正規バンドル

数学において、非特異代数多様体の標準束${\displaystyle V}$寸法${\displaystyle n}$フィールドには線束があります${\displaystyle \,\!\オメガ ^{n}=\オメガ }$これは${\displaystyle n}$コタンジェント束の外部パワー${\displaystyle \Omega }$の上${\displaystyle V}$。

複素数体上では、正則余接束の行列式束である。${\displaystyle T^{*}V}$言い換えれば、それは正則な線束である。${\displaystyle n}$-フォーム${\displaystyle V}$これは、Serre双対性に対する双対化対象です。${\displaystyle V}$。これは可逆層とみなすこともできる。

正準クラスはカルティエ因子の因子クラスである。${\displaystyle K}$の上${\displaystyle V}$正準束を生み出す――それは線形同値性に対する同値類である${\displaystyle V}$、そしてその中の任意の約数は正準約数と呼ばれる。反正準約数は、任意の約数である。${\displaystyle K}$と${\displaystyle K}$正典。

反標準束は対応する逆束である$\displaystyle \omega ^{-1}}$反標準バンドルが${\displaystyle V}$十分である、${\displaystyle V}$ファノ種と呼ばれています。

仮に${\displaystyle X}$滑らかな品種で、${\displaystyle D}$は滑らかな除数である${\displaystyle X}$随伴式は、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle D}$これは自然な同型写像です

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).}$

正準クラスの観点から言えば、

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}$

この公式は代数幾何学において最も強力な公式の一つです。現代の双有理幾何学の重要なツールは随伴の反転であり、これによって特異点に関する結果を導き出すことができます。${\displaystyle X}$特異点から${\displaystyle D}$。

させて${\displaystyle X}$法線面である。種数${\displaystyle g}$線維化${\displaystyle f:X\to B}$の${\displaystyle X}$は適切な平坦射である${\displaystyle f}$滑らかな曲線に${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\cong {\mathcal {O}}_{B}}$そしてすべての繊維${\displaystyle f}$算術種数を持つ${\displaystyle g}$。 もし${\displaystyle X}$は滑らかな投影面であり、繊維は${\displaystyle f}$自己交差する有理曲線を含まない${\displaystyle -1}$の場合、ファイブレーションは最小ファイブレーションと呼ばれます。たとえば、${\displaystyle X}$（最小）種数0のファイブレーションを許容するならば、${\displaystyle X}$双有理的に支配されている、つまり双有理的である${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times B}$。

最小種数1のファイブレーション（楕円ファイブレーションとも呼ばれる）の場合${\displaystyle f:X\to B}$有限個の繊維を除くすべての${\displaystyle f}$は幾何学的に完全であり、すべての繊維は幾何学的に連結している（ザリスキの連結性定理による）。特に、繊維の場合${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E_{i}}$の${\displaystyle f}$我々はそれを持っている${\displaystyle F.E_{i}=K_{X}.E_{i}=0,}$どこ${\displaystyle K_{X}}$は、の標準約数である${\displaystyle X}$;だからもし${\displaystyle \operatorname {gcd} (a_{i})=1}$、${\displaystyle F}$は幾何学的に完全であり、それ以外の場合は多重繊維である。

最小種数1のファイブレーションを考える${\displaystyle f:X\to B}$。 させて${\displaystyle F_{1},\dots ,F_{r}}$幾何学的に完全ではない有限個のファイバーを記述する${\displaystyle F_{i}=m_{i}F_{i}^{'}}$どこ${\displaystyle m_{i}>1}$は、展開の係数の最大公約数です。${\displaystyle F_{i}}$整数成分に分割される。これらは多重ファイバーと呼ばれる。コホモロジーと基底変換により、次のようになる。${\displaystyle R^{1}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {T}}}$どこ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$は可逆層であり、${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ねじり束（${\displaystyle {\mathcal {T}}}$サポートされているのは${\displaystyle b\in B}$そのため${\displaystyle h^{0}(X_{b},{\mathcal {O}}_{X_{b}})>1}$)すると、

${\displaystyle \omega _{X}\cong f^{*}({\mathcal {L}}^{-1}\otimes \omega _{B})\otimes {\mathcal {O}}_{X}\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}F_{i}'\right)}$

どこ${\displaystyle 0\leq a_{i}<m_{i}}$各${\displaystyle i}$そして${\displaystyle \operatorname {deg} \left({\mathcal {L}}^{-1}\right)=\chi ({\mathcal {O}}_{X})+\operatorname {length} ({\mathcal {T}})}$^{[ 1 ]} 注目すべきは、

${\displaystyle \operatorname {length} ({\mathcal {T}})=0\iff a_{i}=m_{i}-1}$。

例えば、アルバネーゼ射によって誘導される（準）双楕円曲面の最小種数1ファイブレーションの場合、標準束公式によれば、このファイブレーションには多重ファイバーが存在しないことがわかります。同様の推論は、 K3曲面の任意の最小種数1ファイブレーションに対しても行うことができます。一方、エンリケス曲面の最小種数1ファイブレーションは常に多重ファイバーを持つため、そのような曲面は切断を持ちません。

特異な品種について${\displaystyle X}$、標準因子を定義する方法はいくつかあります。多様体が正規であれば、余次元1で滑らかになります。特に、滑らかな軌跡上で標準因子を定義できます。これにより、上で一意のワイル因子クラスが得られます。${\displaystyle X}$これは、で示されるクラスです。${\displaystyle K_{X}}$これは、${\displaystyle X.}$

あるいは、通常の品種で${\displaystyle X}$考えることができる${\displaystyle h^{-d}(\omega _{X}^{.})}$、${\displaystyle -d}$正規化された双対化複体の' 番目のコホモロジー${\displaystyle X}$この層はワイル因子類に対応し、それは因子類に等しい。${\displaystyle K_{X}}$上記で定義したとおりである。正規性仮説がない場合、以下の場合にも同じ結果が成り立つ。${\displaystyle X}$S2とゴレンシュタインは次元1に存在する。

標準クラスが有効である場合、それはVから射影空間への有理写像を決定します。この写像は標準写像と呼ばれます。標準クラスのn倍数によって決定される有理写像はn標準写像です。n標準写像は、 V を標準クラスのn倍数のグローバルセクションの次元より 1 小さい次元の射影空間に送ります。n標準写像は基点を持つ可能性があり、つまり、それらは至る所で定義されるわけではありません (つまり、多様体の射ではない可能性があります)。それらは正の次元のファイバーを持つ可能性があり、たとえゼロ次元のファイバーを持っていたとしても、局所解析的同型である必要はありません。

• Birational geometry
• Differential form