものと同じであり、同様の表記法を使うことを示唆している。任意の（定数）をシーケンスに送り、シーケンスを で指定することでを に埋め込む。すると、上記の定義を使うと、有限個の非ゼロ項のみを持つシーケンスはすべて、これらの特殊要素を使って次のように表現できる。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle a\in R}$${\displaystyle (a,0,0,\ldots )}$${\displaystyle (0,1,0,0,\ldots )}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i};}$

これらはまさに の多項式です。これを考慮すると、後者が上で定義した加算と乗算の演算によって形成される式ではないにもかかわらず、一般的な数列を形式表現 で示すことは非常に自然で便利です（これらからは有限の和しか構成できません）。この表記規則により、上記の定義を次のように再定式化できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

そして

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}$

これは非常に便利ですが、形式的な合計（単なる慣例）と実際の加算の違いに注意する必要があります。

慣例的に規定されている

右辺を明確に定義された無限和として解釈したいとします。そのために、 における収束の概念を定義し、における位相を構築します。目的の位相を定義するには、いくつかの同等な方法があります。 ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$

• 積位相 を与えることができます。ここで、 の各コピーには離散位相 が与えられます。${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle R}$
• I進位相 を与えることができます。ここで、 はによって生成されるイデアルであり、最初の項が 0 であるすべてのシーケンスで構成されます。${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle I=(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a_{0}}$
• 望ましいトポロジーは、次のメトリックから導くこともできます。異なるシーケンス間の距離は と定義されます。ここで はとなる最小の自然数です。2 つの等しいシーケンス間の距離は、もちろん 0 です。${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },}$$${\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}$

非公式には、2 つのシーケンスとがますます近づくのは、それらの項がますます正確に一致する場合のみです。正式には、ある無限和の部分和のシーケンスは、係数の任意の固定された累乗に対してが安定する場合に収束します。つまり、それを超えると、それ以降の部分和はすべて同じ係数を持つ点があります。これは、値に関係なく、 ( 1 )の右辺の場合に明らかに当てはまります。これは、に対する項を含めると、の係数に最後の (そして実際には唯一の) 変化が生じるためです。部分和のシーケンスの極限が左辺に等しい ことも明らかです。${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle i=n}$${\displaystyle X^{n}}$

この位相構造は、上で説明した環演算とともに位相環を形成します。これは上の形式的冪級数の環${\displaystyle R}$と呼ばれ、 と表記されます。この位相には、無限和が収束するのは、その項の列が 0 に収束する場合のみであるという便利な特性があります。これは、 の任意の固定冪は有限個の項でのみ発生することを意味します。 ${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle X}$

位相構造により、無限加算をより柔軟に利用することができる。例えば、乗算の規則は次のように簡単に言い換えることができる。

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j},}$

なぜなら、固定された に影響を与えるのは右側の有限個の項だけだからです。無限積も位相構造によって定義されます。無限積が収束するのは、その因数の列が 1 に収束する場合 (この場合、積はゼロ以外になります)、または無限個の因数に定数項がない場合 (この場合、積はゼロになります) に限ります。 ${\displaystyle X^{n}}$

上記のトポロジーは、

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}$

は常に、同じ表現によって指定される形式的冪級数への和として収束し、多くの場合、無限和や無限積、または特定の形式的冪級数を指定するために使用したい他の種類の極限に意味を与えるのに十分です。ただし、場合によっては、より粗い位相を使用し、そうでなければ発散する特定の表現が収束するようにしたい場合があります。これは、基本リングが離散位相以外の位相をすでに備えている場合、たとえば、基本リングが形式的冪級数のリングでもある場合に特に当てはまります。 ${\displaystyle R}$

形式冪級数の環では、上の構成の位相は不定 にのみ関係します。これは、環全体の位相を定義する際に、 に置かれた位相が離散位相に置き換えられたためです。したがって、${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }XY^{i}}$

収束する（そしてその和は と書ける）；しかし ${\displaystyle {\tfrac {X}{1-Y}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }X^{i}Y}$

