オイラー定数

オイラー定数（オイラー・マスケローニ定数とも呼ばれる）は数学定数であり、通常は小文字のギリシャ文字ガンマ（γ）で表され、調和級数と自然対数（ここではlogと表記）との差の限界として定義される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$$

ここで、⌊·⌋は床関数を表します。

オイラー定数の数値は、小数点以下50桁までで次の通りである。^[1]

この定数は、スイスの数学者レオンハルト・オイラーが1734年に発表した論文「De Progressionibus harmonicis observes（Eneström Index 43）」で初めて登場し、その中でオイラーは定数を「真剣に検討する価値がある」と評した。^{[2] [3]}オイラーは当初、定数の値を小数点以下6桁まで計算した。1781年には、小数点以下16桁まで計算した。オイラーはこの定数にCとOの表記法を使用した。イタリアの数学者ロレンツォ・マスケローニは、この定数を小数点以下32桁まで計算しようとしたが、小数点以下20～22桁目と31～32桁目に誤りを犯した。20桁目から計算すると... 181 12090082 39となるが、正しい値は... 065 12090082 40 となる。1790年には、この定数にAとaの表記法を使用した。その他の計算は 1809 年にヨハン・フォン・ゾルトナーによって行われ、彼はH という表記法を使用した。γという表記法はオイラーやマスケローニの著作のどこにも現れず、おそらく定数がガンマ関数と関連していることから、後になって選択された。^[3]たとえば、ドイツの数学者カール・アントン・ブレッチュナイダーは1835 年にγ という表記法を使用し、 ^[4]オーガスタス・ド・モルガンは1836 年から 1842 年にかけて部分的に出版された教科書でこの表記法を使用した。^{[5]オイラーの定数は}インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによっても研究され、彼は 1917 年にオイラーの定数に関する論文を 1 つ発表した。^[6] デビッド・ヒルベルトはγの無理数を「近づきがたい」未解決の問題として挙げ、伝えられるところによると、イギリスの数学者ゴッドフリー・ハーディは、これを証明できる者にはオックスフォード大学のサビリアン教授職を譲ると申し出た。 ^[2]

オイラーの定数は数学、特に数論と解析学において頻繁に登場します。^[7]例としては、次のような箇所が挙げられます。(ここで 「*」は、この項目に明示的な式が含まれていることを意味します)。

• ガンマ関数とバーンズG関数のワイエルシュトラスの積の公式。^{[8] [9]}
• の漸近展開。${\displaystyle \Gamma (1/x)}$
• 有理値におけるディガンマ関数の評価。^[10]
• リーマンゼータ関数*のローラン級数展開。これはスティルチェス定数の最初のものである。^[11]
• リーマンゼータ関数とディリクレベータ関数の微分値。^{[12] : 137  [13]}
• ラプラス変換とメリン変換に関連して^{[14] [15]}
• 調和級数を有限値として正規化/正規化する場合。
• 指数積分と対数積分を含む式。* ^{[16] [17]}
• 余弦積分の定義* ^[16]
• ベッセル関数との関係において。^{[18] [19] [20] [21]}
• 修正されたシュトルーベ関数の漸近展開。^[22]
• その他の特殊機能との関係では^{[23] [24]}

• オイラーのトーティエント関数の不等式。^[25]
• 除数関数の成長率。^[26]
• リーマン予想の定式化。^{[27] [28]}
• メルテンスの定理の3つ目。* ^[29]
• マイセル・メルテンス定数の計算。^[30]
• 特定の素数ギャップの下限値。^[31]
• 1からnまでのすべての数の約数の平均数の近似値。^[32]
• メルセンヌ素数の頻度に関するレンストラ・ポメランス・ワグスタッフ予想。^[33]
• ユークリッドの互除法の効率の推定。^[34]
• メビウス関数とフォン・マンゴルト関数を含む合計。

• ジップの法則のいくつかの定式化では、
• クーポン収集家の問題に対する答え。
• ガンベル分布の平均。
• ランダウ分布の近似。
• ワイブル分布とレヴィ分布の情報エントロピー、および暗黙的に1 または 2 の自由度に対するカイ 2 乗分布の情報エントロピー。
• 量子情報理論におけるシャノンエントロピーの上限^[35]
• 量子場理論におけるファインマン図の次元正規化。
• 超伝導のBCS理論における臨界温度に関するBCS方程式。*
• 進化生物学における適応遺伝学のためのフィッシャー・オールモデル。 ^[36]

数γは代数的または超越的であることが証明されていない。実際、γが無理数であるかどうかさえわかっていない。以下の方程式の多数によって明らかにされたγの普遍性と、 γがπとeに次ぐ3番目に重要な数学定数と呼ばれているという事実^{[37] [12]により、} γの無理数は数学における大きな未解決問題となっている。^{[2] [38] [39] [32]}

