ウェーブレット

ウェーブレットとは、振幅がゼロから始まり、増加または減少した後、1回以上ゼロに戻る波状の振動です。ウェーブレットは「短い振動」と呼ばれます。ウェーブレットは、パルスの数と方向に基づいて分類されています。ウェーブレットは、信号処理に役立つ特有の特性を備えています。

例えば、周波数が中央Cで、持続時間が約10分の1秒のウェーブレットを作成することができます。このウェーブレットをメロディーの録音から生成された信号と畳み込む と、結果として得られる信号は、曲の中で中央Cの音がいつ現れるかを特定するのに役立ちます。数学的には、信号の一部がウェーブレットと類似している場合、ウェーブレットは信号と相関関係にあると言えます。相関関係は、多くの実用的なウェーブレット応用の中核をなすものです。

数学的手法として、ウェーブレットは音声信号や画像など、様々な種類のデータから情報を抽出するために利用できます。データを完全に分析するには、ウェーブレットのセットが必要です。「相補的」ウェーブレットは、ギャップや重なりなく信号を分解するため、分解プロセスは数学的に可逆です。したがって、相補的ウェーブレットのセットは、最小限の損失で元の情報を復元することが望ましいウェーブレットベースの圧縮／解凍アルゴリズムにおいて有用です。

厳密に言えば、この表現は、二乗可積分関数のヒルベルト空間において、完全な正規直交基底関数系、またはベクトル空間の過剰完全な系もしくはフレームに関して、二乗可積分関数をウェーブレット級数で表現したものです。これは、コヒーレント状態を通して実現されます。

古典物理学では、回折現象は、伝搬する波面の各点を個々の球面波の集合として扱うホイヘンス・フレネルの原理によって記述されます。 ^{[ 1 ]}特徴的な曲がりパターンは、コヒーレント光源（レーザーなど）からの波が、その波長と同程度の大きさのスリット/開口部に遭遇したときに最も顕著になります。これは、波面上の異なる点（または等価的に各波）が、異なる長さの経路を通って記録面に到達する際に、加算または干渉が起こるためです。複数の近接した開口部（例えば、回折格子）は、強度の異なる複雑なパターンを生み出す可能性があります。

ウェーブレットという言葉は、デジタル信号処理や探査地球物理学において数十年にわたって使用されてきました。^{[ 2 ]}フランス語で「小さな波」を意味する同等の言葉であるオンデレットは、1980年代初頭にジャン・モルレとアレックス・グロスマンによって使用されました。

ウェーブレット理論は、いくつかの主題に適用できます。すべてのウェーブレット変換は、連続時間(アナログ) 信号の時間周波数表現の形式とみなすことができ、したがって調和解析に関連しています。^{[ 3 ]}離散時間(サンプリング) 信号の離散ウェーブレット変換 (時間的に連続) は、ダイアディック (オクターブ バンド) 構成の離散時間フィルタバンクを使用して、その信号のウェーブレット近似になります。このようなフィルタバンクの係数は、ウェーブレットの命名法ではシフト係数とスケーリング係数と呼ばれます。これらのフィルタバンクには、有限インパルス応答(FIR) フィルタまたは無限インパルス応答(IIR) フィルタのいずれかが含まれる場合があります。連続ウェーブレット変換(CWT) を形成するウェーブレットは、フーリエ解析の不確定性原理およびサンプリング理論に従います。 ^{[ 4 ]}あるイベントを含む信号が与えられた場合、そのイベントに正確な時間応答スケールと周波数応答スケールを同時に割り当てることはできません。時間応答スケールと周波数応答スケールの不確定性の積には下限があります。したがって、この信号の連続ウェーブレット変換のスケールグラムでは、このようなイベントは、1点ではなく、時間スケール平面上の領域全体をマークします。また、離散ウェーブレット基底は、不確定性原理の他の形式の文脈で考慮されることがあります。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