は、すべての項が の係数に影響を及ぼすため、発散すると考えられます。この非対称性は、 のべき級数環に積位相が与えられ、 の各コピーに離散位相ではなく形式的べき級数の環としての位相が与えられると消えます。この位相では、の各べき乗の係数が の形式的べき級数に収束する場合に、 の要素のシーケンスが収束します。これは、完全に安定するよりも弱い条件です。たとえば、この位相では、上記の 2 番目の例では、 の係数が に収束するため、全体の合計は に収束します。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\tfrac {1}{1-X}}}$${\displaystyle {\tfrac {Y}{1-X}}}$

このトポロジーの定義方法は、実際、形式的冪級数の環を繰り返し構築するための標準的な方法であり、すべての不定値における形式的冪級数を一度に取ることによって得られるのと同じトポロジーを与えます。上記の例では、これは を構築することを意味します。ここで、シーケンスが収束するのは、すべての単項式の係数が安定する場合のみです。このトポロジーは、 がおよび によって生成されるイデアルである -進トポロジーでもあり、項が0 に近づく場合のみ、和が収束するという特性を依然として持っています。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X,Y]]}$${\displaystyle X^{i}Y^{j}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

同じ原理は、他の発散する極限を収束させるのにも使えます。例えば、 ${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}}$

存在しないので、特に収束しない

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$

これは、の係数が として安定しないからです。しかし、 の通常の位相では収束し、実際 の係数に収束します。したがって、の位相が離散位相ではなく通常の位相であるの積位相を与えると、上記の極限は に収束します。しかし、このより寛容なアプローチは、形式的な冪級数を考える場合の標準ではありません。なぜなら、解析の場合と同じくらい微妙な収束の検討につながるからです。一方、形式的な冪級数の哲学は、収束の問題を可能な限り自明にすることです。この位相では、項が 0 に近づく場合のみ、和が収束するということは当てはまりません 。${\displaystyle i\geq 2}$${\displaystyle {\tbinom {n}{i}}/n^{i}}$${\displaystyle X^{i}}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\tfrac {1}{i!}}}$${\displaystyle \exp(X)}$${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \exp(X)}$

環は、次の普遍的性質によって特徴付けられます。 が上の可換結合代数である場合、 が のイデアルで 上の -進位相が完備である場合、がの要素である場合、次の性質を持つ が一意に存在します。 ${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Phi :R[[X]]\to S}$

• ${\displaystyle \Phi }$は-代数準同型である${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle \Phi }$連続している
• ${\displaystyle \Phi (X)=x}$。

冪級数に対して代数演算を実行して新しい冪級数を生成することができる。^{[1] [2]}上記で定義した環構造演算の他に、以下の演算がある。

任意の自然数 nに対して、形式的冪級数Sのn乗は再帰的に次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S^{1}&=S\\S^{n}&=S\cdot S^{n-1}\quad {\text{for }}n>1.\end{aligned}}}$$

mとa _{0 が}係数の環で可逆である場合、次を証明できます^{[3] [4] [5] [a]} 。ここで 複素係数を持つ形式的なべき級数の場合、複素べきは定数項が1である級数fに対して明確に定義されます。この場合、は、二項級数(1+ x ) ^αとの合成、指数級数と対数級数との合成、または定数項 1 を持つ微分方程式の解（級数による）として定義できます。3 つの定義は同等です。微積分と の規則は簡単に従います。 $${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}$$${\displaystyle f^{\alpha }}$ ${\displaystyle f^{\alpha }=\exp(\alpha \log(f)),}$${\displaystyle f(f^{\alpha })'=\alpha f^{\alpha }f'}$${\displaystyle (f^{\alpha })^{\beta }=f^{\alpha \beta }}$${\displaystyle f^{\alpha }g^{\alpha }=(fg)^{\alpha }}$

シリーズ

${\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}$

がで逆数となるのは、その定数係数がで逆数となる場合のみである。この条件は、次の理由で必要である。 が逆数を持つと仮定すると、の定数項は恒等級数の定数項、すなわち 1 となる。この条件は十分でもある。逆級数の係数は、明示的な再帰式によって 計算できる。${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B=b_{0}+b_{1}x+\cdots }$ ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$${\displaystyle A\cdot B}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}$

