クレブシュ面

数学において、クレブシュ対角立方曲面、またはクラインの正二十面体立方曲面は、クレブシュ（1871年）とクライン（1873年）によって研究された非特異立方曲面であり、その27本の例外的な直線はすべて実数上で定義できる。クラインの正二十面体曲面という用語は、この曲面、または10個のエッカート点でのその拡大のいずれかを指すことがある。

クレブシュ曲面は、方程式を満たすP ⁴の点 ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ : x ₄ )の集合です。

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,}$

${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

x ₀を消去すると、表面とも同型であることがわかります。

${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})^{3}}$

P ³では、 ℝ ³では、 ^{[ 1 ]}で表すことができます。

クレブシュ曲面の対称群は、位数120の対称群S5であり^、座標の_置換（P4）によって作用する。同型を除いて、クレブシュ曲面はこの自己同型群を持つ唯一の3次曲面である。

27の優れた行は以下のとおりです。

• ( a : − a : b : − b : 0 )の形の点の列の15 個の画像 ( S ₅の下) 。    
• ^{点 (1:ζ: ζ 2} : ζ ³ : ζ ⁴ )を通る直線の 12 個の像とその複素共役。ここで ζ は原始的な 5乗根である。

この曲面には、3本の直線が交わる10個のエッカート点があり、それらは点(1: − 1: 0: 0: 0)とその置換による共役点によって与えられます。ヒルツェブルフ(1976)は、クレブシュ曲面を10個のエッカート点で拡大することによって得られる曲面が、体Q ( √5 )のヒルベルトモジュラー群のレベル2主合同部分群のヒルベルトモジュラー曲面であることを示しました。ヒルベルトモジュラー群をそのレベル2合同部分群で割った商群は、5点上の位数60の交代群と同型です。

クレブシュ三次曲面は、すべての非特異三次曲面と同様に、射影平面を6点で拡大することで得られます。クライン（1873）はこれらの点を次のように説明しています。射影平面を、原点を中心とする正二十面体を含む3次元ベクトル空間の原点を通る直線の集合と同一視すると、6つの点は正二十面体の12個の頂点を通る6本の直線に対応します。エッカート点は、20個の面の中心を通る10本の直線に対応します。

• Clebsch, A. (1871)、「Ueber die Anwendung derquadratischen Substitution auf die Gleichungen 5ten Grades und die geometrische Theorie des ebenen Fünfseits」、Mathematische Annalen、4 (2): 284–345、doi : 10.1007/BF01442599
• Hirzebruch, Friedrich (1976)、「体 Q(√5) のヒルベルトモジュラー群と Clebsch および Klein の立方体対角曲面」、Russian Math. Surveys、31 (5): 96–110、doi : 10.1070/RM1976v031n05ABEH004190、ISSN 0042-1316、MR 0498397  
• ハント、ブルース（1996）「いくつかの特殊な算術商の幾何学」、数学講義ノート、第 1637巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、doi：10.1007/BFb0094399、ISBN 978-3-540-61795-2MR 1438547​ 
• Klein, Felix (1873)、「Ueber Flächen dritter Ordnung」、Mathematische Annalen、6 (4)、Springer Berlin / Heidelberg: 551–581、doi : 10.1007/BF01443196

• ワイスタイン、エリック W. 「クレブシュ対角立体」。マスワールド。