微小ひずみ理論

寸法が無限小の長方形材料要素の2次元変形を考える${\displaystyle dx}$による${\displaystyle dy}$（図1）変形後、菱形の形状になる。図1の幾何学的形状から、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

非常に小さな変位勾配の場合、つまり、${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$、 我々は持っています $${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

通常のひずみ${\displaystyle x}$長方形要素の方向は次のように定義されます。 $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}$$ そしてそれを知って${\displaystyle {\overline {AB}}=dx}$、 我々は持っています $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

同様に、${\displaystyle y}$-方向、そして${\displaystyle z}$-方向 、$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

工学的せん断ひずみ、つまり、元々直交していた2つの材料線間の角度の変化。この場合、線${\displaystyle {\overline {AC}}}$そして${\displaystyle {\overline {AB}}}$は次のように定義されます。 $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

図1の幾何学的形状から、 $${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}$$

小さな回転の場合、つまり、${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$は${\displaystyle \ll 1}$我々は持っています $${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }$$ そして、小さな変位勾配の場合、次のようになります。 $${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ したがって $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ 交換することで${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$そして${\displaystyle u_{x}}$そして${\displaystyle u_{y}}$次のように示すことができる。${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}$。

同様に、${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$そして${\displaystyle x}$-${\displaystyle z}$飛行機、私たちは $${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

微小ひずみテンソルのテンソルせん断ひずみ成分は、工学的ひずみの定義を用いて表現できることがわかる。${\displaystyle \gamma }$、として $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

有限ひずみ理論から、 $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

微小ひずみの場合、次のようになります。 $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

で割る${\displaystyle (dX)^{2}}$我々は持っています $${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}$$

小さな変形の場合、以下を仮定します。${\displaystyle dx\approx dX}$したがって、左辺の第2項は次のようになります。${\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}$。

次に $${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }$$ どこ${\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}$は、 の方向の単位ベクトルです。${\displaystyle d\mathbf {X} }$、左辺の式は正常ひずみである。${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}$の方向に${\displaystyle \mathbf {N} }$特定のケースでは${\displaystyle \mathbf {N} }$で${\displaystyle X_{1}}$方向、つまり、${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}$、 我々は持っています $${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.}$$

同様に、${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}$そして${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}$通常の株を見つけることができます${\displaystyle \varepsilon _{22}}$そして${\displaystyle \varepsilon _{33}}$それぞれ。したがって、微小ひずみテンソルの対角要素は、座標方向の法線ひずみである。

直交座標系を選択した場合（${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$）これらの基底ベクトルに関して、テンソルを成分で表すと次のようになります。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$ 行列形式では、 $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$$ 別の直交座標系を使用することも簡単に選択できます（${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$) の代わりに。その場合、テンソルの成分は異なり、例えば $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}$$ 2つの座標系におけるひずみの成分は、次の関係式で結ばれている。 $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}$$ ここで、繰り返し添え字に対するアインシュタインの総和規約が使用されており、${\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}}$行列形式で $${\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}$$ または $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}$$

ひずみテンソルに対する特定の操作は、ひずみの成分を表すためにどの直交座標系が使用されているかに関係なく、同じ結果を与えます。これらの操作の結果はひずみ不変量と呼ばれます。最も一般的に使用されるひずみ不変量は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}$$ 構成要素の観点から $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}$$

座標系を見つけることが可能であることが示せる（${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$ひずみテンソルの成分は $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}$$ 歪みテンソルの成分は（${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$座標系は主ひずみと方向と呼ばれます${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$これらは主ひずみの方向と呼ばれます。この座標系にはせん断ひずみ成分がないため、主ひずみは要素体積の最大および最小伸長を表します。

任意の直交座標系におけるひずみテンソルの成分が与えられた場合、連立方程式を解くことによって決定される 固有値分解を使用して主ひずみを求めることができます。$${\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}$$ この連立方程式は、ベクトルを求めることと同等である。${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$その線に沿って、ひずみテンソルはせん断成分のない純粋な伸長となる。

体積ひずみ（バルクひずみとも呼ばれる）は、膨張または圧縮によって生じる体積の相対的な変化であり、テンソルの 最初のひずみ不変量またはトレースである。$${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$実際、辺の長さがa の立方体を考えると、変形後（角度の変化によって体積は変化しない）は、寸法が の準立方体になります。${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$そしてV ₀ = a ³なので $${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$ 小さな変形を考慮すると、 $${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$ したがって、公式は次のようになります。