しかし、ある程度の進歩はあった。1959年にアンドレイ・シドロフスキーは、オイラー定数γとゴンペルツ定数 δの少なくとも1つが無理数であることを証明した。 ^{[40] [27]} タンギー・リヴォアルは、2012年に少なくとも1つが超越数であることを証明した。^[41] クルト・マーラーは、1968年に、数が超越数であることを示した。ここで、とは通常のベッセル関数である。^{[42] [3]}体の超越次数は少なくとも2であることが知られている。 ^[3]${\textstyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle Y_{0}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (e,\gamma ,\delta )}$

2010年にM. Ram MurtyとN. Saradhaは、 q ≥ 2かつ1 ≤ a < q の場合、オイラー-レーマー定数、すなわち形式の数のうち最大で1つが代数的であることを示した 。この族には、 γ (2,4) = γ /4という特別なケースが含まれる。^{[3] [43]}$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)}$$

同じアプローチを使用して、2013 年に M. Ram Murty と A. Zaytseva は、一般化オイラー定数が同じ特性を持つことを示しました 。 ^{[3] [44] [45]}ここで、一般化オイラー定数は次のように定義されます。 ここで、 ⁠ ⁠ は素数の固定リストであり、⁠ ⁠内の素数の少なくとも 1 つが⁠ ⁠の素因数である場合に該当し、それ以外の場合は該当します。特に、⁠ ⁠。 $${\displaystyle \gamma (\Omega )=\lim _{x\rightarrow \infty }\left(\sum _{n=1}^{x}{\frac {1_{\Omega }(n)}{n}}-\log x\cdot \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n=1}^{x}1_{\Omega }(n)}{x}}\right),}$$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle 1_{\オメガ }(n)=0}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1_{\オメガ }(n)=1}$${\displaystyle \gamma (\emptyset )=\gamma }$

パパニコラウは1997年に連分数解析を用いて、 γが有理数であればその分母は10 ²⁴⁴⁶⁶³より大きくなければならないことを示した。^{[46] [47]} eγ^が有理数であれば、その分母は10 ¹⁵⁰⁰⁰より大きくなければならない。^[3]

オイラー定数は代数的周期ではないと推測されているが^{[3] 、その最初の109}桁の値はそれが通常の数である可能性があることを示しているようだ^[48]。

オイラー定数の単純な連分数展開は次のように表される: ^[49]

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

明らかなパターンはありません。少なくとも16,695,000,000項を持つことが知られており、^[49] γが無理数の場合にのみ 無限個の項を持ちます。

数値的証拠は、オイラー定数γと定数eγ^の両方が、それらの単純な連分数項の幾何平均がキンチン定数に収束する数に含まれることを示唆している。同様に、がそれぞれの連分数の収束点である場合、どちらの場合も極限はレヴィ定数に収束するように見える。 ^[50]しかし、これらの極限はどちらも証明されていない。^[51]${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }q_{n}^{1/n}}$

オイラー定数の一般化された連分数も存在する。^[52]

γの近似値は3の平方根の逆数、つまり約0.57735である。 ^[53]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

その差は約 7,429 分の 1 です。

γ は二重ガンマ関数 Ψと関連しており、したがって両方の関数が 1 で評価される場合、 ガンマ関数Γの導関数でもあります。したがって、

$${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$$

これは次の限界に等しい:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$$

さらに限界の結果は以下の通りである: ^[54]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

ベータ関数（ガンマ関数で表される） に関連する極限は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$$

γ は、リーマンゼータ関数を正の整数で評価した 項を含む無限和として表現することもできます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$$ この定数はゼータ関数の非自明な零点の逆数の和として表すこともできる。 ^[55]${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \gamma =\log 4\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-2}$

ゼータ関数に関連する他のシリーズには次のものがあります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

最後の式の誤差項はnの急激に減少する関数です。その結果、この式は定数を高精度に効率的に計算するのに適しています。

オイラー定数に等しい他の興味深い極限としては、反対称極限がある: ^[56]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$$

そして、1898 年にde la Vallée-Poussinによって確立された次の公式:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$$

ここで、⌈ ⌉は上括弧です。この式は、任意の正の整数nをnより小さい各正の整数kで割ったとき、商n / k が次の整数に満たない平均分数は、 n が無限大に近づくにつれてγ (0.5 ではなく)に近づくことを示しています。

これに密接に関連しているのは、有理ゼータ級数の表現です。上記の級数の最初のいくつかの項を別々に取ると、古典的な級数の極限の推定値が得られます。

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}$$

ここで、ζ ( s , k )はフルヴィッツゼータ関数です。この式の和には調和数H _{n が}含まれます。フルヴィッツゼータ関数のいくつかの項を展開すると次のようになります。

$${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$$ ただし0 < ε < ⁠1/252 ⁶位⁠ .