ウェーブレット変換は、大きく分けて連続型、離散型、多重解像度型の3種類に分類される。

マルチ解像度に基づく離散ウェーブレット変換（時間的に連続）

任意の離散ウェーブレット変換では、上半平面の各境界矩形領域に対して有限個のウェーブレット係数しか存在しません。それでも、各係数には積分の評価が必要です。特殊な状況では、スケーリングおよびシフトされたウェーブレットが多重解像度解析を形成する場合、この数値的な複雑さを回避できます。これは、 L ² ( R )に補助関数、すなわち親ウェーブレットφが存在し、 aが整数である必要があることを意味します。典型的な選択は、a = 2、b = 1 です。最も有名な親ウェーブレットと母ウェーブレットのペアは、ドーベシィ4 タップ ウェーブレットです。すべての正規直交離散ウェーブレット基底が多重解像度解析に関連付けられるわけではないことに注意してください。たとえば、ジュールヌ ウェーブレットは多重解像度解析を許容しません。^{[ 9 ]}

母ウェーブレットと父ウェーブレットから部分空間を構築する $${\displaystyle V_{m}=\operatorname {span} (\phi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ただし}}\phi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi (2^{-m}tn)}$$$${\displaystyle W_{m}=\operatorname {span} (\psi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ただし}}\psi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi (2^{-m}tn).}$$ 父のウェーブレット${\displaystyle V_{i}}$時間領域の特性は保持されるが、マザーウェーブレットは${\displaystyle W_{i}}$周波数領域の特性を維持する。

これらから、シーケンスが要求される $${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset V_{-2}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$$L ²の多重解像度解析 を形成し、部分空間が${\displaystyle \dots ,W_{1},W_{0},W_{-1},\dots }$は上記の数列の直交「差」であり、すなわち、W _mは部分空間V _{m −1内の}V _mの直交補空間である。 $${\displaystyle V_{m}\oplus W_{m}=V_{m-1}.}$$

サンプリング定理になぞらえて、サンプリング間隔2mの^空間Vmは、0から1/2m-1までの周波数ベースバンドをほぼカバーしていると結論づけることができる。_直交補^{空間として}、Wm_はおおよそ[​​1/ ^{2m -1} , 1/ ^2m ]の帯域をカバーする。

これらの包含関係と直交関係から、特に${\displaystyle V_{0}\oplus W_{0}=V_{-1}}$シーケンスの存在に続く${\displaystyle h=\{h_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$そして${\displaystyle g=\{g_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$恒等式を満たす $${\displaystyle g_{n}=\langle \phi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$となることによって${\textstyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }g_{n}\phi (2t-n),}$そして $${\displaystyle h_{n}=\langle \psi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$となることによって${\textstyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }h_{n}\phi (2t-n).}$ 最初のペアの2番目の恒等式は、親ウェーブレットφの改良方程式です。両方の恒等式のペアは、高速ウェーブレット変換のアルゴリズムの基礎を形成します。

多重解像度解析から、空間L2の直交分解が次のように 導出される^。$${\displaystyle L^{2}=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}-1}\oplus W_{j_{0}-2}\oplus W_{j_{0}-3}\oplus \cdots }$$ 信号または機能について$\displaystyle S\in L^{2}}$これは、対応する部分空間の基底関数による表現を与える。 $${\displaystyle S=\sum _{k}c_{j_{0},k}\phi _{j_{0},k}+\sum _{j\leq j_{0}}\sum _{k}d_{j,k}\psi _{j,k}}$$ ここで係数は $${\displaystyle c_{j_{0},k}=\langle S,\phi _{j_{0},k}\rangle }$$そして $${\displaystyle d_{j,k}=\langle S,\psi _{j,k}\rangle .}$$

実用的な用途や効率上の理由から、コンパクトなサポートを持つ連続微分可能な関数をマザー（プロトタイプ）ウェーブレット（関数）として用いるのが望ましい。しかし、（連続ウェーブレット変換における）解析的な要件を満たすため、また一般的には理論的な理由から、空間の部分空間からウェーブレット関数を選択する。${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} ).}$これは、絶対積分可能かつ二乗積分可能であるという意味で、 ルベーグ可測関数の空間である。$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty }$$そして$$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty .}$$

この空間にいることで、平均値がゼロで二乗ノルムが1となる条件を定式化できることが保証される。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0}$$は平均値がゼロの条件であり、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt=1}$$二乗ノルムが1となる条件は、

ψが連続ウェーブレット変換のウェーブレットであるためには（正確な記述についてはそちらを参照）、安定的に可逆な変換を得るために、マザーウェーブレットは許容基準（大まかに言えば、一種の半微分可能性）を満たす必要があります。

