プリズム（幾何学）

$均一なn$ 角柱の集合
均一なn角柱の集合
	例: 均一な六角柱 ( n = 6 )
タイプ	半正多面体の意味で均一
顔	2 n辺の正多角形; n 個の正方形
エッジ	3位
頂点	2位
オイラー文字。	2
頂点構成	4.4.いいえ
シュレーフリ記号	{ n }×{} ; t{2, n }
コンウェイ記法	Pnの
コクセター図
対称グループ	D n h , [ n ,2], (* n 22)、次数4 n
回転グループ	D n , [ n ,2] + , ( n 22)、次数2 n
二重多面体	凸型双対一様n 角形双錐体
プロパティ	凸、正多角形の面、等角、平行移動した底辺、辺⊥底辺
ネット
	例: 一様九角柱のネット ( n = 9 )

幾何学において、プリズムは、 $n$ 辺の多角形の底面、最初の底面を平行移動させたコピー（回転せずに剛体的に移動）である 2 番目の底面、および2 つの底面の対応する辺を結合する他の $n$ 面（必ずすべて平行四辺形）で構成される多面体です。底面に平行なすべての断面は、底面の平行移動です。プリズムは底面にちなんで名付けられ、たとえば、五角形の底面を持つプリズムは五角柱と呼ばれます。プリズムは角柱体のサブクラスです。^[2]

多くの基本的な幾何学用語と同様に、プリズム（ギリシャ語 πρίσμα （プリズマ） 「鋸で切ったもの」に由来）という言葉は、ユークリッドの『原論』で初めて使用されました。ユークリッドは『原論』第11巻でこの用語を「2つの反対で等しい平行な平面で囲まれた立体図形で、残りは平行四辺形である」と定義しました。しかし、この定義は、底辺の性質に関して十分に具体的ではない（後の世代の幾何学の著者の間で混乱の原因となった）という批判を受けています。^[3]^[4]

斜め対右

斜角柱は、接合辺と接合面が底面に対して 垂直ではない角柱です。

例:平行六面体は、底面が平行四辺形である斜角柱、または 6 つの平行四辺形の面を持つ多面体です。

直角柱とは、接合辺と接合面が底面に対して垂直な^{角柱のことである。 [5]}これは、接合面がすべて直角である場合にのみ適用される。

直角 $n$ 角柱の双対は直角 $n$ 両錐体です。

正 $n$ 角形底面を持つ直方体（長方形の側面を持つ）は、シュレーフリ記号 ${}\times{n}で表されます。n$ $が$ 無限大に近づくにつれて、直方体は円柱に近づきます。^[6]

特別なケース

直方体（底面が長方形）は、直方体、または非公式には長方形の箱とも呼ばれます。直方体には、シュレーフリ記号 ${ }\times{ }\times{ } が付きます。$
直角柱（底面が正方形）は、正方形直方体、または非公式には正方形の箱とも呼ばれます。

注: 一部のテキストでは、直角柱または正方形柱という用語が、直角柱と正方形柱の両方に適用されることがあります。

種類

通常のプリズム

正角柱は、正角底を持つ角柱です。

均一プリズム

均一角柱または半正角柱は、規則的な底辺とすべての辺の長さが同じである直角柱です。

したがって、一様な角柱の側面はすべて正方形です。

したがって、一様プリズムのすべての面は正多角形です。また、このようなプリズムは等角形であるため、一様多面体です。これらは、半正多面体の 2 つの無限シリーズのうちの 1 つを形成し、もう 1 つのシリーズは反プリズムによって形成されます。

一様な $n$ 角柱のシュレーフリ記号は $t{2, n}です。$

プロパティ

音量

角柱の体積は、底面積と高さ、つまり 2 つの底面間の距離の積です(直角柱でない場合は、垂直距離を意味することに注意してください)。

したがって、ボリュームは次のようになります。

V=Bh,

ここで、 $B$ は底面積、 $h は$ 高さです。

したがって、辺の長さが $sである$ $n$ 辺正多角形を底辺とする角柱の体積は次のようになります。 $V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

表面積

直角柱の表面積は次のようになります。

2B+Ph,

ここで、 $B は$ 底面積、 $h は$ 高さ、 $P は$ 底辺の周囲長です。

したがって、辺の長さが $s$ 、高さが $hの正$ $n$ 辺多角形を底辺とする直角柱の表面積は次のようになります。

A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}+nsh.

