有効媒体近似

材料科学において、有効媒質近似( EMA ) または有効媒質理論( EMT ) は、複合材料のマクロ特性を記述する分析的または理論的モデリングに関係する。EMA または EMT は、複合材料を直接構成する構成要素の複数の値を平均化することで開発される。構成要素レベルでは、材料の値は変化し、不均一である。多数の構成要素の値を正確に計算することはほぼ不可能である。しかし、許容可能な近似値を生成できる理論が開発されており、この近似値は、材料全体の有効誘電率や透過率などの有用なパラメータを記述する。この意味で、有効媒質近似は、特性とその成分の相対的割合に基づく媒質 (複合材料) の記述であり、計算、^{[1] [2]}および有効媒質理論^[3]から導出される。広く使用されている式が 2 つある。^[4]

有効誘電率と透磁率は、微小不均質媒体の誘電特性と磁気特性の平均です。これらは両方とも、混合粒子内の電界が均質であると考えられる場合の準静的近似で導出されました。そのため、これらの式では粒子サイズの影響を説明できません。これらの式を改良するために多くの試みが行われました。

有効媒質近似には多くの種類があり^[5]、それぞれが異なる条件で多かれ少なかれ正確である。しかし、それらはすべてマクロシステムが均質であると仮定しており、すべての平均場理論に共通する特徴として、理論における長距離相関や臨界変動が欠如しているため、 浸透閾値に近い多相媒質の特性を予測することができない。

考慮される特性は通常、媒体の導電率 または誘電率^[6]です。これらのパラメータは、ラプラス方程式の適用範囲が広いため、さまざまなモデルの式で互換性があります。このクラスに該当しない問題は、有効媒体定数の高次テンソル特性のため、主に弾性と流体力学の分野にあります。 ${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle \epsilon }$

EMA は、抵抗ネットワークに適用されるような離散モデル、または弾性や粘性に適用されるような連続体理論である可能性があります。しかし、現在の理論のほとんどは、浸透システムを説明するのが困難です。実際、多数の有効媒質近似の中で、しきい値を予測できるのは Bruggeman の対称理論だけです。後者の理論のこの特徴は、臨界現象の他の平均場理論と同じカテゴリに分類されます。^{[引用が必要]}

誘電率が で、体積分率が でそれぞれ対応する2つの物質の混合物について、DAG Bruggemanは次の形式の式を提案した。^[7]${\displaystyle \varepsilon _{m}}$${\displaystyle \varepsilon _{d}}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle c_{d}}$

ここで、電磁波減衰に関連する有効複素誘電率の虚数部を正しく得るために、平方根の前の正の符号を負の符号に変更しなければならない場合がある。この式は、「d」と「m」の役割を入れ替えることに関して対称的である。この式は、次の等式に基づいている。

ここで、積分面全体にわたる電気変位フラックスのジャンプ、積分面に垂直な微視的電場の成分、選択された金属粒子の内部で値、選択された誘電体粒子の内部で値、選択された粒子の外部で値をとる局所的な相対複素誘電率、は巨視的電場の垂直成分です。式 (4) は、マクスウェルの等式から得られます。したがって、Bruggeman のアプローチでは、選択された粒子が 1 つだけ考慮されます。他のすべての粒子との相互作用は、 によって記述される平均場近似でのみ考慮されます。式 (3) は、サイズが 10 nm 以下の金属ナノ粒子のプラズモン励起の妥当な共鳴曲線を示します。ただし、実験で観察されるプラズモン励起の共鳴周波数のサイズ依存性を記述することはできません^[8]${\displaystyle \デルタ\ファイ}$${\displaystyle E_{n}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \varepsilon _{r}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \varepsilon _{m}}$${\displaystyle \varepsilon _{d}}$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} (\varepsilon _{r}\mathbf {E} )=0}$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$

一般性を損なうことなく、任意の異なる導電率を持つ球状の多成分介在物で構成されたシステムの有効導電率（直流または交流）の研究を検討します。この場合、Bruggeman の式は次のようになります。