離散ウェーブレット変換では、少なくともウェーブレット系列が空間L ² ( R )における恒等関数の表現であるという条件が必要です。離散ウェーブレット変換のほとんどの構成では、スケーリング関数によってウェーブレットを定義する多重解像度解析が利用されます。このスケーリング関数自体は、関数方程式の解です。

ほとんどの場合、ψ をより多くのM個の消滅モーメントを持つ連続関数に制限することが有用です。つまり、すべての整数m < Mに対して となります。$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{m}\,\psi (t)\,dt=0.}$$

マザーウェーブレットは、係数aでスケーリング（または拡大）され、係数bで平行移動（またはシフト）されて、（モルレの元の定式化では）次のようになります。

$${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({tb \over a}\right).}$$

連続WTの場合、ペア( a , b )は完全な半平面R ₊ × R上で変化します。離散WTの場合、このペアはその離散部分集合上で変化し、これはアフィン群とも呼ばれます。

これらの関数は、しばしば（連続）変換の基底関数と誤って呼ばれる。実際には、連続フーリエ変換と同様に、連続ウェーブレット変換には基底は存在しない。時間周波数解釈では、（デルプラットによれば）微妙に異なる定式化が用いられる。

制限：

1. $\left\{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{a1,b1}(t)\varphi \left({\frac {tb}{a}}\right)\,dt}$a ₁ = aかつb ₁ = bの場合、
2. ${\displaystyle \Psi (t)}$有限の時間間隔を持つ

ウェーブレット変換は、信号が正弦波の和として表現されるフーリエ変換とよく比較されます。実際、フーリエ変換は、マザーウェーブレットの選択によって連続ウェーブレット変換の特殊なケースと見なすことができます。 ${\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}$一般的に、ウェーブレットは時間と周波数の両方で局所化されているのに対し、標準フーリエ変換は周波数のみで局所化されているという点が主な違いです。短時間フーリエ変換（STFT）は、時間と周波数の両方で局所化されているという点でウェーブレット変換に似ていますが、周波数と時間の分解能のトレードオフに問題があります。

特に、矩形ウィンドウ領域を仮定すると、STFTはわずかに異なるカーネルを持つ変換と考えることができる。 $${\displaystyle \psi (t)=g(tu)e^{-2\pi it}}$$ どこ${\displaystyle g(tu)}$多くの場合、次のように書くことができる。${\textstyle \operatorname {rect} \left({\frac {tu}{\Delta _{t}}}\right)}$、 どこ$\displaystyle \Delta _{t}}$とu はそれぞれ、ウィンドウ関数の長さと時間オフセットを表す。パーセバルの定理を用いると、ウェーブレットのエネルギーを次のように定義できる。 $${\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$このことから、時間u だけオフセットされたウィンドウの時間的サポートの二乗は次のように与えられる。 $${\displaystyle \sigma _{u}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}$$

そして、周波数に作用するウィンドウのスペクトルサポートの二乗${\displaystyle \xi }$$${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\xi }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$

時間領域における矩形ウィンドウとの乗算は、${\displaystyle \operatorname {sinc} (\Delta _{t}\omega )}$周波数領域で関数を実装すると、短い/局所的な時間ウィンドウで偽のリンギングアーチファクトが発生します。連続時間フーリエ変換では、${\displaystyle \Delta _{t}\to \infty }$そしてこの畳み込みはフーリエ空間のデルタ関数と行われ、結果として信号の真のフーリエ変換が得られる。${\displaystyle x(t)}$ウィンドウ関数には、ガウス関数などの他のアポダイジングフィルタを用いることもできます。ウィンドウ関数の選択は、真のフーリエ変換に対する近似誤差に影響を与えます。

特定の分解能セルにおける時間帯域幅積は、STFTでは超えてはならない。すべてのSTFT基底要素は、あらゆる時間シフトまたはオフセットに対して均一なスペクトルおよび時間サポートを維持するため、低周波数と高周波数で同等の時間分解能を実現する。分解能は、サンプリング幅のみによって決定される。

対照的に、ウェーブレット変換の多重解像度特性により、ウェーブレット変換のスケーリング特性によって、低周波数に対して大きな時間的サポートが可能になり、高周波数に対しては短い時間幅を維持できます。この特性により、従来の時間周波数解析が時間スケール解析に拡張されます。^{[ 12 ]}

