立方体の表面

数学 において、立方曲面とは、3次元空間において次数3の多項式方程式1つで定義される曲面のことである。立方曲面は代数幾何学における基本的な例である。理論はアフィン空間ではなく射影空間で扱うことで簡略化されるため、立方曲面は一般に射影3次元空間で考察される。${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$また、実数ではなく複素数上の曲面に焦点を当てることで、理論はより統一的になります。複素曲面は実次元が4であることに注意してください。簡単な例として、フェルマー三次曲面があります。

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0}$

で${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$立方体曲面の多くの性質は、デル・ペッツォ曲面にもより一般的に当てはまります。

代数的に閉じた体上の滑らかな三次曲面Xの中心的な特徴は、 1866 年にアルフレッド・クレブシュによって示されたように、それらがすべて有理関数であるということです。 ^{[ 1 ]}つまり、射影平面と有理関数によって定義される 1 対 1 の対応関係が存在します。${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$より低次元の部分集合を除いたXと、より低次元の部分集合を除いたX。より一般的には、代数的に閉じた体上のすべての既約な3次曲面（特異である可能性あり）は、3次曲線上の射影錐でない限り有理曲面である。 ^{[ 2 ]}この点において、3次曲面は、少なくとも4次の滑らかな曲面よりもはるかに単純である。${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$これらは決して有理数ではない。特性ゼロでは、次数が少なくとも4の滑らかな曲面は${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$統治されていないわけではない。^{[ 3 ]}

さらに、クレブシュは、${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$代数的に閉じた体上の は、のブローアップと同型である。${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$6つの点で。^{[ 4 ]}その結果、複素数上のすべての滑らかな3次曲面は連結和と微分同相である。${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})}$ここでマイナス記号は方向の変化を表します。逆に、${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$6点の曲面が立方体曲面と同型となるのは、点が一般の位置にある場合、つまり3点が一直線上になく、かつ6点すべてが円錐曲線上にない場合に限られます。複素多様体（または代数多様体）として、曲面は6点の配置に依存します。

立方体曲面の合理性の証明のほとんどは、曲面上の直線を見つけることから始まります。（射影幾何学の文脈では、${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$は同型である${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$）より正確には、アーサー・ケイリーとジョージ・サーモンは1849年に、代数的に閉じた体上のすべての滑らかな三次曲面には正確に27本の直線が含まれることを示した。^{[ 5 ]}これは三次曲面の特徴的な性質である。滑らかな二次曲面（次数2）は連続した直線の族で覆われているが、次数が4以上のほとんどの曲面は${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$線は含まれていません。27本の線を見つけるためのもう1つの便利なテクニックは、シューベルト計算です。これは、線上のグラスマン多様体の交差理論を使用して線の数を計算します。${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$。

滑らかな複素三次曲面の係数を変化させると、27本の直線は連続的に移動する。その結果、滑らかな三次曲面の族における閉ループが、27本の直線の順列を決定する。このようにして生じる27本の直線の順列の群は、三次曲面の族のモノドロミー群と呼ばれる。19世紀の注目すべき発見は、モノドロミー群が自明群でもなければ、対称群全体でもないということである。${\displaystyle S_{27}}$; これは位数 51840 の群であり、直線の集合に推移的に作用する。 ^{[ 4 ]}この群は徐々に (エリー・カルタン(1896 年)、アーサー・コブル(1915–17 年)、パトリック・デュ・ヴァル(1936 年) によって)ワイル群として認識されるようになった。${\displaystyle E_{6}}$6次元実ベクトル空間上の鏡映によって生成される群で、リー群に関連する。${\displaystyle E_{6}}$次元78。^{[ 4 ]}

位数 51840 の同じグループは、組み合わせ論的に、各線に頂点があり、2 つの線が交わるたびに辺がある 27 本の線のグラフの自己同型群として記述できます。 ^{[ 6 ]}このグラフは、19 世紀にSchläfli の二重 6構成などの部分グラフを使用して分析されました。相補グラフ (2 つの線が互いに離れているときに辺がある) は、 Schläfli グラフとして知られています。

立方体表面に関する多くの問題は、組み合わせ論を用いて解決できる。${\displaystyle E_{6}}$ルートシステム。例えば、27行はリー群の基本表現の重みと対応付けられる。${\displaystyle E_{6}}$立方体表面で発生する可能性のある特異点の集合は、${\displaystyle E_{6}}$ルートシステム。^{[ 7 ]}このつながりの説明の一つは、${\displaystyle E_{6}}$格子は反正準クラスの直交補集合として生じる${\displaystyle -K_{X}}$ピカールグループで${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}}$ピカール格子は、その交差形式（曲面上の曲線の交差理論に由来）によって定義されます。滑らかな複素立方曲面の場合、ピカール格子はコホモロジー群と同一視することもできます。${\displaystyle H^{2}(X,\mathbf {Z} )}$。