任意の数の成分を持つユークリッド空間次元のシステムでは、 ^{[9] は}すべての構成要素にわたって合計されます。と はそれぞれ各成分の割合と導電率であり、 は媒体の有効導電率です。 ( の合計は1 です。) ${\displaystyle n}$${\displaystyle \delta_{i}}$${\displaystyle \sigma_{i}}$${\displaystyle \sigma_{e}}$${\displaystyle \delta_{i}}$

これは、式(1)を、導電性の楕円形介在物を導電性のマトリックスに含む二相系に一般化したものである。^[10]介在物の割合はであり、系は次元である。ランダムに配向した介在物の場合、 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma_{m}}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle n}$

ここで、 は、楕円/楕円体の軸間の比によって決まる適切な二重/三重偏極係数を表します。たとえば、円の場合は ( 、)、球の場合は ( 、、) です。( の合計は1 です。) ${\displaystyle L_{j}}$${\displaystyle L_{1}=1/2}$${\displaystyle L_{2}=1/2}$${\displaystyle L_{1}=1/3}$${\displaystyle L_{2}=1/3}$${\displaystyle L_{3}=1/3}$${\displaystyle L_{j}}$

ブルッゲマンアプローチが適用された最も一般的なケースは、双異方性楕円体介在物である。^[11]

図は2成分媒体を示している。^[9]導電性のクロスハッチングされた体積を体積の球としてとらえ、有効導電性の均一な媒体に埋め込まれていると仮定する。介在物から離れた電界がである場合、基本的な考察から体積に関連する 双極子モーメントが導かれる。${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \sigma_{e}}$${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$

この分極はからの偏差を生み出します。平均偏差をゼロにするには、2種類の介在物の合計分極がゼロにならなければなりません。つまり、 ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$

ここで、およびはそれぞれ材料1と2の体積分率である。これは、任意の数のコンポーネントを持つ次元のシステムに簡単に拡張できます。すべてのケースを組み合わせると、式(1)が得られます。 ${\displaystyle \delta_{1}}$${\displaystyle \delta_{2}}$${\displaystyle n}$

式(1)は、電流の偏差がゼロになることを要求することによっても得られる。^{[12] [13]}ここでは介在物が球形であるという仮定から導かれたが、他の脱分極係数を持つ形状に対して修正することができ、式(2)につながる。

双異方性材料に適用可能なより一般的な導出も可能である。^[11]

主な近似は、すべてのドメインが同等の平均場にあるというものです。残念ながら、システムがフラクタルである導体の最大クラスターと、ブルッゲマンの単純な公式にはまったく存在しない長距離相関によって支配されるパーコレーション閾値の近くでは、そうではありません。閾値は一般に正しく予測されていません。EMAでは3次元で33%であり、パーコレーション理論から予測され、実験で観察された16%からはほど遠いです。しかし、2次元ではEMAは50%の閾値を与え、パーコレーションを比較的うまくモデル化することが証明されています。^{[14] [15] [16]}

マクスウェル・ガーネット近似^[17]では、有効媒質は のマトリックス媒質と の介在物から構成される。マクスウェル・ガーネットは物理学者ウィリアム・ガーネットの息子で、ガーネットの友人ジェームズ・クラーク・マクスウェルにちなんで名付けられた。彼は金属ナノ粒子を添加したガラスで観察される色の画像を説明するためにこの公式を提案した。彼の公式は次のような形をしている。 ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

ここで、は混合物の有効相対複素誘電率、 は体積分率の相対誘電率の小さな球状介在物を含む背景媒体の相対複素誘電率である。この式は、次の等式に基づいている。 ${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}}$${\displaystyle \varepsilon _{d}}$${\displaystyle \varepsilon _{m}}$${\displaystyle c_{m}\ll 1}$

ここで、は自由空間の絶対誘電率、は外部電場Eによって誘起される単一介在物の電気双極子モーメントである。しかし、この等式は均質媒体とに対してのみ有効である。さらに、式 (1) は単一介在物間の相互作用を無視している。これらの状況により、式 (1) は混合物の金属ナノ粒子におけるプラズモン励起に対して狭すぎ、高すぎる共鳴曲線を与える。^[18]${\displaystyle \varepsilon_{0}}$${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}=1}$