離散ウェーブレット変換は、高速フーリエ変換（FFT）のO( N log N )時間と比較して、 O( N )時間で済むため、計算量が少なくて済みます。この計算上の利点は変換自体に固有のものではなく、離散フーリエ変換（DFT）と同じ基底関数を使用するFFTの等間隔の周波数分割とは対照的に、周波数を対数的に分割するという選択を反映しています。^{[ 13 ]}この複雑さは、フィルタサイズが信号サイズと無関係な場合にのみ適用されます。シャノンウェーブレットのようなコンパクトサポートを持たないウェーブレットでは、O( N ² )時間が必要になります。（例えば、対数フーリエ変換もO( N )の複雑さで存在しますが、元の信号を時間的に対数的にサンプリングする必要があり、これは特定の種類の信号にのみ有効です。^{[ 14 ]}）  

ウェーブレット（またはウェーブレットファミリー）は、さまざまな方法で定義できます。

ウェーブレットの発展は、20世紀初頭のアルフレッド・ハールの研究に始まる、いくつかの異なる思考の流れと結びついている。その後、デニス・ガボールの研究により、ウェーブレットと同様の構造を持ち、同様の目的に用いられるガボール原子（1946年）が生まれた。

それ以降のウェーブレット理論への顕著な貢献としては、 1975年のジョージ・ツヴァイクによる連続ウェーブレット変換（CWT）の発見（当初は蝸牛変換と呼ばれ、音に対する耳の反応を研究中に発見された）^{[ 16 ]} 、ピエール・グピヨー、アレックス・グロスマン、ジャン・モルレによる現在CWTとして知られるものの定式化（1982年）、ヤン＝オロフ・ストロンバーグによる離散ウェーブレットに関する初期の研究（1983年）、線形位相を持つル・ガル＝タバタバイ（LGT）5/3タップ非直交フィルタバンク（1988年）^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} 、イングリッド・ドーベシエによるコンパクトサポートを持つ直交ウェーブレット（1988年）、ステファン・マラットによる非直交マルチレゾリューションフレームワーク（1989年）、アリ・アカンスによる二項QMFなどが挙げられる。 (1990)、Nathalie Delprat による CWT の時間周波数解釈 (1991)、Newland の調和ウェーブレット変換(1993)、およびAmir Said と William A. Pearlman が 1996 年に開発した階層ツリー内の集合分割(SPIHT)。 ^{[ 20 ]}

JPEG 2000規格は、1997 年から 2000 年にかけて、Touradj Ebrahimi (後に JPEG 会長) が議長を務めるJoint Photographic Experts Group (JPEG) 委員会によって開発されました。 ^{[ 21 ]}オリジナルのJPEGフォーマットで使用されていた DCT アルゴリズムとは対照的に、JPEG 2000 では離散ウェーブレット変換(DWT) アルゴリズムを使用しています。非可逆圧縮アルゴリズムにはCDF 9/7 ウェーブレット変換 (1992 年に Ingrid Daubechies によって開発)を、可逆圧縮アルゴリズムには Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3 離散時間フィルタバンク (1988 年に Didier Le Gall と Ali J. Tabatabai によって開発) を使用しています。^{[ 22 ]} Motion JPEG 2000拡張機能を含むJPEG 2000技術は、 2004 年にデジタル シネマのビデオ コーディング規格として選択されました。^{[ 23 ]}

ウェーブレットは、与えられた関数または連続時間信号を異なるスケール成分に分割するために使用される数学関数です。通常、各スケール成分に周波数範囲を割り当てることができます。各スケール成分は、そのスケールに一致する解像度で解析できます。ウェーブレット変換は、関数をウェーブレットで表現することです。ウェーブレットは、有限長または急速に減衰する振動波形（「マザーウェーブレット」と呼ばれる）のスケーリングおよび平行移動されたコピー（「ドーターウェーブレット」と呼ばれる）です。ウェーブレット変換は、不連続性や鋭いピークを持つ関数を表現する場合や、有限で非周期的および/または非定常な信号を正確に分解および再構成する場合に、従来のフーリエ変換よりも優れています。

ウェーブレット変換は、離散ウェーブレット変換（DWT）と連続ウェーブレット変換（CWT）に分類されます。DWTとCWTはどちらも連続時間（アナログ）変換であり、連続時間（アナログ）信号の表現に使用できます。CWTはあらゆるスケールと並進に対して動作しますが、DWTは特定のスケールと並進の値のサブセット、または表現グリッドを使用します。

