差分代数

差分代数は、代数的な観点から差分方程式（または関数方程式）を研究する数学の一分野です。差分代数は微分代数と類似していますが、微分方程式ではなく差分方程式を扱います。独立した学問分野としては、ジョセフ・リットとその弟子であるリチャード・コーンによって創始されました。

差環は可換環である${\displaystyle R}$環の自己準同型とともに${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$多くの場合、${\displaystyle \sigma }$単射である。${\displaystyle R}$は、差体と呼ばれる体である。差体の古典的な例は、体である。${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$差分演算子を持つ有理関数${\displaystyle \sigma }$によって与えられた${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$差分代数における差分環の役割は、可換代数および代数幾何学における可換環の役割と類似している。差分環の射は、と可換な環の射である。${\displaystyle \sigma }$差分体上の差分代数${\displaystyle K}$差リング${\displaystyle R}$と共に${\displaystyle K}$-代数構造で、${\displaystyle K\to R}$は差環の射である。${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$拡張${\displaystyle \sigma \colon K\to K}$差分代数が体である場合、それを差分体拡張と呼びます。

差分多項式環${\displaystyle K\{y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$差分場において${\displaystyle K}$（差分）変数において$\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$多項式環は${\displaystyle K}$無限に多くの変数において${\displaystyle \sigma ^{i}(y_{j}),\ (i\in \mathbb {N} ,1\leq j\leq n)}$。それは差分代数になる。${\displaystyle K}$拡張することによって${\displaystyle \sigma }$から${\displaystyle K}$に${\displaystyle K\{y\}}$変数名の由来からもわかるように。

代数差分方程式のシステムにより${\displaystyle K}$1は任意の部分集合を意味する${\displaystyle F}$の${\displaystyle K\{y\}}$。 もし${\displaystyle R}$は差分代数である${\displaystyle K}$の解決策${\displaystyle F}$で${\displaystyle R}$は

${\displaystyle \mathbb {V} _{R}(F)=\{a\in R^{n}|\ f(a)=0{\text{すべての }}f\in F\}.}$

従来は、差分体拡張における解に主に関心があった。${\displaystyle K}$例えば、${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$そして${\displaystyle R}$は有理型関数の体である${\displaystyle \mathbb {C} }$差分演算子付き${\displaystyle \sigma }$によって与えられた${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$すると、ガンマ関数が${\displaystyle \Gamma }$関数方程式を満たす${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$抽象的に言い換えると${\displaystyle \Gamma \in \mathbb {V} _{R}(\sigma (y_{1})-xy_{1})}$。

直感的に言えば、差分体上の差分多様体は${\displaystyle K}$は、上の代数差分方程式系の解の集合である。${\displaystyle K}$この定義は、解をどこで探しているのかを具体的に示すことで、より正確にする必要がある。通常、解は、いわゆる普遍的な差分体拡張の族で探される。${\displaystyle K}$^{[ 1 ] [ 2 ]}あるいは、差分多様体を、差分体拡張の圏からの関手として定義することもできる。${\displaystyle K}$集合のカテゴリーへ、その形式は次のようになる。${\displaystyle R\rightsquigarrow \mathbb {V} _{R}(F)}$一部の人にとって${\displaystyle F\subseteq K\{y\}}$。

変数に関する代数差分方程式によって定義される差分多様体の間には一対一の対応関係がある。$\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$そして特定の理想は${\displaystyle K\{y\}}$すなわち、完全差イデアル${\displaystyle K\{y\}}$[ ^{3 ]}差分代数の基本定理の1つは、完全差分イデアルの上昇列^が${\displaystyle K\{y\}}$は有限である。この結果は、ヒルベルトの基底定理の差分版と見なすことができる。

差分代数は、離散力学系、組み合わせ論、数論、モデル理論など、他の多くの数学分野と関連しています。人口動態などの現実世界の問題は代数差分方程式でモデル化できますが、差分代数は純粋数学にも応用されています。たとえば、差分代数の手法を使用してマニン・マンフォード予想の証明があります。^{[ 4 ]}差分体のモデル理論が研究されています。

• 有限差分法
• 漸化式
• 関数方程式
• 微分代数

• Alexander Levin (2008) 『差分代数』Springer、ISBN 978-1-4020-6946-8
• リチャード・M・コーン（1979）『差分代数』、REクリーガー出版、ISBN 978-0-88275-651-6

• Wibmer, Michael (2013).講義ノート - 代数差分方程式(PDF) .  80ページ。
• ゾエ・チャツィダキスのホームページには、（差分場のモデル理論に関する）オンライン調査がいくつか掲載されている。