変形（工学）

工学的ひずみにおける一時的または弾性的な変形の研究は、コンクリートや鋼材など、非常に小さな変形を受ける機械工学や構造工学で使用される材料に適用されます。工学的ひずみは、微小ひずみ理論（小ひずみ理論、小変形理論、小変位理論、または小変位勾配理論とも呼ばれる）によってモデル化され、ひずみと回転の両方が小さいと仮定されます。

エラストマーやポリマーなど、大きな変形を受ける一部の材料では、ひずみの工学的定義は適用できません。例えば、典型的な工学的ひずみは 1% を超えます^{[ 1 ]。}そのため、ストレッチ、対数ひずみ、グリーンひずみ、アルマンシひずみなど、より複雑なひずみの定義が必要になります。エラストマーやニッケルチタンなどの形状記憶金属は、ゴムと同様に大きな弾性変形範囲を示します。ただし、これらの材料では弾性は非線形です。

通常の金属、セラミックス、およびほとんどの結晶は、線形弾性を示し、弾性範囲は狭い。

線形弾性変形はフックの法則によって支配され、それは次のように表される。

${\displaystyle \sigma =E\バレプシロン }$

どこ

• σは加えられた応力です。
• Eはヤング率または弾性率と呼ばれる材料定数です。
• εは結果として生じるひずみです。

この関係は弾性範囲でのみ適用され、応力-ひずみ曲線の傾きを用いてヤング率（E）を求めることができることを示しています。エンジニアは引張試験においてこの計算をよく用います。この弾性領域下の面積は弾性回復力と呼ばれます。

すべての弾性材料が線形弾性変形を起こすわけではないことに注意してください。コンクリート、ねずみ鋳鉄、多くのポリマーなど、非線形な挙動を示すものもあります。これらの材料にはフックの法則は適用できません。^{[ 2 ]}

この種の変形は、加えた力を取り除いただけでは元に戻りません。しかし、塑性変形範囲にある物体は、まず弾性変形を起こしており、これは加えた力を取り除いただけで元に戻るため、物体は元の形状に部分的に戻ります。軟質熱可塑性樹脂は、銅、銀、金などの延性のある金属と同様に、かなり大きな塑性変形範囲を持っています。鋼も同様ですが、鋳鉄はそうではありません。硬質熱硬化性プラスチック、ゴム、結晶、セラミックは、塑性変形範囲が最小限です。大きな塑性変形範囲を持つ材料の例としては、元の長さの数十倍まで伸ばすことができる湿ったチューインガムが挙げられます。

引張応力下での塑性変形は、ひずみ硬化領域、くびれ領域、そして最終的には破断（破壊とも呼ばれる）によって特徴づけられます。ひずみ硬化の間、材料は原子転位の移動によって強度が増します。くびれ段階は、試験片の断面積の減少によって示されます。くびれは、極限強度に達した後に始まります。くびれの間、材料はもはや最大応力に耐えることができず、試験片内のひずみが急速に増加します。塑性変形は、材料の破断によって終了します。

通常、棒や柱などに圧縮応力が加わると、短縮が生じる。

構造部材や試験片に荷重をかけると、圧縮応力が増加し、最終的に圧縮強度に達します。材料の特性に応じて、破壊モードは、延性材料（ほとんどの金属、一部の土壌やプラスチック）の場合は降伏、脆性材料（地盤材料、鋳鉄、ガラスなど）の場合は破断となります。

柱やトラス部材のような細長い構造部材では、圧縮力Fが増加すると、圧縮強度よりも低い応力で座屈が発生し、構造破壊に至る。

材料が弾性変形範囲、そして塑性変形範囲の限界に達した時点で破壊が生じる。この時点で力が蓄積され、最終的に破壊を引き起こすのに十分な力となる。十分な力が加われば、すべての材料はいずれ破壊する。

元の断面積がA₀の棒が、両端に等しく反対向きの力 F を受け、張力がかかっている状態を考えます_。このとき、材料には、力と棒の断面積の比として定義される応力と、軸方向の伸びが生じます。

添え字 0 は、サンプルの元の寸法を表します。応力のSI 組立単位はニュートン毎平方メートル、またはパスカル(1 パスカル = 1  Pa = 1  N/m ² ) であり、ひずみは無次元です。この材料の応力-ひずみ曲線は、サンプルを伸長し、サンプルが破断するまでひずみに対する応力の変化を記録することによってプロットされます。慣例として、ひずみは横軸に、応力は縦軸に設定されます。工学的な目的では、材料の断面積は変形プロセス全体を通して変化しないと仮定することがよくあります。これは、弾性変形と塑性変形により変形中に実際の面積が減少するため、正しくありません。元の断面積とゲージ長に基づく曲線は工学的応力-ひずみ曲線と呼ばれ、瞬間的な断面積と長さに基づく曲線は真応力-ひずみ曲線と呼ばれます。特に明記しない限り、一般的には工学的応力-ひずみが使用されます。