重要な特別なケースとして、等比級数公式が次の場合に有効であるということがあります。 ${\displaystyle R[[X]]}$

${\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}$

が体である場合、級数が逆であることと、定数項がゼロでないこと、つまり級数が で割り切れないことが等しいことが条件です。つまり、 は均一化パラメータ を持つ離散評価環です。 ${\displaystyle R=K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K[[X]]}$${\displaystyle X}$

商の計算${\displaystyle f/g=h}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

分母が可逆であると仮定すると（つまり、はスカラー環において可逆である）、 はと の逆数の積として、または の係数を直接等しくすることで実行できます。 ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f=gh}$

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{a_{0}}}\left(b_{n}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{n-k}\right).}$

形式的なべき級数に適用される係数抽出演算子

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

Xには次のように書かれています

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)}$

そしてX ^mの係数を抽出し、

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{m}.}$

2つの形式的な冪級数が与えられる

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }$

${\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots }$

それによって、 構成を 形成できる${\displaystyle a_{0}=0,}$

${\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

ここで係数c _{n は}f ( X )のべき乗を「展開」することによって決定される。

${\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}$

ここで、和はすべての( k , j )に拡張され、${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}}$${\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}$

任意の に対してと が成り立つため、これは上記の和が有限であり、係数が多項式 におけるの係数であることを意味します。ここで、と は、級数を で切り捨てることによって得られる多項式です。つまり、 より大きいべき乗を含むすべての項を削除することによって得られます。${\displaystyle a_{0}=0,}$${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle j_{i}\leq n}$${\displaystyle i.}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle g_{n}(f_{n}(X))}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle x^{n},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n.}$

これらの係数のより明確な記述は、少なくとも係数環が特性 0の体である場合においては、ファア・ディ・ブルーノの公式によって提供されます。

合成は、 に定数項 がなく、それぞれがおよびの有限個の係数のみに依存する場合にのみ有効です。言い換えると、 の級数はの位相で収束します。 ${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle g(X)}$${\displaystyle g(f(X))}$${\displaystyle R[[X]]}$

環が0の標数を持ち、非零の整数が において可逆であると仮定する。 を形式的冪級数 で表すと、${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \exp(X)}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}+\cdots ,}$

平等は

${\displaystyle \exp(\exp(X)-1)=1+X+X^{2}+{\frac {5X^{3}}{6}}+{\frac {5X^{4}}{8}}+\cdots }$

の定数係数はゼロなので、正式な冪級数として完全に意味をなします。 ${\displaystyle \exp(X)-1}$

正式なシリーズが

${\displaystyle f(X)=\sum _{k}f_{k}X^{k}\in R[[X]]}$

f ₀ = 0であり、 f _{1 が}Rの可逆元である場合、級数が存在する。

${\displaystyle g(X)=\sum _{k}g_{k}X^{k}}$

これはの合成逆関数であり、と合成すると恒等関数 を表す級数が得られることを意味します。 の係数は、合成の係数に対する上記の公式を使用して、合成恒等関数Xの係数（つまり、次数 1 で 1、1 より大きい次数ごとに 0）と等しくすることで、再帰的に見つけることができます。係数環が特性 0 の体である場合、ラグランジュの逆公式（以下で説明）は、gの係数、およびgの（乗法的）べき乗の係数を計算するための強力なツールを提供します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x=0+1x+0x^{2}+0x^{3}+\cdots }$${\displaystyle g}$

形式的なべき級数を与えられた場合

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

その形式導関数をDfまたはf ′と 定義し、

${\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}$

記号Dは形式微分演算子と呼ばれます。この定義は、多項式の項ごとの微分を単純に模倣したものです。

この操作はR線形です。

${\displaystyle D(af+bg)=a\cdot Df+b\cdot Dg}$

R の任意のa、bおよび R の任意のf、gに対して、さらに、形式微分は微積分の通常の微分の特性の多くを備えています。たとえば、積の規則は有効です。 ${\displaystyle R[[X]].}$