純粋なせん断の場合、体積の変化がないことがわかります。

微小ひずみテンソル${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$は、コーシー応力テンソルと同様に、他の2つのテンソルの和として表すことができる。

1. 平均ひずみテンソル、体積ひずみテンソル、または球面ひずみテンソル、${\displaystyle \varepsilon _{M}\delta _{ij}}$拡張または体積変化に関連するもの。
2. 歪み偏差テンソルと呼ばれる偏差成分、${\displaystyle \varepsilon '_{ij}}$歪みに関連する。

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}$$ どこ${\displaystyle \varepsilon _{M}}$平均ひずみは次式で与えられる。 $${\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}$$

偏差ひずみテンソルは、微小ひずみテンソルから平均ひずみテンソルを差し引くことによって得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon '_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}&\varepsilon '_{12}&\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&\varepsilon '_{22}&\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31}&\varepsilon '_{32}&\varepsilon '_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

させて （${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$) be the directions of the three principal strains. An octahedral plane is one whose normal makes equal angles with the three principal directions. The engineering shear strain on an octahedral plane is called the octahedral shear strain and is given by $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}$$ where ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}$ are the principal strains.

The normal strain on an octahedral plane is given by $${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}$$

A scalar quantity called the equivalent strain, or the von Mises equivalent strain, is often used to describe the state of strain in solids. Several definitions of equivalent strain can be found in the literature. A definition that is commonly used in the literature on plasticity is $${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}$$ This quantity is work conjugate to the equivalent stress defined as $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}$$

In real engineering components, stress (and strain) are 3-D tensors but in prismatic structures such as a long metal billet, the length of the structure is much greater than the other two dimensions. The strains associated with length, i.e., the normal strain ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$ and the shear strains ${\displaystyle \varepsilon _{13}}$ and ${\displaystyle \varepsilon _{23}}$ (if the length is the 3-direction) are constrained by nearby material and are small compared to the cross-sectional strains. Plane strain is then an acceptable approximation. The strain tensor for plane strain is written as: $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$ ここで、二重下線は2階テンソルを示します。このひずみ状態は平面ひずみと呼ばれます。対応する応力テンソルは次のとおりです。 $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ 非ゼロの${\displaystyle \sigma _{33}}$制約を維持するために必要${\displaystyle \epsilon _{33}=0}$この応力項は解析から一時的に除外することができ、平面内の項のみを残すことで、3次元問題をはるかに単純な2次元問題に効果的に縮小できます。

反平面ひずみは、例えばらせん転位の近傍領域など、物体内で発生する可能性のあるもう一つの特殊なひずみ状態です。反平面ひずみのひずみテンソルは次のように与えられます。 $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$$

歪対称な2階テンソルは、3つの独立したスカラー成分を持ちます。これらの3つの成分は、軸ベクトルを定義するために使用されます。${\displaystyle \mathbf {w} }$、 次のように $${\displaystyle W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}}$$ どこ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$は置換記号です。行列形式で は$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}$$ 軸方向ベクトルは微小回転ベクトルとも呼ばれる。回転ベクトルは変位勾配と次の関係式で結び付けられる。 $${\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }$$ インデックス表記では $${\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}$$ もし${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}$すると、材料は大きさの剛体回転をほぼ受ける。${\displaystyle |\mathbf {w} |}$ベクトルの周り${\displaystyle \mathbf {w} }$。

連続的で一価の変位場が与えられた場合${\displaystyle \mathbf {u} }$および対応する微小ひずみテンソル${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$（テンソル微分（連続体力学）を参照） $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$ 微分順序の変更は結果を変えないため、${\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}$。 したがって $${\displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}$$ また $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}$$ したがって $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$$

テンソルの回転に関する重要な恒等式から、連続で一価の変位場の場合、${\displaystyle \mathbf {u} }$、 $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}$$ 以来${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$我々は持っています $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}$$

円筒極座標では（${\displaystyle r,\theta ,z}$)、変位ベクトルは次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$$ 円筒座標系におけるひずみテンソルの成分は次のように与えられる。^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

球面座標では（${\displaystyle r,\theta ,\phi }$)、変位ベクトルは次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}$$ 球座標系におけるひずみテンソルの成分は^{[ 2 ]で与えられる。}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}$$