上記の工学的応力とひずみの定義では、引張試験における材料の2つの挙動が無視されている。

• 断面面積の縮小
• 伸長の複合的な発達

真応力と真ひずみは、これらの挙動を考慮するために、工学的応力と工学的ひずみとは異なる方法で定義されます。それらは次のように与えられます。

ここで寸法は瞬間値です。サンプルの体積が保存され、変形が均一に起こると仮定すると、

${\displaystyle A_{0}L_{0}=AL}$

真の応力とひずみは、工学的応力とひずみで表すことができます。真の応力の場合、

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {t} }={\frac {F}{A}}={\frac {F}{A_{0}}}{\frac {A_{0}}{A}}={\frac {F}{A_{0}}}{\frac {L}{L_{0}}}=\sigma (1+\varepsilon )}$

株の場合、

${\displaystyle \delta \varepsilon _{\mathrm {t} }={\frac {\delta L}{L}}}$

両辺を積分し、境界条件を適用する。

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {t} }=\ln \left({\frac {L}{L_{0}}}\right)=\ln(1+\varepsilon )}$

引張試験では、真応力は工学応力よりも大きく、真ひずみは工学ひずみよりも小さくなります。そのため、真応力-ひずみ曲線を定義する点は、等価な工学応力-ひずみ曲線を定義するために、上方かつ左方にずらされます。真応力と工学応力、および工学ひずみの差は、塑性変形とともに大きくなります。低ひずみ（弾性変形など）では、両者の差は無視できるほど小さくなります。引張強度点に関しては、工学応力-ひずみ曲線における最大点ですが、真応力-ひずみ曲線における特別な点ではありません。工学応力は試料に沿って加えられる力に比例するため、ネッキング形成の基準は次のように設定できます。${\displaystyle \delta F=0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta F=\sigma _{\text{t}}\,\delta A+A\,\delta \sigma _{\text{t}}=0\\&-{\frac {\delta A}{A}}={\frac {\delta \sigma _{\mathrm {t} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}\end{aligned}}}$

この分析は、引張強度（UTS）点の性質を示唆している。加工による強度向上効果は、UTS点における断面積の収縮によって正確に相殺される。

くびれ形成後、試料は不均一な変形を受けるため、上記の式は適用できません。くびれ部における応力とひずみは次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {t} }&={\frac {F}{A_{\mathrm {neck} }}}\\\varepsilon _{\mathrm {t} }&=\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{\mathrm {neck} }}}\right)\end{aligned}}}$

真応力と真ひずみの関係を表すために、経験式が一般的に用いられる。

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {t} }=K(\varepsilon _{\mathrm {t} })^{n}}$

ここで、nは加工硬化指数、Kは強度係数です。nは材料の加工硬化挙動の尺度です。nの値が大きい材料ほど、くびれに対する抵抗が大きくなります。一般的に、室温の金属のnは0.02から0.5の範囲です。^{[ 3 ]}

議論

上記の変形過程における面積変化を無視したため、真の応力とひずみの曲線を再導出する必要があります。応力とひずみの曲線を導出する際には、材料を変形させた場合でも体積変化は0であると仮定できます。具体的には、以下の仮定が成り立ちます。

${\displaystyle A_{i}\times \varepsilon _{i}=A_{f}\times \varepsilon _{f}}$

すると、真の応力は以下のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{T}={\frac {F}{A_{f}}}&={\frac {F}{A_{i}}}\times {\frac {A_{i}}{A_{f}}}\\&=\sigma _{e}\times {\frac {l_{f}}{l_{i}}}\\[2pt]&=\sigma _{E}\times {\frac {l_{i}+\delta l}{l_{i}}}\\[2pt]&=\sigma _{E}(1+\varepsilon _{E})\end{aligned}}}$

さらに、真ひずみεT_は以下のように表すことができる。

${\displaystyle \varepsilon _{T}={\frac {dl}{l_{0}}}+{\frac {dl}{l_{1}}}+{\frac {dl}{l_{2}}}+\cdots =\sum _{i}{\frac {dl}{l_{i}}}}$

すると、その値は次のように表すことができます。

${\displaystyle \int _{l_{0}}^{l_{i}}{\frac {dl}{l}}\,dx=\ln \left({\frac {l_{i}}{l_{0}}}\right)=\ln(1+\varepsilon _{E})}$

