ひずみエネルギー密度関数

ひずみエネルギー密度関数または蓄積エネルギー密度関数は、材料のひずみエネルギー密度と変形勾配を関連付けるスカラー値 関数です。

${\displaystyle W={\hat {W}}({\boldsymbol {C}})={\hat {W}}({\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})={\bar {W}}({\boldsymbol {F}})={\bar {W}}({\boldsymbol {B}}^{1/2}\cdot {\boldsymbol {R}})={\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})}$

同様に、

${\displaystyle W={\hat {W}}({\boldsymbol {C}})={\hat {W}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}})={\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})}$

ここで、 は（2点）変形勾配テンソル、は右コーシー・グリーン変形テンソル、は左コーシー・グリーン変形テンソル、^{[1] [2]} 、 はの極分解から得られる回転テンソルです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

異方性材料の場合、ひずみエネルギー密度関数は、内部材料テクスチャを特徴付ける参照ベクトルまたはテンソル (複合材料内の繊維の初期方向など) に暗黙的に依存します。空間表現は、参照テクスチャ ベクトルまたはテンソルを空間構成に対流させるのに十分な情報を提供するために、さらに極回転テンソルに明示的に依存する必要があります。 ${\displaystyle {\hat {W}}({\boldsymbol {C}})}$${\displaystyle {\チルダ {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

等方性材料の場合、材料フレーム無差別原理を考慮すると、ひずみエネルギー密度関数は の不変量のみに依存するという結論に至ります(または、どちらも同じ固有値を持つため、 の不変量に​​も依存します)。言い換えると、ひずみエネルギー密度関数は、主伸縮、または左コーシー・グリーン変形テンソルまたは右コーシー・グリーン変形テンソルの不変量で一意に表現でき、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

等方性材料の場合、

${\displaystyle W={\hat {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})={\tilde {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)=U(I_{1}^{c},I_{2}^{c},I_{3}^{c})}$

と

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1}~;~~I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2}~;~~I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}}$

小さなひずみを受ける線形等方性材料の場合、ひずみエネルギー密度関数は、

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}\epsilon _{x}+\sigma _{y}\epsilon _{y}+\sigma _{z}\epsilon _{z}+2\sigma _{xy}\epsilon _{xy}+2\sigma _{yz}\epsilon _{yz}+2\sigma _{xz}\epsilon _{xz})}$^[3]

ひずみエネルギー密度関数は、材料の応力はひずみに関して を導関数にすることによって得られるという仮定のもと、超弾性材料を定義するために使用されます。等方性超弾性材料の場合、関数は弾性材料に蓄えられたエネルギー、つまり応力とひずみの関係を、3 つのひずみ(伸び) 成分のみに関連付け、変形履歴、熱放散、応力緩和などを 無視します。${\displaystyle W}$

等温弾性過程の場合、ひずみエネルギー密度関数は特定のヘルムホルツ自由エネルギー関数と関連している。^[4]${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle W=\rho _{0}\psi \;.}$

等エントロピー弾性過程の場合、ひずみエネルギー密度関数は内部エネルギー関数と関連し、 ${\displaystyle u}$

${\displaystyle W=\rho _{0}u\;.}$

超弾性構成方程式の例としては、次のものがある。^[5]

• サン・ヴナン＝キルヒホフ
• ネオ・フック派
• 一般化されたリブリン
• ムーニー・リブリン
• オグデン
• ヨー
• アルーダ・ボイスモデル
• ゲント

Wikiversityには連続体力学/熱弾性に関する学習リソースがあります

• 有限ひずみ理論
• 熱弾性におけるヘルムホルツとギブスの自由エネルギー
• 超弾性材料
• オグデン・ロックスバラモデル