マクスウェル・ガーネット方程式は次のようになる。^[19]

ここで、は媒体、介在物、およびマトリックスの有効誘電率であり、は介在物の体積分率です。 ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{m}}$${\displaystyle \delta _{i}}$

マクスウェル・ガーネット方程式は次のように解かれる: ^{[20] [21]}

分母が消えない限り。この式を使用する簡単な MATLAB 計算機は次のとおりです。

% この単純な MATLAB 計算機は、マクスウェル ガーネット理論に従って、ベース媒体内の含有物質の混合物の
有効誘電率を計算します。 % 入力: % eps_base: ベース物質の誘電率。% eps_incl: 含有物質の誘電率。 % vol_incl: 含有物質の体積部分。% 出力: % eps_mean: 混合物の有効誘電率。







関数 eps_mean = MaxwellGarnettFormula ( eps_base, eps_incl, vol_incl )  

    小さい数値のカットオフ= 1e-6 ;  

    if vol_incl < 0 || vol_incl > 1 disp ( '警告: 包含物質の体積部分が範囲外です!' ); end factor_up = 2 * ( 1 - vol_incl ) * eps_base + ( 1 + 2 * vol_incl ) * eps_incl ; factor_down = ( 2 + vol_incl ) * eps_base + ( 1 - vol_incl ) * eps_incl ; if abs ( factor_down ) < small_number_cutoff disp ( '警告: 有効媒体が特異です!' ); eps_mean = 0 ; else eps_mean = eps_base * factor_up / factor_down ; end end       
        
    
                    
                
       
        
          
    
              
    

マクスウェル・ガーネット方程式を導出するには、まず分極粒子の配列から始めます。ローレンツ局所場概念を使用すると、クラウジウス・モソッティ関係式が得られます。 ここで、 は単位体積あたりの粒子数です。基本的な静電気学を使用すると、誘電率と半径 を持つ球状介在物の分極率が得られます。 クラウジウス・モソッティ方程式と 組み合わせると、次の式が得られます。 ここで、 は介在物の媒体の有効誘電率です。は介在物の体積分率です。 マクスウェル・ガーネットのモデルは介在物を含むマトリックス媒体の合成であるため、方程式を拡張します。 $${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$$${\displaystyle N_{j}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \alpha =\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)a^{3}}$$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)}$$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle \delta _{i}}$

一般的に言えば、マクスウェル・ガーネットEMAは、ドメインが空間的に分離されており、選択された介在物と他のすべての隣接介在物との間の静電相互作用が無視されると仮定されるため、低い体積分率で有効であると予想される。 ^[22]マクスウェル・ガーネットの式は、ブルッゲマンの式とは対照的に、介在物が共鳴すると正しくなくなる。プラズモン共鳴の場合、マクスウェル・ガーネットの式は介在物の体積分率でのみ正しい。^{[23]誘電体多層膜[24]}と金属-誘電体多層膜^[25]に対する有効媒質近似の適用性が研究されており、有効媒質近似が成り立たない場合があり、理論の適用には注意が必要であることが示されている。 ${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle \delta _{i}<10^{-5}}$

マクスウェル・ガーネット方程式は、完全に球形のナノ粒子の集合体からなるナノ複合材料の光学特性を記述する。これらのナノ粒子はすべて同じサイズでなければならない。しかし、閉じ込め効果により、光学特性はナノ粒子のサイズ分布の影響を受ける可能性がある。Battieら^[26]が示したように、マクスウェル・ガーネット方程式は、この分布を考慮して一般化することができる。

${\displaystyle {\frac {(\varepsilon _{\text{eff}}-\varepsilon _{m})}{\varepsilon _{\text{eff}}-2\varepsilon _{m}}}={\frac {3i\lambda ^{3}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{m}^{1.5}}}{\frac {f}{R_{m}^{3}}}\int P(R)a_{1}(R)dR}$