ウェーブレット変換には数多くの種類があり、それぞれ異なる用途に適しています。完全なリストについては、ウェーブレット関連変換の一覧を参照してください。ただし、一般的なものを以下に示します。

• 連続ウェーブレット変換（CWT）
• 離散ウェーブレット変換（DWT）
• 高速ウェーブレット変換（FWT）
• 吊り上げ方式と一般化された吊り上げ方式
• ウェーブレットパケット分解（WPD）
• 定常ウェーブレット変換（SWT）
• 分数フーリエ変換（FRFT）
• 分数ウェーブレット変換（FRWT）

一般的に、信号が既にサンプリングされている場合はデータ圧縮に DWT の近似が使用され、信号解析には CWT が使用されます。^{[ 31 ] [ 32 ]}したがって、DWT 近似は工学やコンピュータ科学でよく使用され、^{[ 33 ]} CWT は科学研究でよく使用されます。^{[ 34 ]}

他の変換と同様に、ウェーブレット変換はデータを変換し、変換後のデータをエンコードすることで、効果的な圧縮を実現できます。例えば、JPEG 2000は双直交ウェーブレットを使用する画像圧縮規格です。これは、フレームが過剰であるにもかかわらず、タイトなフレーム（ベクトル空間のフレームの種類を参照）であり、同じフレーム関数（複素ウェーブレットの場合の共役を除く）が解析と合成の両方、つまり順変換と逆変換の両方で使用されることを意味します。詳細はウェーブレット圧縮を参照してください。

関連する用途として、ウェーブレット係数の閾値処理に基づくデータの平滑化／ノイズ除去（ウェーブレット収縮とも呼ばれる）が挙げられる。不要な周波数成分に対応するウェーブレット係数を適応的に閾値処理することで、平滑化やノイズ除去処理を実行できる。

ウェーブレット変換は通信アプリケーションにも使用され始めています。ウェーブレットOFDM は、 HD-PLC (パナソニックが開発した電力線通信技術)で使用される基本的な変調方式であり、 IEEE 1901規格に含まれるオプション モードの 1 つです。ウェーブレット OFDM は、従来のFFT OFDMよりも深いノッチを実現でき、ガード インターバル (FFT OFDM システムでは通常、大きなオーバーヘッドとなる) を必要としません。^{[ 35 ]}

ウェーブレットノイズ除去

ノイズの多い信号を測定したと仮定します${\displaystyle x=s+v}$、 どこ${\displaystyle s}$信号を表し、${\displaystyle v}$はノイズを表します。${\displaystyle s}$あるウェーブレット基底において疎な表現を持ち、${\displaystyle v\ \sim \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

ウェーブレット変換${\displaystyle x}$なれ${\displaystyle y=W^{T}x=W^{T}s+W^{T}v=p+z}$、 どこ${\displaystyle p=W^{T}s}$は信号成分のウェーブレット変換であり、${\displaystyle z=W^{T}v}$これはノイズ成分のウェーブレット変換です。

ほとんどの要素は${\displaystyle p}$0または0に近い値であり、${\displaystyle z\ \sim \ \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

以来${\displaystyle W}$が直交している場合、推定問題は、独立同分布ガウスノイズ中の信号の復元に相当します。${\displaystyle p}$が疎である場合、1つの方法はガウス混合モデルを適用することです。${\displaystyle p}$。

事前の仮定${\displaystyle p\ \sim \ a{\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{1}^{2})+(1-a){\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{2}^{2})}$、 どこ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$は「有意な」係数の分散であり、${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$これは「有意でない」係数の分散です。

それから${\displaystyle {\tilde {p}}=E(p/y)=\tau (y)y}$、${\displaystyle \tau (y)}$これは収縮係数と呼ばれ、事前の分散に依存します。${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$そして${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$逆変換を適用した後、収縮閾値を下回る係数をゼロに設定することで、スパース性の仮定により、予想される量の信号が失われます。スパース性により、より大きな係数は主に信号を表すと予想され、統計的には、ノイズの大部分は、このような小さな係数に表される信号はごくわずかであると予想されます。したがって、ゼロ化操作によってノイズの大部分が除去され、信号はほとんど除去されないと予想されます。通常、閾値を超える係数はこの処理中に変更されません。ウェーブレットベースのノイズ除去アルゴリズムの中には、このような減衰によって除去されると予想されるノイズ量の統計的推定に基づいて、より大きな係数も減衰させるものがあります。

