空間的分散

連続媒体の物理学において、空間分散とは、誘電率や導電率などの物質パラメータが波数ベクトルに依存する現象である。通常、簡略化のためにこのような依存性は存在しないと仮定されるが、空間分散はあらゆる物質において程度の差こそあれ存在する。

波数ベクトル依存性の根本的な物理的理由は、多くの場合、物質が、考慮対象となる信号（光や音など）の波長よりも小さい空間構造を持っていることにある。これらの小さな空間構造は波によって分解できないため、間接的な効果（例えば波数ベクトル依存性）のみが検出可能となる。このような場合、光は個々の原子を分解することはできないが、原子全体としては光の伝搬に影響を与える可能性がある。もう一つの一般的なメカニズムは、（例えば）光がプラズモンなどの物質の励起と結合することである。

空間分散は時間分散と比較することができ、後者は単に分散と呼ばれることが多い。時間分散はシステムにおける記憶効果を表し、光学や電子工学でよく見られる。一方、空間分散は拡散効果を表し、通常は微視的な長さスケールでのみ顕著になる。空間分散は光学に比較的小さな摂動をもたらし、旋光性などの弱い効果を引き起こす。空間分散と時間分散は同じシステムで発生する可能性がある。

空間分散は、複屈折のような異方性効果とも異なります。複屈折のような現象では、波が感じる実効的な物質パラメータは波数ベクトルの方向に依存しますが、これはテンソル成分が波数ベクトルに依存しないテンソル物質パラメータとして完全に捉えることができます。これに対し、空間分散では、テンソルパラメータ自体が波数ベクトル（その大きさだけでなく、多くの場合方向も）に依存します。

空間分散の起源は非局所的応答としてモデル化することができ、力場に対する応答は多くの場所で現れ、力がゼロの場所でも現れることがあります。これは通常、隠れた微視的自由度による効果の拡散によって生じます。^{[ 2 ]}

例として、現在の${\displaystyle J(x,t)}$電場に反応して駆動される${\displaystyle E(x,t)}$これは空間 (x) と時間 (t) で変化します。オームの法則のような単純化された法則では、これらは互いに直接比例すると言います。${\displaystyle J=\sigma E}$しかし、システムに記憶（時間的分散）や拡散（空間的分散）がある場合は、この方法は成り立たなくなります。最も一般的な線形応答は次のように表されます。

${\displaystyle J(x,t)=\int _{-\infty }^{-\infty }dx'\int _{-\infty }^{-\infty }dt'\,\sigma (x,x',t,t')E(x',t'),}$

どこ${\displaystyle \sigma (x,x',t,t')dx'\,dt'}$は非局所伝導率関数である。

システムが時間不変（時間並進対称性）かつ空間不変（空間並進対称性）である場合、以下の理由により簡略化できます。${\displaystyle \sigma (x,x',t,t')=\sigma _{\rm {sym}}(xx',tt')}$ある畳み込みカーネルに対して${\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}}$また、平面波解についても検討できます。${\displaystyle E}$そして${\displaystyle J}$例えばこんな感じです。

${\displaystyle J(x,t)=\operatorname {Re} (J_{0}e^{ikx-i\omega t})}$

${\displaystyle E(x,t)=\operatorname {Re} (E_{0}e^{ikx-i\omega t})}$

これにより、2つの平面波の複素振幅の間には、驚くほど単純な関係が導き出される。

${\displaystyle J_{0}={\チルダ {\sigma }}(k,\omega )E_{0}.}$

関数${\displaystyle {\チルダ {\sigma }}(k,\omega )}$これは、時空間応答関数のフーリエ変換によって与えられる。

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}(k,\omega )=\int _{-\infty }^{-\infty }dx''\int _{-\infty }^{-\infty }dt''\,e^{-ikx''+i\omega t''}\sigma _{\rm {sym}}(x'',t'').}$

導電率関数${\displaystyle {\チルダ {\sigma }}(k,\omega )}$空間分散は、波数ベクトルkに依存する場合に発生します。これは、空間関数が${\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}(xx',tt')}$xx'では点状 (デルタ関数) 応答ではありません。

電磁気学において、空間分散は、光学活性やドップラー広がりといったいくつかの物質効果に関与している。空間分散は、電磁メタマテリアルの理解においても重要な役割を果たしている。最も一般的には、誘電率εの空間分散が注目される。

音響学、特に固体においては、格子間隔に匹敵する波長では空間分散が顕著になる場合があり、これは通常、非常に高い周波数（ギガヘルツ以上）で発生します。

固体においては、音の横音響モードと縦音響モードの伝搬の違いは、応力とひずみを関連付ける弾性テンソルの空間分散に起因する。極性振動（光学的フォノン）の場合、縦モードと横モードの区別は、電磁場という「隠れた」非機械的自由度による復元力の空間分散として捉えることができる。

空間分散による多くの電磁波効果は、音波にも類似点が見られます。例えば、キラル材料には音響活性（横波音波の偏光面の回転）があり、これは光学活性に類似しています。^{[ 6 ]}