対称

正底を持つ直 $n$ 面体柱状体の対称群は、位数 $4$ $n$ の $D$ $n$ $h$ です。ただし、立方体の場合は、位数 48 のより大きな対称群 $O$ $h を$ 持ち、そのサブグループとして $D$ $4h$ の 3 つのバージョンを持ちます。回転群は、位数 $2$ $n$ $のD$ $n$ です。ただし、立方体の場合は、位数 24 のより大きな対称群 $Oを持ち、そのサブグループとして$ $D$ $4$ の 3 つのバージョンを持ちます。

対称群 $D n h$ $は、 nが偶数の$ 場合に限り反転を含みます。

細角面体と二面体も二面体対称性を持ち、 $n$ 角形細角面体の幾何学的切断、および $n$ 角形二面体の切頂または拡大によって $n$ 角形柱を構築できます。

シュレーゲル図

類似多面体

切頂角柱

切頂角柱は、角柱をその底辺に平行でない平面で切断したときに形成される。切頂角柱の底辺は合同ではなく、側面は平行四辺形ではない。^[7]

ねじれたプリズム

ねじれ角柱は、各側面が正方形の対角線で二等分された均一な $n$ 角柱から、通常は次のように上部をねじって構成される非凸多面体です。 $π$ /ん⁠ラジアン ( ⁠180/ん⁠度）同じ方向に傾斜し、側面が凹状になる。^[8]^[9]

ねじれ角柱は、新しい頂点を追加せずに四面体に分割することはできません。最も単純なねじれ角柱は三角形の底辺を持ち、シェーンハルト多面体と呼ばれます。

$n$ 角形のねじれプリズムは、 $n$ 角形の均一な反プリズムと位相的に同一ですが、対称群は半分です: $D n 、[n,2] +$ 、次数 $2 n$ 。これは、三角形のペア間の四面体が削除された非凸反プリズムとして見ることができます。

フラスタム

錐台は、台形の側面と、異なるサイズの上部と下部のポリゴンを持つ、角柱に似た構造です。

スタープリズム

星型プリズムは、上面と下面の2 つの同一の星型多角形の面によって構成される非凸多面体です。これらの面は平行で、一定の距離だけオフセットされ、長方形の面で接続されています。均一な星型プリズムは、シュレーフリ記号 ${p / q} \times { }$ で表され、 $p 個の$ 長方形と 2 つの ${p / q}面を持ちます。これは$ $p$ 角形プリズムと位相的に同一です。

交差プリズム

交差プリズムは、プリズムから構築された非凸多面体で、一方の底面の頂点がこの底面の中心を軸に反転（または 180° 回転）されています。これにより、側面の長方形の面が交差した長方形に変換されます。正多角形の底面の場合、外観は $n$ 角形の砂時計になります。すべての斜辺は、単一の体の中心を通過します。注: この体の中心には頂点はありません。交差プリズムは、位相的には $n$ 角形プリズムと同一です。

トロイダルプリズム

ドーナツ型プリズムは、交差プリズムのような非凸多面体ですが、底面と上面がなく、多面体を閉じる単純な長方形の側面を持っています。これは、偶数辺のベースポリゴンに対してのみ実行できます。これらは、オイラー特性がゼロである位相トーラスです。位相多面体ネットは、2 列の正方形タイリング(頂点構成 $4.4.4.4 )、つまり$ 交差した長方形にそれぞれ接続された $n$ 個の正方形の帯から切り取ることができます。n角形ドーナツ型プリズムには、 $2$ $n 個の$ 頂点、 $2$ $n$ 個の面 ( $n 個の$ 正方形と $n 個の交差した長方形$ $)$ 、および $4$ $n 個$ の辺があります。これは位相的に自己双対です。