${\displaystyle D(fg)\ =\ f\cdot (Dg)+(Df)\cdot g,}$

連鎖律も同様に機能します:

${\displaystyle D(f\circ g)=(Df\circ g)\cdot Dg,}$

適切なシリーズの構成が定義されている場合（上記のシリーズの構成を参照）。

したがって、これらの点では形式的な冪級数はテイラー級数のように振舞う。実際、上で定義したfに対して、

${\displaystyle (D^{k}f)(0)=k!a_{k},}$

ここで、D ^{k は}k番目の形式的微分（つまり、 k回形式的に微分した結果）を表します。

が特性ゼロの環であり、非ゼロの整数が において可逆である場合、形式的な冪級数が与えられると、 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

我々はその形式的不定積分を次のように 定義する。

${\displaystyle D^{-1}f=\int f\ dX=C+\sum _{n\geq 0}a_{n}{\frac {X^{n+1}}{n+1}}.}$

任意の定数に対して。 ${\displaystyle C\in R}$

この操作はR線形です。

${\displaystyle D^{-1}(af+bg)=a\cdot D^{-1}f+b\cdot D^{-1}g}$

R の任意のa、bおよび R の任意のf、gに対して、形式的原始微分は、微積分の通常の原始微分の特性の多くを備えています。たとえば、形式的原始微分は、形式的微分の右逆です。 ${\displaystyle R[[X]].}$

${\displaystyle D(D^{-1}(f))=f}$

いずれの場合も。 ${\displaystyle f\in R[[X]]}$

${\displaystyle R[[X]]}$は上の結合的代数であり、上の多項式環を含みます。多項式はゼロで終わる数列に対応します。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R}$

のヤコブソン根号はによって生成されるイデアルであり、 のヤコブソン根号はによって生成されるイデアルです。これは、上で説明した要素の可逆性基準によって暗示されます。 ${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$

すべての極大イデアルは、 の極大イデアルから次のようにして生じます。 のイデアルが極大となるのは、が の極大イデアルである場合に限り、 はおよびによってイデアルとして生成されます。 ${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle M\cap R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\cap R}$

のいくつかの代数的性質は に継承されます: ${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$

• が局所環であればも局所環である（非単位集合 は唯一の最大イデアルである）。${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$
• がネーターである場合、 もネーターである（ヒルベルト基底定理のバージョン）。${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$
• が整域であればも整域であり、${\displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$
• が体である場合、 は離散評価環です。${\displaystyle K}$${\displaystyle K[[X]]}$

距離空間は完全です。 ${\displaystyle (R[[X]],d)}$

環がコンパクトであるためには、 Rが有限である必要があります。これは、ティコノフの定理と、上の位相を積位相として 特徴付けることから導かれます。${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R[[X]]}$

完全局所環に係数を持つ形式的冪級数の環は、ワイエルシュトラスの準備定理を満たします。

形式的なべき級数は、数論や組合せ論で発生する再発を解くために使用できます。フィボナッチ数列の閉じた形式の表現を求める例については、 「生成関数の例」の記事を参照してください。

形式的な冪級数を使うと、純粋に代数的な設定での解析でよく知られているいくつかの関係を証明することができます。たとえば、 の次の要素を考えてみましょう。 ${\displaystyle \mathbb {Q} [[X]]}$

${\displaystyle \sin(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}}$

${\displaystyle \cos(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}}$

すると、

${\displaystyle \sin ^{2}(X)+\cos ^{2}(X)=1,}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}\sin(X)=\cos(X),}$

${\displaystyle \sin(X+Y)=\sin(X)\cos(Y)+\cos(X)\sin(Y).}$

リング内で最後の1つが有効になる${\displaystyle \mathbb {Q} [[X,Y]].}$

K体の場合、環は代数学においてK上の「標準的な最も一般的な」完全局所環としてよく使用されます。 ${\displaystyle K[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$

数学的解析では、すべての収束するべき級数は、実数または複素数の値を持つ関数を定義します。特定の特殊環上の形式的なべき級数も関数として解釈できますが、定義域と余定義域に注意する必要があります。

