線形応答関数

線形応答関数は、電磁波を音楽に変換するラジオや、シナプス入力を応答に変換するニューロンなど、信号変換器の入出力関係を表します。情報理論、物理学、工学など、多くの分野で応用されているため、特定の線形応答関数には、感受性、インパルス応答、インピーダンスなどの別名があります（伝達関数も参照）。グリーン関数や常微分方程式の基本解の概念も、これと密接に関連しています。

システムの入力を次のように表す。${\displaystyle h(t)}$（例えば力）と、それによるシステムの応答${\displaystyle x(t)}$（例えばポジション）。一般的に、${\displaystyle x(t)}$現在価値だけでなく${\displaystyle h(t)}$過去の値にも基づいています。おおよそ${\displaystyle x(t)}$は、以前の値の加重和です。${\displaystyle h(t')}$線形応答関数によって与えられる重みを用いて${\displaystyle \chi (tt')}$: $${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (tt')h(t')+\cdots \,.}$$

右辺の明示的な項は、完全な非線形応答に対するボルテラ展開の主要項です。対象となるシステムが高度に非線形である場合、ドットで示される展開の高次項が重要になり、信号変換器を線形応答関数だけで適切に記述することはできません。

複素数値フーリエ変換${\displaystyle {\チルダ {\chi }}(\omega )}$線形応答関数は、入力が正弦波の場合のシステムの出力を表すため、非常に有用です。${\displaystyle h(t)=h_{0}\sin(\omega t)}$頻度${\displaystyle \omega }$出力は次のように表示されます。

$${\displaystyle x(t)=\left|{\tilde {\chi }}(\omega )\right|h_{0}\sin(\omega t+\arg {\tilde {\chi }}(\omega ))\,,}$$

振幅ゲイン付き${\displaystyle |{\チルダ {\chi }}(\omega )|}$位相シフト${\displaystyle \arg {\チルダ {\chi }}(\omega )}$。

外部駆動力によって入力される減衰調和振動子を考える${\displaystyle h(t)}$、

$$\displaystyle {\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).}$$

線形応答関数の複素数値フーリエ変換は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )={\frac {{\tilde {x}}(\omega )}{{\tilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.}$$

振幅ゲインは複素数の大きさによって与えられる${\displaystyle {\チルダ {\chi }}(\omega ),}$そして、位相シフトは、関数の虚部を実部で割った値のarctanによる。

この表現から、小さい場合、${\displaystyle \gamma }$フーリエ変換${\displaystyle {\チルダ {\chi }}(\omega )}$線形応答関数は、周波数で顕著な最大値（「共振」）を示す。$\displaystyle \omega \approx \omega _{0}}$調和振動子の線形応答関数は、数学的にはRLC 回路のそれと同一です。最大幅、${\displaystyle \Delta \omega ,}$通常はより小さい${\displaystyle \omega _{0},}$品質係数${\displaystyle Q:=\omega _{0}/\Delta \omega }$非常に大きくなる可能性がある。

量子統計学の文脈における線形応答理論の説明は、久保良吾の論文に見られる。^{[ 1 ]} これは特に久保の公式を定義しており、これは「力」h ( t )がシステムの基本演算子であるハミルトニアンの摂動であるという一般的な場合を考察している。${\displaystyle {\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')}$どこ${\displaystyle {\hat {B}}}$は入力として測定可能な量に対応し、出力x ( t )は別の測定可能な量の熱的期待値の摂動である。${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$久保の公式は、感受率の量子統計的計算を定義する。${\displaystyle \chi (tt')}$上述の演算子のみを含む一般式によって表される。

因果律の原理の結果として、複素数値関数${\displaystyle {\チルダ {\chi }}(\omega )}$は下半平面にのみ極を持つ。これにより、の実部と虚部を関連付けるクレイマース・クローニッヒの関係式が得られる。${\displaystyle {\チルダ {\chi }}(\omega )}$積分によって。最も単純な例は、再び減衰調和振動子である。^{[ 2 ]}

線形応答理論には、詳細平衡が存在しないが一定の駆動または攪拌が加えられる開放系における非平衡過程のバージョンがある。これらの駆動系または能動系の小さな摂動は、平衡式に違反する応答を引き起こす。可能な方法論は、経路空間アンサンブルを介して進み、そこで軌道の確率が評価される。例えば、^{[ 3 ]}を参照。結果として得られる応答式は、エントロピー部分（詳細平衡の場合と同様）と狂乱部分を持つ。後者は、（摂動による）（過剰な）狂乱と観測量との相関を含む。詳細平衡では、2つの寄与が合体し、久保式とグリーン久保式を再現する。詳細平衡から外れると、狂乱寄与は負の熱容量と移動度の可能性の原因となり、エネルギーや電流の分散などの意味での変動を測定することはなくなる。

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• Eva Pavarini、Erik Koch、Dieter Vollhardt、Alexander Lichtenstein の線形応答関数(編): DMFT at 25: Infinite Dimensions、Verlag des Forschungszentrum Jülich、2014 ISBN 978-3-89336-953-9