したがって、以下の式を用いてプロットを導出できます。${\displaystyle \sigma _{T}}$そして${\displaystyle \varepsilon _{E}}$右図のとおり。

さらに、真応力-真ひずみ曲線に基づいて、ネッキングが発生し始める領域を推定することができます。ネッキングは最大荷重が加わる極限引張応力の後に発生し始めるため、この状況を以下のように表現できます。

${\displaystyle dF=0=\sigma _{T}dA_{i}+A_{i}d\sigma _{T}}$

したがって、この形式は以下のように表現できます。

${\displaystyle {\frac {d\sigma _{T}}{\sigma _{T}}}=-{\frac {dA_{i}}{A_{i}}}}$

これは、断面積の減少が応力変化に比べて著しく大きくなると、くびれが生じ始めることを示しています。そして、応力はくびれが生じる特定の領域に集中します。

さらに、真応力-真ひずみ曲線に基づいて様々な関係性を導き出すことができる。

1) 真応力と真ひずみの対数を取ることで、真応力と真ひずみの曲線は近似的な線形関係で表すことができます。その関係は以下のように表されます。

${\displaystyle \sigma _{T}=K\times (\varepsilon _{T})^{n}}$

どこ${\displaystyle K}$は応力係数であり、${\displaystyle n}$は加工硬化係数です。通常、${\displaystyle n}$室温では0.02～0.5の範囲です。${\displaystyle n}$が 1 の場合、この材料は完全弾性材料として表現できます。^{[ 4 ] [ 5 ]}

2) 実際には、応力はひずみ変化率にも大きく依存します。したがって、ひずみ変化率に基づいた経験式を導出することができます。

${\displaystyle \sigma _{T}=K'\times ({\dot {\varepsilon _{T}}})^{m}}$

どこ${\displaystyle K'}$は材料の流動応力に関連する定数である。${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{T}}}}$これは、ひずみの時間微分を表し、ひずみ速度とも呼ばれます。${\displaystyle m}$はひずみ速度感受性です。さらに、${\displaystyle m}$は、ネックングに対する抵抗に関連しています。通常、${\displaystyle m}$室温では0～0.1の範囲にあり、温度が上昇すると0.8まで上昇する。

1)と2)を組み合わせることで、以下のような究極の関係式を作成できます。

${\displaystyle \sigma _{T}=K''\times (\varepsilon _{T})^{n}({\dot {\varepsilon _{T}}})^{m}}$

どこ${\displaystyle K''}$は、ひずみ、ひずみ速度、および応力を関連付けるグローバル定数です。

3) 真応力-ひずみ曲線とその微分に基づいて、ネッキングが始まるのに必要なひずみを推定できます。これは、右図に示すように、真応力-ひずみ曲線の交点に基づいて計算できます。

この図は、異なる温度におけるネッキングひずみの依存性も示している。FCC金属の場合、応力-ひずみ曲線の微分値はいずれも温度に大きく依存する。そのため、高温では、より低いひずみ値でもネッキングが発生し始める。

これらの特性はすべて、急激な環境下における材料の挙動をさらに分析するために、真応力-真ひずみ曲線を計算することの重要性を示している。

4) いわゆる「コンシデレ構成」と呼ばれる図解法は、試料にネッキングや絞り加工が発生するかどうかの応力-ひずみ曲線の挙動を判断するのに役立ちます。${\displaystyle \lambda =L/L_{0}}$決定要因として、真応力と真ひずみは、以下のように工学的応力と工学的ひずみで表すことができます。

${\displaystyle \sigma _{T}=\sigma _{e}\times \lambda ,\qquad \varepsilon _{T}=\ln \lambda .}$

したがって、工学的応力の値は、真応力とによって作られる割線によって表すことができる。${\displaystyle \lambda }$値${\displaystyle \lambda =0}$に${\displaystyle \lambda =1}$形状を分析することで${\displaystyle \sigma _{T}-\lambda }$図と割線を用いることで、材料に絞り加工やくびれが生じているかどうかを判断できます。

図(a)では、コンシデレプロットは上向きに凹んでいるだけです。これは、降伏降下がないため、材料は降伏する前に破壊を受けることを示しています。図(b)では、接線が割線と一致する特定の点があり、${\displaystyle \lambda =\lambda _{Y}}$この値を超えると、傾斜はネッキングが発生し始める割線よりも小さくなります。図(c)には、降伏が発生し始める点がありますが、${\displaystyle \lambda =\lambda _{d}}$描画が行われます。描画後、すべての材料が伸び、最終的に破断します。${\displaystyle \lambda _{Y}}$そして${\displaystyle \lambda _{d}}$素材自体は伸びませんが、首の部分だけが伸び始めます。