エッカート点とは、27本の直線のうち3本が交わる点のことである。ほとんどの立方体曲面にはエッカート点はないが、滑らかな立方体曲面の族の余次元-1の部分集合にはそのような点が存在する。 ^{[ 8 ]}

X上の立方体表面と、${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$一般位置の 6 点で、 X上の 27 本の線は、次のように見なすことができます。拡大によって生成される 6 つの例外的な曲線、6 つの点のペアを通る 15 本の線の双有理変換、${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$、そして6つの点のうち1つを除くすべてを含む6つの円錐曲線の双有理変換。^{[ 9 ]}与えられた立方体表面は、${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$複数の方法（実際には72通り）で対称性があり、拡大図として記述しても27本の線すべてに見られる対称性は明らかにならない。

立方体表面と${\displaystyle E_{6}}$ルートシステムは、すべてのデル・ペッツォ曲面とルートシステム間の関係に一般化される。これは、数学における多くのADE分類の1つである。これらの類推を追求する中で、ヴェラ・セルガノワとアレクセイ・スコロボガトフは、立方曲面とリー群の間に直接的な幾何学的関係を与えた。${\displaystyle E_{6}}$[ ^{10 ]​}

物理学では、27本の線は6次元トーラス上のM理論の27個の可能な電荷（6つの運動量、15の膜、6つの5ブレーン）と同一視でき、群E6は_自然にU双​​対群として機能します。このデル・ペッツォ曲面とトーラス上のM理論との間の対応関係は、神秘的な双対性として知られています。

滑らかな複雑な立方体表面${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$最大の自己同型群を持つのはフェルマー立方曲面であり、次のように定義される。

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.}$

その自己同型群は拡大である${\displaystyle 3^{3}:S_{4}}$648位。^{[ 11 ]}

次に最も対称性の高い滑らかな立方体曲面はクレブシュ曲面であり、これは次のように定義できます。${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$2つの方程式により

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

その自己同型群は対称群である${\displaystyle S_{5}}$次数120。複雑な線形座標変換の後、クレブシュ曲面は次の式で定義することもできます。

${\displaystyle x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}x=0}$

で${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$。

特異な複素立方曲面の中で、ケイリーの節点立方曲面は節点数が最大である唯一の曲面である。4:

${\displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx=0.}$

その自己同型群は${\displaystyle S_{4}}$24次のもの。

複素数の場合とは対照的に、実数上の滑らかな三次曲面の空間は、古典的な位相（ Rの位相に基づく）では連結ではありません。その連結成分（言い換えれば、滑らかな実数三次曲面の等位性までの分類）は、 Ludwig Schläfli（1863）、Felix Klein（1865）、およびHG Zeuthen （1875）によって決定されました。^{[ 12 ]}すなわち、実数上の滑らかな三次曲面Xには5つの等位性クラスがあります。${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$実点空間の位相によって区別される${\displaystyle X(\mathbf {R} )}$実点空間は以下のいずれかと微分同相である${\displaystyle W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}}$または、${\displaystyle W_{1}}$そして2次元球面では、${\displaystyle W_{r}}$は、実射影平面のr個のコピーの連結和を表す。${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$これら5つのケースでは、 Xに含まれる実数直線の数はそれぞれ27、15、7、3、または3です。

滑らかな実立方曲面がR上で有理であるのは、その実点の空間が連結である場合のみであり、したがって、前の 5 つのケースのうち最初の 4 つの場合である。^{[ 13 ]}

X上の実数の平均数は${\displaystyle 6{\sqrt {2}}-3}$^{[ 14 ]} Xの定義多項式がボンビエリ内積によって誘導されるガウスアンサンブルからランダムにサンプリングされる。

2 つの滑らかな立方体曲面が代数多様体として同型であるのは、それらが何らかの線形自己同型によって同値である場合に限る。${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$幾何学的不変量理論（GIT）は、滑らかな立方曲面のモジュライ空間を与え、各同型類ごとに1点ずつ存在する。このモジュライ空間の次元は4である。より正確には、重み付き射影空間の開部分集合である。${\displaystyle \mathbb {P} (1,2,3,4,5)}$サルモンとクレブシュ（1860）による。特に、これは有理4次元多様体である。^{[ 15 ]}このモジュライ空間はコンパクト化することができ、${\displaystyle \mathbb {P} (1,2,3,4,5)}$それ自体は、4 変数のすべての多安定立方体形式の GIT 商を使用します。追加の点は、ノード ( Du Val型の特異点) を持つ立方体表面を表します。${\displaystyle A_{1}}$）または3つのユニークな立方体表面${\displaystyle A_{2}}$特異点。^{[ 16 ]}特に、このコンパクト化は立方体曲面のKモジュライ空間と同型である。^{[ 17 ]}