角柱多面体

角柱多面体は、角柱の高次元化です。n $次元$ 角柱多面体は、2 つの ( $n - 1$ ) 次元多面体から構成され、次の次元に変換されます。

柱状 $n多面体要素は ($ $n - 1$ ) 多面体要素から 2 倍にされ、次に次の下位の要素から新しい要素が作成されます。

$F$ $i$ $i$ 面元( $i$ $= 0, ...,$ $n$ $) を持つn$ 多面体を取ります。その ( $n$ $+ 1 ) 多面体プリズムには$ $2 つの$ $F$ $i$ $+$ $F$ $i$ $-1$ $i$ 面元があります。 ( $F$ $-1$ $= 0$ 、 $F$ $n$ $= 1$ の場合。)

寸法別:

$n 個$ の頂点と $n 個$ の辺を持つ多角形を考えます。その角柱には $2$ $n 個の$ 頂点、 $3$ $n 個$ の辺、 $2 +$ $n 個$ の面があります。
$V$ 頂点、 $E$ 辺、 $F$ 面を持つ多面体を考えます。その角柱には $2 つの$ $V$ 頂点、 $2 つの$ $E$ $+$ $V$ 辺、 $2 つの$ $F$ $+$ $E$ 面、および $2 +$ $F$ セルがあります。
$V$ 頂点、 $E$ 辺、 $F$ 面、 $C$ セルを持つポリクロロンを考えます。そのプリズムには、2つの $V$ $頂点$ 、 $2 つの$ $E$ $+$ $V$ 辺、 2 $つの$ $F$ $+$ $E$ 面、 2 $つの$ $C$ $+$ $F$ セル、 $2 +$ $C$ ハイパーセルがあります。

一様柱状多面体

シュレーフリ記号 ${$ $p$ $,$ $q$ $,...,$ $t$ $}$ で表される正則 $n$ 多面体は、2 つのシュレーフリ記号 ${$ $p$ $,$ $q$ $,...,$ $t$ }×{ }の直積で表される均一な柱状 ( $n$ $+ 1$ ) 多面体を形成できます $。$

寸法別:

0 多面体プリズムは、空のSchläfli 記号{ }で表される線分です $。$
1 次元多面体プリズムは、2 つの平行移動した線分から作られた長方形です。これは、シュレーフリ記号 ${ }\times{ } の積として表されます。$ 正方形の場合は、対称性を減らすことができます: ${ }\times{ } = {4}。$
例：、正方形、 ${ }\times{ }、$ 2 つの平行線分、2 つの線分辺で接続されています。
多角柱は、長方形で接続された 2 つの平行移動した多角形から作成された 3 次元の柱です。正多角形 ${p}$ は、積 ${$ $p$ $} \times { } で表される均一なn$ 角柱を構築できます $。$ $p$ $= 4$ の場合、正方形の辺が対称で、立方体になります: ${4} \times { } = {4,3}。$
例：五角柱、{5} $\times{}、$ 5 つの長方形の辺で接続された2つの平行五角形。
多面体プリズムは、 3 次元プリズムセルで接続された 2 つの平行移動した多面体から作成された 4 次元プリズムです。正多面体 ${p 、 q}$ は、積 ${p 、 q} \times { } で表される均一な多面体プリズムを構築できます。$ 多面体と側面が立方体の場合、四角形になります: ${4,3} \times { } = {4,3,3}。$
例：、正十二面体柱、 ${5,3}\times{}、$ 12 個の五角柱の側面で接続された2 つの平行な正十二面体。
...