${\displaystyle f=\sum a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

が 上の可換結合代数であり、が のイデアルで、上のI 進位相が完備であり、が の要素であるとします。定義: ${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}.}$

この級数は、に関する上記の仮定のもとで収束することが保証されている。さらに、 ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

そして

${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x).}$

本物の関数の場合とは異なり、これらの式は定義ではなく、証明する必要があります。

上の位相は-進位相であり完備なので、特に、引数が定数係数を持たない（つまりイデアル に属する）限り、冪級数を他の冪級数に適用することができる。 、およびはすべて、任意の形式的な冪級数に対して適切に定義される。${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle (X)}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle (X)}$${\displaystyle f(0)}$${\displaystyle f(X^{2}-X)}$${\displaystyle f((1-X)^{-1}-1)}$${\displaystyle f\in R[[X]].}$

この形式化により、定数係数が で逆であるべき級数の乗法逆数の明示的な式を与えることができます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle a=f(0)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle f^{-1}=\sum _{n\geq 0}a^{-n-1}(a-f)^{n}.}$

の形式的な冪級数が次の式で暗黙的に与えられる 場合${\displaystyle g}$${\displaystyle g(0)=0}$

${\displaystyle f(g)=X}$

ここで はを伴う既知のべき級数であり、 の係数はラグランジュ逆変換公式を使用して明示的に計算できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle g}$

環上の形式ローラン級数は形式冪級数と似た方法で定義されるが、負の次数の項も有限個許容する点が異なる。つまり、次のように書ける級数である。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

ある整数 に対して となり、となる負の は有限個しかありません。(これは複素解析の古典的なローラン級数とは異なります。) 非ゼロの形式ローラン級数に対して、となる最小の整数 は の位数と呼ばれ、 は と表されます(ゼロ級数の位数は です。) ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}\neq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}\neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {ord} (f).}$${\displaystyle +\infty }$

このような級数の乗算は定義できます。実際、形式的な冪級数の定義と同様に、係数のシーケンスがそれぞれ と である 2 つの級数の係数は、十分に負のインデックスで係数がゼロになると仮定されている ため、この合計には有限個の非ゼロ項しかありません。 ${\displaystyle X^{k}}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{b_{n}\}}$$${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}b_{k-i}.}$$

形式ローラン級数は上の形式ローラン級数の環を形成し、 と表記される。^[b] これは、の正のべき集合に関する形式冪級数の環の局所化に等しい。 が体である場合、 は実際には体であり、これは整域の分数体として得ることもできる。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R((X))}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R=K}$${\displaystyle K((X))}$ ${\displaystyle K[[X]]}$

と同様に、形式ローラン級数の環は、計量 ${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R((X))}$$${\displaystyle d(f,g)=2^{-\operatorname {ord} (f-g)}.}$$

形式ローラン級数の形式微分は、自然な方法（項ごとに）で定義できます。正確には、上記の 形式ローラン級数の形式微分は 、これも形式ローラン級数です。が定数でない形式ローラン級数で、係数が特性 0 の体にある場合、次の式が得られます。 ただし、一般には、最低次の項の係数がで 0 になる可能性があるため、この限りではありません。 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f'=Df=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1},}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \operatorname {ord} (f')=\operatorname {ord} (f)-1.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$

が標数0の体であると仮定する。すると写像 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle D\colon K((X))\to K((X))}$

上記で定義した導出は 、${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ker D=K}$

${\displaystyle \operatorname {im} D=\left\{f\in K((X)):[X^{-1}]f=0\right\}.}$

後者は、 の係数が特に興味深いことを示しています。これは の形式留数と呼ばれ、 と表記されます。写像 ${\displaystyle X^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {Res} (f)}$

${\displaystyle \operatorname {Res} :K((X))\to K}$

は -線形であり、上記の観察により、正確なシーケンスが得られる。${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\to K\to K((X)){\overset {D}{\longrightarrow }}K((X))\;{\overset {\operatorname {Res} }{\longrightarrow }}\;K\to 0.}$