モジュライのさらなるコンパクト化が検討された。曲面 $S$ にマーキングを与えることで、その (-1) 曲線にラベルが付けられ、和集合を取ることができる。${\displaystyle B}$すべての（-1）曲線について、ペアが${\displaystyle (S,B)}$KSBA安定である。Hacking、Keel、Tevelevは、立方体曲面やその他のデルペッツォ曲面についてこのコンパクト化を研究した。^{[ 18 ]}

別のアプローチでは、ペアを考慮する${\displaystyle (S,D)}$どこ${\displaystyle S}$は立方体の表面であり、${\displaystyle D}$は反標準因子である。GIT により、これらのペアの 11 個の非同型コンパクト化を提供できる。^{[ 19 ]}これらのコンパクト化は、曲面の場合と同様に、これらの対数ペアの K モジュライと同型である。^{[ 20 ] [ 21 ]}

代数的に閉じた体上の立方体X上の線は、Xの埋め込みを参照することなく、本質的に記述することができる。${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$: これらはまさにX上の(−1) 曲線であり、つまり、${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$自己交差が −1 であるもの。また、 Xのピカール格子(または同等に因子類群)の直線のクラスは、まさに以下の条件を満たすPic( X ) の要素uである。${\displaystyle u^{2}=-1}$そして${\displaystyle -K_{X}\cdot u=1}$（これは、超平面線束の制限がO(1)であることを利用する）${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$Xは反標準線束である${\displaystyle -K_{X}}$（随伴式による。）

任意の射影多様体Xに対して、曲線の円錐とは、 X内のすべての曲線によって張られる凸円錐を意味する（実ベクトル空間において）。${\displaystyle N_{1}(X)}$数値的等価性を法とする1サイクル、またはホモロジー群において${\displaystyle H_{2}(X,\mathbf {R} )}$基底体が複素数である場合）。立方体の場合、曲線の円錐は 27 本の線で張られます。^{[ 22 ]}特に、それは有理多面体円錐です。${\displaystyle N_{1}(X)\cong \mathbf {R} ^{7}}$大きな対称群を持つワイル群は${\displaystyle E_{6}}$デル・ペッツォ曲面であれば、どの曲面についても同様の曲線円錐の説明が可能である。

代数的に閉じていない体k上の滑らかな三次曲面X は、k上で有理数である必要はない。極端な例として、有理数Q (またはp 進数)上に滑らかな三次曲面が存在する。${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$）有理点を持たない場合、X は確かに有理ではありません。^{[ 23 ]}ベニアミノ・セグレとヤーノシュ・コラーによると、 X ( k ) が空でない場合、 Xは少なくともk上で単有理です。^{[ 24 ]} k が無限大の場合、単有理性とは、 k有理点の集合がXにおいてザリスキ稠密であることを意味します。

kの絶対ガロア群は、代数閉包上でXの 27 行を置換する。${\displaystyle {\overline {k}}}$kの(ワイル群のいくつかのサブグループを通して${\displaystyle E_{6}}$この作用の軌道が互いに素な直線から構成されている場合、X は、閉点におけるk上の「より単純な」デル・ペッツォ曲面のブローアップである。そうでない場合、Xのピカール数は 1 である。（ Xのピカール群は、幾何学的ピカール群の部分群である。）${\displaystyle \operatorname {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}}$）後者の場合、SegreはXが有理数にならないことを示した。さらに強く、Yuri Maninは双有理数の剛性に関する命題を証明した。完全体k上のピカール数1の2つの滑らかな3次曲面は、同型である場合に限り双有理数となる。 ^{[ 25 ]}例えば、これらの結果から、有理数ではないが単有理数であるQ上の3次曲面が多数得られる。

27本の線を含む滑らかな立方体表面とは対照的に、特異な立方体表面はより少ない線を含みます。^{[ 26 ]}さらに、それらは通常の形で発生する特異点のタイプによって分類できます。これらの特異点は、ディンキン図を使用して分類されます。

• Algebraic surface
• Enriques–Kodaira classification
• Fano variety
• Schubert calculus