γは次のように表すこともできます。ここでAはGlaisher-Kinkelin定数です。

$${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$$

γ は次のように表すこともできます。これはゼータ関数をローラン級数として表すことで証明できます。

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$$

三角数の和と対数を用いて表現する数多くの定式化が導かれている。^{[57] [58] [59] [60]}これらの最も古いものの1つは、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンに帰せられる番目の調和数に対する公式[ 61 ] [ ^{62 ]}であり、これは の累乗を考慮した級数でと関連している（エルネスト・チェザロによるより初期の、一般化の難しい証明^{[63] [64]}では、誤差項を含む級数の最初の2つの項が示されている）。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \textstyle \ln 2T_{k}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{u}-{\frac {1}{2}}\ln 2T_{u}-\sum _{k=1}^{v}{\frac {R(k)}{T_{u}^{k}}}-\Theta _{v}\,{\frac {R(v+1)}{T_{u}^{v+1}}}\end{aligned}}}$

スターリングの近似^{[57] [65]}からも同様の式が得られる。

${\displaystyle \gamma =\ln 2\pi -\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{T_{k}}}}$

逆三角数列は、ピエトロ・メンゴリが提起したバーゼル問題^{[66] [67]}の研究にも登場します。メンゴリは であることを証明しました。これは後にヤコブ・ベルヌーイがの値を推定するために使用した結果であり、を と の間に置いています。この恒等式は、ベルンハルト・リーマンがゼータ関数 の根を計算するために使用した式に現れています。^[68]ここで、 は根の和とボヤの展開と正確な単位分数の級数との差で表されます。 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2T_{k}}}=1}$${\displaystyle \zeta (2)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{2T_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}=2}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle \gamma -\ln 2=\ln 2\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}}$

γ はいくつかの定積分の値に等しい:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\log {\frac {\pi }{4}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\cosh ^{2}x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\end{aligned}}}$$ ここで、H _xは分数調和数、 はの分数部分です。 ${\displaystyle \{1/x\}}$${\displaystyle 1/x}$

積分リストの 3 番目の式は次のように証明できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$$

式の2行目の積分はデバイ関数の値+∞、つまりm ! ζ ( m + 1)を表します。

γが現れる定積分には以下のものがある: ^{[2] [13]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\\\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}\log x}{e^{x}+1}}\,dx&={\frac {1}{2}}\log ^{2}2-\gamma \end{aligned}}}$$

カタランの1875年の積分^[69]もある。

$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$$

ハジコスタスの公式の特別な場合を使ってγを二重積分^{[39] [70]}として同値級数で 表すことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$$

^{ソンドウ[70]}による興味深い比較は、二重積分と交代級数である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

ログが表示されます⁠4/π⁠ は「交代オイラー定数」と考えることができます。

2つの定数は、次の数列によっても関連付けられる^[71]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$$

ここで、N ₁ ( n )とN ₀ ( n )は、それぞれnの2進数展開における1と0の数です。

一般的に、

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$$

α > − n の任意の値に対して収束する。しかし、この展開の収束速度はαに大きく依存する。特に、γ _n (1/2) は従来の展開γ _n (0)よりもはるかに速い収束を示す。^{[72] [73]}これは、

$${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$$

その間

$${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$$

それでも、これよりも急速に収束する他の級数展開が存在します。これらのいくつかについては以下で説明します。

オイラーは、次の無限級数がγ に近づくことを示しました。 $${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$$

γの級数はニールセンが1897年に発見した級数と同等である: ^{[54] [74]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$$

1910年にヴァッカは密接に関連した系列を発見した^{[75] [76] [77] [78] [79] [54] [80]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$$

ここで、log _{2 は}2 を底とする対数であり、⌊  ⌋は床関数です。

これを一般化すると次のようになる。^[81]

$${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left\lfloor \log _{B}k\right\rfloor }{k}}\varepsilon (k)}$$どこ：$${\displaystyle \varepsilon (k)={\begin{cases}B-1,&{\text{if }}B\mid n\\-1,&{\text{if }}B\nmid n\end{cases}}}$$

1926 年にヴァッカは 2 番目のシリーズを発見しました。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

ガンマ関数の対数に対するマルムステン-クンマー展開^[13]から次の式が得られる。

$${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$$

ラマヌジャンは失われたノートの中でγに近づく数列を与えた^[82]。

$${\displaystyle \gamma =\log 2-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k={\frac {3^{n-1}+1}{2}}}^{\frac {3^{n}-1}{2}}{\frac {2n}{(3k)^{3}-3k}}}$$

オイラー定数の重要な展開はフォンタナとマスケローニによるものである。

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$$ ここでG _nはグレゴリー係数である。^{[54] [80] [83]}この級数は、展開の k = 1の特別な場合である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$$

k = 1, 2, ...の場合に収束します。

第二種コーシー数C _nの類似の級数は^{[80] [84]}である。

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$$