微積分のいくつかの規則。上記の定義と形式的導出の規則の直接的な結果として、任意の${\displaystyle f,g\in K((X))}$

1. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f')=0;}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Res} (fg')=-\operatorname {Res} (f'g);}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=\operatorname {ord} (f),\qquad \forall f\neq 0;}$
4. ${\displaystyle \operatorname {Res} \left((g\circ f)f'\right)=\operatorname {ord} (f)\operatorname {Res} (g),}$もし${\displaystyle \operatorname {ord} (f)>0;}$
5. ${\displaystyle [X^{n}]f(X)=\operatorname {Res} \left(X^{-n-1}f(X)\right).}$

プロパティ (i) は、上記の正確なシーケンスの一部です。プロパティ (ii) は、(i) を に適用すると従います。プロパティ (iii): 任意の は、およびとともに、形式で表記できます。したがって、 はで可逆であることがわかり、したがってプロパティ (iv):とともに と表記できるため。したがって、および (iv) は (i) および (iii) から従います。プロパティ (v) は定義から明らかです。 ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f=X^{m}g}$${\displaystyle m=\operatorname {ord} (f)}$${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$${\displaystyle f'/f=mX^{-1}+g'/g.}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K[[X]]\subset \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=m.}$${\displaystyle \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$${\displaystyle g=g_{-1}X^{-1}+G',}$${\displaystyle G\in K((X))}$${\displaystyle (g\circ f)f'=g_{-1}f^{-1}f'+(G'\circ f)f'=g_{-1}f'/f+(G\circ f)'}$

上で述べたように、 f ₀ = 0かつf ₁ ≠ 0である任意の形式級数は合成逆数を持ち、g ⁿとf ^{− k}の係数の間に次の関係が成り立つ（"${\displaystyle f\in K[[X]]}$${\displaystyle g\in K[[X]].}$ラグランジュ逆変換式"):

${\displaystyle k[X^{k}]g^{n}=n[X^{-n}]f^{-k}.}$

特に、n  = 1およびすべてのk  ≥ 1の場合、

${\displaystyle [X^{k}]g={\frac {1}{k}}\operatorname {Res} \left(f^{-k}\right).}$

ラグランジュ逆関数の証明は非常に短い計算なので、ここで留数に基づく証明を1つ報告する価値がある（^{[6] [7]} [8] 、例えば、正則関数のコーシーの係数公式、木を数える議論、または帰納法を使用したさまざまな証明が存在する）。 に注目すると、上記の微積分の規則を適用することができ、特に規則（iv）を に代入すると、^次の式が得られる。 ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)=1}$${\displaystyle X\rightsquigarrow f(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k[X^{k}]g^{n}&\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(g^{n}X^{-k-1}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(iv)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(X^{n}f^{-k-1}f'\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ -\operatorname {Res} \left(X^{n}(f^{-k})'\right)\\&\ {\stackrel {\mathrm {(ii)} }{=}}\ \operatorname {Res} \left(\left(X^{n}\right)'f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ n\operatorname {Res} \left(X^{n-1}f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ n[X^{-n}]f^{-k}.\end{aligned}}}$

一般化。上記の計算は、K (( X )) よりも一般的な設定で簡単に繰り返すことができることに気づくでしょう。ラグランジュ逆変換公式の一般化は、 α が複素指数である- モジュールですでに利用可能です。結果として、fとg が上記のとおりで、 の場合、 f / Xとg / Xの複素累乗を次のように関連付けることができます。正確には、α と β が負の整数の合計を持つ非ゼロの複素数である場合、 ${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$${\displaystyle X^{\alpha }\mathbb {C} ((X)),}$${\displaystyle f_{1}=g_{1}=1}$${\displaystyle m=-\alpha -\beta \in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}[X^{m}]\left({\frac {f}{X}}\right)^{\alpha }=-{\frac {1}{\beta }}[X^{m}]\left({\frac {g}{X}}\right)^{\beta }.}$