高次の角柱多面体は、 2 つ以上の多面体の直積としても存在します。積多面体の次元は、その要素の次元の合計です。これらの最初の例は 4 次元空間に存在し、4 次元の 2 つの多角形の積としてデュオプリズムと呼ばれます。

$正多角柱は、 {p}\times{q}$ として表され、 $pq$ 頂点、 $2pq 辺$ 、 $pq$ 正方形面、 $pq$ $多$ 角形面、 $qp$ $多$ 角形面を持ち、 $pq$ $多$ 角形プリズムと $qp$ $多$ 角形プリズムで囲まれます。

たとえば、4-4 デュオプリズム{4} $\times{4} は、$ 立方体プリズム ${4,3}\times{ }$ と同様に、四次元立方体の対称性の低い形式です。 ${4}\times{4}\times{ }$ (4-4 デュオプリズムプリズム)、 ${4,3}\times{4}$ (立方体 4 デュオプリズム)、および ${4,3,3}\times{ } (四次元立方体プリズム) は、$ 5 次元立方体の対称性の低い形式です。

参照

参考文献

^ Johnson, N. W (2018). 「第11章有限対称群」. 幾何学と変換. ISBN 978-1-107-10340-5。11.3 ピラミッド、プリズム、反プリズム、図 11.3b を参照してください。
^ グリュンバウム、ブランコ (1997)。「等角プリズマトイド」。離散幾何学および計算幾何学。18：13-52。土井: 10.1007/PL00009307。
^ マルトン、トーマス (1774)。『幾何学への王道: あるいは、簡単で親しみやすい数学入門』。著者、販売。p. 360。
^ エリオット、ジェームズ (1845)。『実用幾何学と計測に関する完全な論文の鍵：規則の完全な説明を含む』ロングマン、ブラウン、グリーン、ロングマンズ。p. 3。
^ カーン、ウィリアム F.; ブランド、ジェームズ R. (1938)。証明付き立体測量。p. 28。
^ Geretschlager, Robert (2020). 競技会を通じて若い学生を数学に引き込む: 世界の視点と実践。第1巻。ワールドサイエンティフィック。p. 39。ISBN 978-981-120-582-8。
^ カーン＆ブランド（1938年）、81ページ。
^ ゴリーニ、キャサリン A. (2003)。ファイル上の事実: 幾何学ハンドブック。p. 172。ISBN 0-8160-4875-4。
^ 「ねじれたプリズムの写真」。

アンソニー・ピュー（1976年）。『多面体：視覚的アプローチ』カリフォルニア州：カリフォルニア大学出版局バークレー校。ISBN 0-520-03056-7。第2章: アルキメデスの多面体、プリズマとアンチプリズム

外部リンク

Weisstein、Eric W.「Prism」。MathWorld。
プリズムと反プリズムの紙製モデルプリズムと反プリズムのフリーネット
プリズムと反プリズムの紙製モデルステラが生成したネットを使用

[1] Johnson, N. W (2018). 「第11章有限対称群」. 幾何学と変換. ISBN 978-1-107-10340-5。11.3 ピラミッド、プリズム、反プリズム、図 11.3b を参照してください。

[prismatoid-2] グリュンバウム、ブランコ (1997)。「等角プリズマトイド」。離散幾何学および計算幾何学。18：13-52。土井: 10.1007/PL00009307。

[malton-1774-3] マルトン、トーマス (1774)。『幾何学への王道: あるいは、簡単で親しみやすい数学入門』。著者、販売。p. 360。

[elliot-1845-4] エリオット、ジェームズ (1845)。『実用幾何学と計測に関する完全な論文の鍵：規則の完全な説明を含む』ロングマン、ブラウン、グリーン、ロングマンズ。p. 3。

[mensuration-5] カーン、ウィリアム F.; ブランド、ジェームズ R. (1938)。証明付き立体測量。p. 28。

[cylinder-6] Geretschlager, Robert (2020). 競技会を通じて若い学生を数学に引き込む: 世界の視点と実践。第1巻。ワールドサイエンティフィック。p. 39。ISBN 978-981-120-582-8。

[FOOTNOTEKernBland193881-7] カーン＆ブランド（1938年）、81ページ。

[gorini-2003-8] ゴリーニ、キャサリン A. (2003)。ファイル上の事実: 幾何学ハンドブック。p. 172。ISBN 0-8160-4875-4。

[9] 「ねじれたプリズムの写真」。