引数最大値

数学において、最大値の引数（略称arg maxまたはargmax）と最小値の引数（略称arg minまたはargmin ）は、関数の出力値がそれぞれ最大化および最小化される入力ポイントです。^{[注 1]}引数は関数の定義域で定義されますが、出力はその共域の一部です。

任意の集合 、全順序集合、および関数 が与えられたとき、の何らかの部分集合上の は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

または が文脈から明らかな場合は、 は省略されることが多く、次のように表されます。言い換えると、は、 が関数の最大値 (存在する場合) を達成する点の集合です。は、空集合、シングルトン、または複数の要素を含むことができます。 ${\displaystyle S=X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in X\}.}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \operatorname {Argmax} }$

凸解析と変分解析の分野では、拡張された実数である特殊なケースで、若干異なる定義が使用されています。^[2]この場合、 が上でと完全に等しい場合は(つまり)、それ以外の場合はが上記のように定義されます。この場合、 は次のようにも書くことができます。 ${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}}$

ここで、 を含むこの等式は が上で同一ではない場合にのみ成立することが強調される。^[2]${\displaystyle \sup {}_{S}f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle S}$

最小の引数を表す（または）の概念も同様に定義される。例えば、 ${\displaystyle \operatorname {argmin} }$${\displaystyle \operatorname {arg\,min} }$

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}}$

は最小値をとる点です。これは の補数演算子です。${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \operatorname {arg\,max} }$

が拡張された実数である特殊なケースでは、が上でと全く同じであれば(つまり)、それ以外の場合はが上記のように定義され、さらにこの場合 ( がと全く同じではない場合)、次も満たします。 ${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.}$^[2]

例えば、が最大値に達するのは、点 の場合のみである。したがって、 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle 1-|x|,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x=0.}$

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}$

演算子は演算子とは異なります。演算子は、同じ関数が与えられた場合、関数がその値に到達するポイントではなく、関数の最大値を返します。言い換えると、 ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$${\displaystyle \max }$${\displaystyle \max }$

${\displaystyle \max _{x}f(x)}$の要素です${\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

maxは空集合（この場合最大値は未定義）または単一集合である可能性があるが、maxとは異なり複数の要素を含むことはできない。^[注2]例えば、がの場合、関数はのすべての要素で同じ値を取得するため、${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {max} }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle 4x^{2}-x^{4},}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

同様に、が の最大値である場合、 は の最大値の レベル セットです。${\displaystyle M}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}$

これを整理すると、単純な恒等式が得られる^[注3]。

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}$

最大値が単一の点で達成される場合、この点は と呼ばれ、点の集合ではなく 1 つの点として扱われます。たとえば、 ${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

（単独集合ではなく）の最大値は であり、これは に対して発生するため、[^{注 4]}ただし、最大値が多くの点で達成される場合は、を点の集合として考える必要がある。 ${\displaystyle \{5\}}$${\displaystyle x(10-x)}$${\displaystyle 25,}$${\displaystyle x=5.}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

例えば

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$

の最大値は、この区間で発生するか、または 実数直線全体で 発生するからである。${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle 1,}$${\displaystyle x=0,2\pi }$${\displaystyle 4\pi .}$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}$つまり無限集合です。

関数は一般に最大値をとる必要はないので、 は空集合となることがある。例えば、は実数直線上では有界ではないからである。別の例として、 はによって有界であるが、 は によって有界である。しかし、極値定理により、閉区間上の連続実数値関数は最大値を持ち、したがって空でない${\displaystyle \operatorname {argmax} }$${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,}$${\displaystyle x^{3}}$${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,}$${\displaystyle \arctan }$${\displaystyle \pm \pi /2.}$${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

• 関数の引数
• 最大値と最小値
• モード（統計）
• 数学的最適化
• カーネル（線形代数）
• 原画像

• R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.

• PlanetMathの arg min と arg max 。