• Bruce, J. W.; Wall, C. T. C. (1979), "On the classification of cubic surfaces", Journal of the London Mathematical Society, 19 (2): 245–256, doi:10.1112/jlms/s2-19.2.245, ISSN 0024-6107, MR 0533323
• Cayley, Arthur (1849), "On the triple tangent planes of surfaces of the third order", Cambridge and Dublin Math. J., 4: 118–138
• Cayley, Arthur (1869), "A memoir on cubic surfaces", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 159, The Royal Society: 231–326, doi:10.1098/rstl.1869.0010, ISSN 0080-4614, JSTOR 108997
• Degtyarev, A. I.; Kharlamov, V. M. (2000), "Topological properties of real algebraic varieties: Rokhlin's way.", Russian Mathematical Surveys, 55 (4): 735–814, arXiv:math/0004134, doi:10.1070/RM2000v055n04ABEH000315, MR 1786731, S2CID 250775854
• Dolgachev, Igor (2012), Classical algebraic geometry: a modern view, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139084437, ISBN 9781139084437, MR 2964027
• Gallardo, Patricio; Martinez-Garcia, Jesus (2019). "Moduli of cubic surfaces and their anticanonical divisors". Rev. Mat. Complut. 32: 853–873. arXiv:1607.03697. doi:10.1007/s13163-019-00298-y. Retrieved 29 September 2025.
• Gallardo, Patricio; Martinez-Garcia, Jesus; Spotti, Cristiano (2020). "Applications of the moduli continuity method to log K-stable pairs". J. London Math. Soc. 103: 729–759. arXiv:1811.00088. doi:10.1112/jlms.12390. Retrieved 29 September 2025.
• Hacking, Paul; Keel, Sean; Tevelev, Jenia (2009). "Stable pair, tropical, and log canonical compactifications of moduli spaces of del Pezzo surfaces". Invent. Math. 178 (1): 173–227. arXiv:math/0702505. doi:10.1007/s00222-009-0199-1. Retrieved 29 September 2025.
• Robin Hartshorne (1997) [1977]. Algebraic geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.
• Henderson, Archibald (2015) [1911], The twenty-seven lines upon the cubic surface, Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-1107493513, JFM 42.0661.01
• Holzer, Stephan; Labs, Oliver (2006), "Illustrating the classification of real cubic surfaces"(PDF), Algebraic geometry and geometric modeling, Springer, pp. 119–134, MR 2279847
• Iskovskikh, V.A. (2001) [1994], "Cubic hypersurface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Kollár, János; Smith, Karen E.; Corti, Alessio (2004), Rational and nearly rational varieties, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511734991, ISBN 978-0-521-83207-6, MR 2062787, S2CID 117569533
• Manin, Yuri Ivanovich (1986), Cubic forms, North-Holland Mathematical Library, vol. 4 (2nd ed.), Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-87823-6, MR 0833513
• Martinez-Garcia, Jesus; Papazachariou, Theodoros Stylianos; Zhao, Junyan (2024). "K-moduli of log del Pezzo pairs and variations of GIT". arXiv:2406.20008 [math.AG].
• Mukai, Shigeru (2003). An introduction to invariants and moduli. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xx+503 pp. ISBN 0-521-80906-1. Retrieved 29 September 2025.
• Odaka, Yuji; Spotti, Cristiano; Sun, Song (2016). "Compact moduli spaces of Del Pezzo surfaces and Kähler–Einstein metrics". J. Differential Geom. 102 (1): 127–172. doi:10.4310/jdg/1452002879. Retrieved 29 September 2025.
• Reid, Miles (1988). Undergraduate algebraic geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35662-6. MR 0982494.
• Schläfli, Ludwig (1863), "On the distribution of surfaces of the third order into species, in reference to the absence or presence of singular points, and the reality of their lines", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 153, The Royal Society: 193–241, doi:10.1098/rstl.1863.0010, ISSN 0080-4614, JSTOR 108795
• Segre, Beniamino (1942), The non-singular cubic surfaces, Oxford University Press, MR 0008171
• Serganova, Vera; Skorobogatov, Alexei (2007), "Del Pezzo surfaces and representation theory", Algebra and Number Theory, 1 (4): 393–419, arXiv:math/0611737, doi:10.2140/ant.2007.1.393, MR 2368955
• Silhol, Robert (1989), Real algebraic surfaces, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1392, Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0088815, ISBN 3-540-51563-1, MR 1015720

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cubic surface", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews
• Lines on a Cubic Surface by Ryan Hoban (The Experimental Geometry Lab at the University of Maryland), based on work by William Goldman, The Wolfram Demonstrations Project.
• The Cubic Surfaces DVD (54 animations of cubic surfaces, downloadable separately or as a DVD)