たとえば、この方法では、ランバート関数の複素累乗の累乗級数を求めます。

任意の数の不定元（無限に多い場合も含む）における形式的冪級数は定義できる。I が添字集合で、X _{I が}i ∈ Iに対する不定元X _iの集合である場合、単項式X ^αはX _Iの元の有限積である（繰り返し可）。環Rの係数を持つX _Iの形式的冪級数は、単項式集合X ^αから対応する係数c _αへの任意の写像によって決定され、 と表記される。このような形式的冪級数全体の集合は と表記され、次のように定義することで環構造が与えられる 。 ${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$${\displaystyle R[[X_{I}]],}$

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

そして

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\beta }d_{\beta }X^{\beta }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }}$

上の位相は、各単項式X ^αに対して対応する係数が安定する場合にのみ、その要素のシーケンスが収束するような位相です。 Iが有限の場合、これはJ進位相です。ここで、 JはX _Iのすべての不定元によって生成されるのイデアルです。 これは、 Iが無限の場合は当てはまりません。たとえば、の場合、のシーケンスはR上のどのJ進位相に対しても収束しませんが、明らかに各単項式に対して対応する係数は安定します。 ${\displaystyle R[[X_{I}]]}$${\displaystyle R[[X_{I}]]}$${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle f_{n}=X_{n}+X_{n+1}+X_{n+2}+\cdots }$

上で述べたように、繰り返し形式冪級数環上の位相は通常、位相環として同型になるように選択される。${\displaystyle R[[X]][[Y]]}$${\displaystyle R[[X,Y]].}$

1 つの変数内のシリーズに対して定義されたすべての操作は、複数の変数の場合にも拡張できます。

• 級数が逆であるのは、その定数項がRで逆である場合に限ります。
• 2 つの数列fとgの合成f ( g ( X )) は、 fが単一の不定値内の数列であり、gの定数項が 0 である場合に定義されます。 複数の不定値内の数列fの場合、 gの代わりに不定値と同じ数の別個の数列を持つ「合成」の形式を同様に定義できます。

形式微分の場合、不定値のそれぞれに関して微分する個別の偏微分演算子が存在します。それらはすべて互いに可換です。

複数変数の場合、普遍的性質を特徴付けるのは次のようになります。S がR上の可換結合代数であり、I がSのイデアルでS上のI進位相が完全であり、x ₁、...、x _{r が}Iの要素である場合、次の性質を持つ 一意の写像が存在します。${\displaystyle R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$${\displaystyle \Phi :R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]\to S}$

• Φ はR代数の準同型性です
• Φは連続である
• Φ( X _i ) = x _i（i = 1, ..., r ）です。

複数変数の場合は、 i ∈ Iに対して非可換変数 X _iを取ることでさらに一般化できます。ここで、Iはインデックスセットであり、単項式X ^αはX _I内の任意の単語です。環Rに係数を持つX _I内の形式的な冪級数は、単項式セットX ^αから対応する係数c _αへの任意のマッピングによって決定され、 と表記されます。このような形式的な冪級数のすべての集合はR « X _I » と表記され、点ごとに加法を定義することで環構造が与えられます 。 ${\displaystyle \textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

そして、

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha }\cdot X^{\beta }}$

ここで·は単語の連結を表す。R上のこれらの形式的な冪級数はR上のマグヌス環を形成する。^{[9] [10]}

アルファベット と半環が与えられます。言語 でサポートされている上の形式的な冪級数は で表されます。これはすべてのマッピング で構成されます。ここで は空でない集合 によって生成される自由モノイドです。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Sigma ^{*}}$${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$${\displaystyle r:\Sigma ^{*}\to S}$${\displaystyle \Sigma ^{*}}$${\displaystyle \Sigma }$

の要素は形式的な和として表すことができる。 ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$

${\displaystyle r=\sum _{w\in \Sigma ^{*}}(r,w)w.}$

ここで、 はにおけるの値を表します。要素はの係数と呼ばれます。 ${\displaystyle (r,w)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle w\in \Sigma ^{*}}$${\displaystyle (r,w)\in S}$${\displaystyle r}$

サポートのためにセットです ${\displaystyle r\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {supp} (r)=\{w\in \Sigma ^{*}|\ (r,w)\neq 0\}}$

すべての係数が または である級数は、その台の特性級数と呼ばれます。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