最後に、逆ウェーブレット変換を適用して、${\displaystyle {\tilde {s}}=W{\tilde {p}}}$

• チャープレット変換
• エルミート多項式
• エルミートウェーブレット
• カーブレット
• デジタルシネマ
• 次元削減
• フィルターバンク
• フーリエ変換に関連する変換
• フラクタル圧縮
• 分数フーリエ変換
• ガボールウェーブレット§ ウェーブレット空間^{[ 46 ]}
• ホイヘンス・フレネルの原理（物理的な波動）
• JPEG 2000
• 不均等な間隔のデータを含むあらゆるデータにおける周期性を計算するための最小二乗スペクトル解析
• モルレウェーブレット
• 多重解像度解析
• ノワズレット
• 非分離ウェーブレット
• スケール空間
• スケールされた相関
• シャーレット
• 短時間フーリエ変換
• スペクトログラム
• 超広帯域無線 – ウェーブレットを送信する
• 多次元信号解析のためのウェーブレット

• Addison, Paul S. (2002).図解ウェーブレット変換ハンドブック：入門理論と科学、工学、医学、金融への応用. ブリストル、フィラデルフィア：物理学会出版. ISBN 0-7503-0692-0。
• Akansu, Ali N. ; Haddad, Richard A. (1992).多重解像度信号分解：変換、サブバンド、およびウェーブレット. ボストン：Academic Press. ISBN 0-12-047140-X。
• Chan, Tony F. ; Shen, Jianhong (2005).画像処理と解析：変分法、偏微分方程式、ウェーブレット、および確率的手法. フィラデルフィア：応用数理学会. ISBN 0-89871-589-XOCLC 60321765​​ 
• ドーベシエ、イングリッド（1992）。ウェーブレットに関する10の講義。フィラデルフィア、ペンシルベニア州：産業応用数学会。ISBN 0-89871-274-2。
• Gençay, Ramazan; Selçuk, Faruk; Whitcher, Brandon (2002).金融と経済におけるウェーブレットおよびその他のフィルタリング手法入門. サンディエゴ、カリフォルニア州: Academic Press. ISBN 0-12-279670-5。
• アルフレッド、ハール（1910年）。「直交関数システムの理論: 正確な理論」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。69 (3): 331–371。土井: 10.1007/BF01456326。ISSN 0025-5831 。2024 年 12 月 28 日に取得。 
• カイザー、ジェラルド（1994）。ウェーブレット入門。バーゼル・ボストン：ビルクホイザー。ISBN 0-8176-3711-7。
• Mallat, SG (2009).信号処理のウェーブレットツアー：スパースな方法. アムステルダム; ボストン: Elsevier/Academic Press. doi : 10.1016/B978-0-12-374370-1.X0001-8 . ISBN 978-0-12-374370-1。
• パーシバル、ドナルド・B.、ウォルデン、アンドリュー・T. (2007).時系列解析のためのウェーブレット法. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-68508-5。
• プレス、ウィリアム・H. (2007).数値計算レシピ：科学計算の技法. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-88068-8OCLC 1025448470。​ 
• Vaidyanathan, PP (1993).マルチレートシステムとフィルタバンク. ニュージャージー州エングルウッドクリフス: Prentice Hall. ISBN 0-13-605718-7。
• ヴェッテリ、マーティン；コヴァチェヴィッチ、イェレナ（1995）。ウェーブレットとサブバンド符号化。ニュージャージー州エングルウッド・クリフス：プレンティス・ホールPTR。ISBN 0-13-097080-8。
• ウィッカーハウザー、ムラデン・ヴィクター（1994）。適応型ウェーブレット解析：理論からソフトウェアへ。ウェルズリー、マサチューセッツ州：AKピーターズ。ISBN 1-56881-041-5。

• 「ウェーブレット解析」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• 第1回NJITウェーブレットシンポジウム（米国初のウェーブレット会議）

無料辞書であるWiktionaryで「wavelet」を調べてみてください。

ウィキメディア・コモンズには、ウェーブレットに関連するメディアがあります。

Wikiquoteにはウェーブレットに関連する引用文があります。