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5次元幾何学において、5キューブ（またはペンタラクト）は、32個の頂点、80個の辺、80個の正方形の面、40個の立方体セル、および10個のテセラクト4面を持つ5次元超立方体です。
これは、各立方体の稜線の周りに 3 つのテセラクト {4,3,3} として構築されたSchläfli シンボル{4,3,3,3} または {4,3 3 }で表されます。
これは無限ハイパーキューブ族の一部です。ペンタラクトの双対は、無限オルソプレックス族の5-オルソプレックスです。
交代操作を適用して、5立方体の交互の頂点を削除すると、5-デミキューブと呼ばれる別の均一な5多面体が生成されます。これは、デミハイパーキューブと呼ばれる無限の族の一部でもあります。
ペンタラクトは、4次元球面上の3次テセラティックハニカムと見なすことができる。これは、ユークリッド4次元空間（4次）テセラティックハニカムおよびパラコンパクト双曲ハニカム5次テセラティックハニカムと関連している。
この構成行列は5キューブを表します。行と列は、頂点、辺、面、セル、および4面に対応します。対角線上の数値は、5キューブ全体に各要素がいくつ存在するかを示します。非対角線上の数値は、列の要素が行の要素内またはその位置に存在する数を示します。[ 1 ] [ 2 ]
原点を中心とし、辺の長さが2である5次元立方体の頂点のデカルト座標は次のとおりである。
この 5 キューブの内部は、すべてのiに対して−1 < x i < 1を満たすすべての点 ( x 0、x 1、x 2、x 3、x 4 ) で構成されています。
B kコクセター群におけるnキューブコクセター平面射影はk キューブ グラフに射影され、射影グラフでは 2 つの頂点のべき乗が重なり合います。
5 キューブは、菱形二十面体の外被で 3 次元に投影できます。外部頂点は 22 個、内部頂点は 10 個あります。内部頂点 10 個は、五角反角柱の凸包を持ちます。80 本の辺は、40 本の外部辺と 40 本の内辺に投影されます。40 個のキューブは、菱形二十面体を分割するために使用できる黄金菱面に投影されます。投影ベクトルは、u = {1, φ, 0, -1, φ}、v = {φ, 0, 1, φ, 0}、w = {0, 1, φ, 0, -1} であり、φ は黄金比です。。
立方体を二次元空間に投影するのと同様に、ペンタラクトを三次元空間に投影することも可能である。
5キューブはコクセター群対称性B5を持ち、抽象構造を持つ。、次数3840、25個の反射超平面を含む。5キューブのシュレーフリ記号{4,3,3,3}は、コクセター記法の対称性[4,3,3,3]と一致する。
すべての超立方体には、プリズムとして構成されるより低い対称性を持つ形態があります。5立方体には、最も低い5直交面である{ } 5から、直交する辺の長さが等しくなるように制約された上方に向かって、7つのプリズム形態があります。プリズムの頂点の数は、要素の頂点の積に等しくなります。プリズムの辺の数は、要素の辺の数と他のすべての要素の頂点の数の積に分割できます。
5キューブは、ハイパーキューブシリーズの5番目です。
正多面体{4,5| 4} は、32 個の頂点、80 個の辺、40 個の正方形の面を持つ 5 キューブ内で実現でき、5 キューブの残りの 40 個の正方形の面は正方形の穴になります。
この多面体は、正5立方体または5直交多面体から生成される31個の均一な5多面体の1つです。