有限台を持つすべての級数からなる の部分集合は で表され、多項式と呼ばれます。 ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$${\displaystyle S\langle \Sigma ^{*}\rangle }$

およびの場合、和は次のように定義されます。 ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle r_{1}+r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}+r_{2},w)=(r_{1},w)+(r_{2},w)}$

（コーシー）積は次のように定義される 。${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}\cdot r_{2},w)=\sum _{w_{1}w_{2}=w}(r_{1},w_{1})(r_{2},w_{2})}$

アダマール積は次のように定義される。 ${\displaystyle r_{1}\odot r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}\odot r_{2},w)=(r_{1},w)(r_{2},w)}$

そして、 スカラーと${\displaystyle sr_{1}}$${\displaystyle r_{1}s}$

${\displaystyle (sr_{1},w)=s(r_{1},w)}$およびです。${\displaystyle (r_{1}s,w)=(r_{1},w)s}$

これらの演算と は半環であり、の空語は です。 ${\displaystyle (S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )}$${\displaystyle (S\langle \Sigma ^{*}\rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

これらの形式的な冪級数は、理論計算機科学において、級数の係数がオートマトン内のラベル付きパスの重みとしてとられるときに、重み付きオートマトンの動作をモデル化するために使用されます。 ^[11]${\displaystyle (r,w)}$${\displaystyle w}$

が順序付きアーベル群、つまり群の加法に関する全順序を持つアーベル群であると仮定すると、すべての に対してが成り立つことが条件となる。I を の整列部分集合、つまり I に無限降順連鎖が含まれないものとする。からなる集合を考える。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle <}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a+c<b+c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}X^{i}}$

可換環 内のそのようなIすべてに対して、が成り立ちます。ここで、任意の添字集合に対して、 がすべて0 であれば、その和は 0 であると仮定します。すると は上の形式的冪級数の環です。添字集合が整列しているという条件により、積は明確に定義され、もちろん 0 だけ異なる 2 つの要素は同じであると仮定します。を表すために という表記が使用されることもあります。^[12]${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle R((G))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [[R^{G}]]}$${\displaystyle R((G))}$

への転送のさまざまな特性。 が体であれば、 も体です。が順序付き体である場合、任意の要素をその先頭の係数と同じ符号に設定することで順序付けることができます。先頭の係数は、非ゼロ係数に関連付けられたインデックス セットIの最小の要素として定義されます。最後に、 が分割可能なグループであり、 が実閉体である場合、は実閉体であり、が代数的に閉じている場合、 も代数的に閉じています。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R((G))}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R((G))}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R((G))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R((G))}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R((G))}$

この理論はハンス・ハーンによるもので、彼はまた、（ゼロでない）項の数が一定の無限の基数によって制限されるときにサブフィールドが得られることも示しました。

• ベル級数は乗法算術関数の特性を研究するために使用される。
• 形式群は、形式冪級数を用いて抽象群法則を定義するために使用される。
• ピュイズー級数は、分数指数を許容する形式ローラン級数の拡張である。
• 有理数列

• 制限されたべき級数の環

• Berstel, Jean ; Reutenauer, Christophe (2011).非可換有理数級数とその応用. 数学とその応用百科事典. 第137巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-19022-0.ZBL1250.68007  。​
• ニコラ・ブルバキ：代数、IV、§4。シュプリンガー・フェルラーク 1988。

• W. Kuich. 半環と形式冪級数: 形式言語とオートマトン理論との関連性。G. Rozenberg および A. Salomaa 編著、形式言語ハンドブック、第 1 巻、第 9 章、609 ～ 677 ページ。Springer、ベルリン、1997 年、ISBN 3-540-60420-0 
• Droste, M., & Kuich, W. (2009). 半環と形式冪級数.重み付きオートマトンハンドブック, 3–28. doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1
• Arto Salomaa (1990)。「形式言語とべき級数」。Jan van Leeuwen (編)形式モデルとセマンティクス。理論計算機科学ハンドブック。第 B 巻。Elsevier。pp. 103–132。ISBN 0-444-88074-7。