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ユークリッド平面幾何学では、長方形は直角凸多角形、または4つの直角を持つ四角形です。また、等角四角形（等角とはすべての角が等しい（360°/4 = 90°）ことを意味する）または直角を含む平行四辺形として定義することもできます。4辺の長さが等しい長方形は正方形です。「長方形」という用語は、正方形でない長方形を指すために使用されます。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]頂点がABCDである長方形は、 ABCDと表記されます。
「長方形」という言葉は、ラテン語のrectangulusに由来し、これはrectus（形容詞として、正しい、適切な）とangulus（角度）の組み合わせです。
交差長方形は、長方形の向かい合う 2 辺と 2 つの対角線で構成される交差 (自己交差) 四角形です[ 4 ] (したがって、平行な辺は 2 つだけです)。これは反平行四辺形の特殊なケースであり、その角度は直角ではなく、すべてが等しいわけでもありませんが、向かい合う角度は等しくなります。球面、楕円、双曲などの他の幾何学では、向かい合う辺の長さが等しく、直角ではない等しい角度を持ついわゆる長方形があります。
長方形は、平面を長方形で敷き詰める問題や、長方形を多角形で敷き詰める問題など、多くのタイル張り問題に関わっています。
長方形は、平行四辺形の特殊な場合であり、隣接する辺のペアが互いに垂直である。
平行四辺形は、台形（北米では台形と呼ばれる）の特殊な場合で、向かい合う2組の辺が平行で長さが等しいものです。
台形とは、少なくとも一組の平行な対辺を持つ凸四角形のことである。
凸四角形とは
デ・ヴィリエは長方形をより一般的に、対辺の各ペアを通る対称軸を持つ四角形として定義している。 [ 9 ] この定義には直角長方形と交差長方形の両方が含まれる。それぞれ、対辺のペアに平行で等距離にある対称軸と、それらの辺の垂直二等分線であるもう1つの対称軸を持つが、交差長方形の場合、最初の軸は、それが二等分するどちらの辺に対しても対称軸ではない。
対称軸が2つあり、それぞれが対辺のペアを通る四角形は、少なくとも1つの対称軸が対辺のペアを通る四角形というより大きな分類に属します。これらの四角形には、二等辺台形と交差二等辺台形（二等辺台形と同じ頂点配置を持つ交差四角形）が含まれます。
これは等角です。つまり、すべての角の角度が等しく（それぞれ90度）、等角です。
長方形の双対多角形は、下の表に示すようにひし形です。 [ 10 ]
長方形は直線多角形であり、その辺は直角に交わる。
平面上の長方形は、例えば位置に関する3つの自由度（並進運動2つと回転運動1つ）、形状（アスペクト比）に関する1つの自由度、および全体のサイズ（面積）に関する1つの自由度からなる、5つの独立した自由度によって定義できます。
互いに内側に収まらない2つの長方形は、比較できないと言われます。
長方形の長さが幅すると：[ 11 ]
長方形の等周定理は、与えられた周長を持つすべての長方形の中で、正方形が最大の面積を持つと述べています。
対角線が互いに垂直な四角形の各辺の中点を結ぶと、長方形が形成される。
円に内接する四角形の日本の定理[ 12 ]は、円に内接する四角形の頂点によって決定される4つの三角形の内心から3つずつ取ったものが長方形を形成すると述べています。
英国国旗の定理は、長方形の同一平面上の任意の点Pに対して、頂点をA、B、C、Dとすると、次のようになると述べている。 [ 13 ]
平面上の任意の凸体Cに対して、 Cに長方形rを内接させることができ、rの相似コピーRがCに外接し、正の相似比が最大で 2 であり、[ 14 ]
辺の長さが一定の長方形が存在しますそして、 どこより小さい中心線に沿って2通りの折り方があり、重なり合う領域が最小化され、それぞれの領域で異なる形状（三角形と五角形）が得られます。辺の長さの独特な比率は [ 15 ]
交差 四角形（自己交差四角形）は、自己交差しない四角形の向かい合う2辺と2本の対角線で構成されます。同様に、交差長方形は、長方形の向かい合う2辺と2本の対角線で構成される交差四角形です。長方形と同じ頂点配置を持ちます。共通の頂点を持つ2つの同一の三角形のように見えますが、幾何学的な交点は頂点とはみなされません。
交差した四角形は、蝶ネクタイや蝶に例えられることがあり、「角八角形」と呼ばれることもあります。ねじれた三次元の長方形のワイヤーフレームは、蝶ネクタイのような形になることがあります。
交差した長方形の内部では、巻き方向が時計回りか反時計回りかによって、各三角形の多角形密度が±1となる。
交差した長方形は、右折と左折が許される場合、等角であるとみなすことができます。他の交差した四角形と同様に、その内角の合計は720° であり、内角が外側に現れて 180° を超えることができます。[ 16 ]
長方形と交差長方形は、以下の共通の性質を持つ四角形です。
球面幾何学において、球面長方形とは、4つの辺が90°より大きい等しい角度で交わる大円弧である図形のことです。対向する円弧の長さは等しくなります。ユークリッド立体幾何学における球面は、楕円幾何学の意味では非ユークリッド面です。球面幾何学は、楕円幾何学の最も単純な形式です。
楕円幾何学において、楕円長方形とは、楕円平面上の図形であり、その4辺は90°より大きい等しい角度で交わる楕円弧で構成されている。対向する弧の長さは等しい。
双曲幾何学において、双曲長方形とは、双曲平面上の図形であり、その4辺は90°未満の等しい角度で交わる双曲弧で構成されている。対向する弧の長さは等しい。
長方形は、例えばレンガ積みなどの多くの周期的なテセレーションパターンで使用されています。例えば、以下のようなタイル張りです。
正方形、長方形、または三角形でタイル張りされた長方形は、それぞれ「正方形」、「長方形」、「三角形」（または「三角形」）の長方形と呼ばれます。タイル張りされた長方形は、タイルが類似していて数が有限であり、2 つのタイルが同じサイズでない場合、完全です[ 17 ] [ 18 ]。そのような 2 つのタイルが同じサイズの場合、タイル張りは不完全です。完全（または不完全）な三角形の長方形では、三角形は直角三角形でなければなりません。既知のすべての完全な長方形、完全な正方形、および関連する形状のデータベースは、squaring.netで見つけることができます。長方形を完全にタイル張りするために必要な正方形の最小数は 9 [ 19 ] 、正方形を完全にタイル張りするために必要な最小数は21 であり、これは 1978 年にコンピュータ検索によって発見されました。[ 20 ]
長方形は、有限個の異なる正方形で敷き詰めることができる場合に限り、辺が同値である。 [ 17 ] [ 21 ]タイルが異なる二等辺直角三角形の場合も同様である。
他のタイルによる長方形のタイリングの中で最も注目を集めているのは、あらゆる回転と鏡映を許容する、合同な非長方形ポリオミノによるタイリングである。また、合同なポリアボロによるタイリングも存在する。
以下のUnicodeコードポイントは長方形を表します。
U+25AC ▬ 黒色の長方形 U+25AD ▭ 白い長方形 U+25AE ▮ 黒色の縦長の長方形 U+25AF ▯ 白色の縦長の長方形
