メルテンスの定理

解析的数論において、メルテンスの定理は、1874年にフランツ・メルテンスによって証明された素数の密度に関する3つの結果である。^[1]

以下では、 はn を超えないすべての素数を意味します。 ${\displaystyle p\leq n}$

メルテンスの第一定理は

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}-\log n}$

いかなる場合も絶対値は 2 を超えません。(A083343) ${\displaystyle n\geq 2}$

メルテンスの第二定理は

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log nM\right)=0,}$

ここでMはマイセル・メルテンス定数（A077761）である。より正確には、メルテンス^[1]は、この極限下の式が絶対値で超えないことを証明している。

${\displaystyle {\frac {4}{\log(n+1)}}+{\frac {2}{n\log n}}}$

いずれの場合も。 ${\displaystyle n\geq 2}$

メルテンスの第二定理の証明の主なステップは

${\displaystyle O(n)+n\log n=\log n!=\sum _{p^{k}\leq n}\lfloor n/p^{k}\rfloor \log p=\sum _{p^{k}\leq n}\left({\frac {n}{p^{k}}}+O(1)\right)\log p=n\sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}\ +O(n)}$

ここで最後の等式は から導かれる必要がある。 ${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}\log p=O(n)}$${\displaystyle \sum _{p\in (n,2n]}\log p\leq \log {2n \choose n}=O(n)}$

したがって、我々は次のことを証明した。

${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}=\log n+O(1)}$。

素数の累乗の和は収束するので、これは次のことを意味する。 ${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1)}$。

部分的な合計は

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+M+O(1/\log n)}$。

1983年に発表された、約数関数の和の成長率に関する論文^[2]で、ガイ・ロビンは、メルテンスの第2定理の差が

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log nM}$

は無限に頻繁に符号を変えること、そしてメルテンスの第3定理ではその差は

${\displaystyle \log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }}$

は、無限に頻繁に符号が変わります。ロビンの結果は、差 π( x ) − li( x ) は、無限に頻繁に符号が変わるというリトルウッドの有名な定理に類似しています。スキューズ数(π( x ) > li( x )となる最初の自然数xの上限) の類似物は、メルテンスの第 2 および第 3 定理の場合に知られていません。

この漸近公式に関して、メルテンスは論文の中で「ルジャンドルの 2 つの奇妙な公式」について言及している^[1] 。最初の公式はメルテンスの第二定理の原型である (そして 2 番目はメルテンスの第三定理の原型である: 論文の最初の数行を参照)。彼は、それがルジャンドルの「数論」第 3 版 (1830 年。実際には第 2 版の 1808 年にすでに言及されている) に含まれていること、またより精巧なバージョンが1851 年にチェビシェフによって証明されたことを想起している^[3] 。なお、1737 年にはすでにオイラーはこの和の漸近的挙動を知っていた。

メルテンスは外交的に、彼の証明はより正確で厳密であると述べている。実際には、以前の証明はどれも現代の基準では受け入れられない。オイラーの計算には無限大（そして無限大の双曲対数、無限大の対数の対数！）が関係している。ルジャンドルの議論は経験的である。そしてチェビシェフの証明は完全に妥当ではあるが、1896年まで証明されず、素数定理としてよく知られるようになったルジャンドル・ガウス予想を利用している。

メルテンスの証明は、証明されていない仮説（1874年）に頼るものではなく、初等的な実解析にのみ頼っている。これは、リーマンゼータ関数の複素変数の関数としての挙動の注意深い分析に頼る素数定理の最初の証明の22年前に行われた。メルテンスの証明はその点で注目に値する。実際、現代の表記法では、次のようになる 。

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)}$

一方、素数定理（最も単純な形で、誤差推定を伴わない）は、^{[4]を意味することが示される。}

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).}$

1909年、エドモンド・ランダウは、当時彼が持っていた素数定理の最良のバージョンを使って、次のことを 証明した^[5]。

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})}$

が成り立ちます。特に、誤差項は任意の固定整数kの場合よりも小さくなります。素数定理の 最も強い形式を利用した単純な部分和は、これを次のように改善します。${\displaystyle 1/(\log x)^{k}}$

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})}$

一部の人にとっては。 ${\displaystyle c>0}$

同様に、部分合計はPNT によって暗示されることを示します。 ${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+C+o(1)}$

メルテンスの第三定理は

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }\approx 0.561459483566885,}$

ここでγはオイラー・マスケロニ定数（A001620）である。

（）が因子を持たない確率の推定値は次のように与えられる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X\gg n}$${\displaystyle \leq n}$

${\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

これは、メルテンスの第三定理と密接に関係しており、漸近近似を与える。

${\displaystyle P(p\nmid X\ \forall p\leq n)={\frac {1}{e^{\gamma }\log n}}}$

• ヤグロムとヤグロム 『初等的解決を伴う数学の問題に挑戦する』第 2 巻、問題 171、173、174

• ワイスタイン、エリック・W.「メルテンス・コンスタント」。マスワールド。
• ヴァルン・ラージクマール、π(x)とエラトステネスの篩