${\displaystyle R}$および は、それぞれナノ粒子の半径とサイズ分布です。およびは、それぞれナノ粒子の平均半径と体積分率です。は第 1 電気ミー係数です。 この式は、サイズ分布を無視できない場合、古典的なマクスウェル ガーネット方程式ではナノ粒子の体積分率の推定値が誤っていることを明らかにしています。 ${\displaystyle P(R)}$${\displaystyle R_{m}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{1}}$

マクスウェル・ガーネット方程式は、完全に球形のナノ粒子の集合体の光学特性のみを記述します。しかし、ナノ複合材料の光学特性はナノ粒子の形状分布に敏感です。この限界を克服するために、Y. Battie ら^{[27] は}形状分散有効媒質理論 (SDEMT) を開発しました。この有効媒質理論により、形状が分散した楕円形のナノ粒子の集合体からなるナノ複合材料の有効誘電関数を計算することができます。

${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}={\frac {(1-f)\varepsilon _{m}+f\beta \varepsilon _{i}}{1-f+f\beta }}}$

と${\displaystyle \beta ={\frac {1}{3}}\iint P(L_{1},L_{2})\sum _{i\mathop {=} 1}^{3}{\frac {\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{m}+L_{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}}dL_{1}dL_{2}}$

脱分極係数（）はナノ粒子の形状にのみ依存します。は脱分極係数の分布です。f はナノ粒子の体積分率です。 ${\displaystyle L_{1},L_{2},L_{3}}$${\displaystyle P(L_{1},L_{2})}$

^{SDEMT理論は、吸収スペクトル[28]やエリプソメトリースペクトル[29] [30]}からナノ粒子の形状分布を抽出するために使用されました。

サイズ効果を記述する新しい式が提案された。^[18]この式は $${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\left(H_{\varepsilon }+i{\sqrt {-H_{\varepsilon }^{2}-8\varepsilon _{m}\varepsilon _{d}J(k_{m}a)}}\right),}$$

$${\displaystyle J(x)=2{\frac {1-x\cot(x)}{x^{2}+x\cot(x)-1}},}$$ ここで、aはナノ粒子の半径、は波数です。ここでは、電磁場の時間依存性は係数 で与えられると仮定します。この論文では、Bruggeman のアプローチが使用されていますが、採取した粒子内の電気双極子振動モードの電磁場は、準静的近似 を適用せずに計算されています。したがって、関数 は、採取した粒子内の場の不均一性によるものです。準静的領域 ( 、つまりAg の場合)では、この関数は定数になり、式 (5) は Bruggeman の式と同じになります。 ${\displaystyle k_{m}={\sqrt {\varepsilon _{m}\mu _{m}}}\omega /c}$${\displaystyle \mathrm {exp} (-i\omega t).}$${\displaystyle J(k_{m}a)}$${\displaystyle k_{m}a\ll 1}$${\displaystyle a\leq \mathrm {10\,nm} }$${\displaystyle )}$${\displaystyle J(k_{m}a)=1}$

混合物の有効透過率の式は次のようになる^[18]

$${\displaystyle H_{\mu }=(2-3c_{m})\mu _{d}-(1-3c_{m})\mu _{m}J(k_{m}a).}$$

ここで は混合物の有効相対複素透磁率、 は体積分率 の相対透磁率の小さな球状介在物を含む背景媒体の相対複素透磁率です。この式は双極子近似で導出されました。ここでは磁気八極子モードと他のすべての奇数次の磁気振動モードは無視されています。 および のとき、この式は単純な形になります^[18]${\displaystyle \mu _{\text{eff}}}$${\displaystyle \mu _{d}}$${\displaystyle \mu _{m}}$${\displaystyle c_{m}\ll 1}$${\displaystyle \mu _{m}=\mu _{d}}$${\displaystyle k_{m}a\ll 1}$

高密度のランダム抵抗器で構成されるネットワークの場合、各要素の正確な解は非現実的または不可能である可能性があります。このような場合、ランダム抵抗器ネットワークは2次元グラフとして考えることができ、有効抵抗はグラフの尺度とネットワークの幾何学的特性によってモデル化できます。^[31] エッジの長さが電極間隔よりもはるかに短く、エッジが均一に分布していると仮定すると、電位は1つの電極から別の電極に均一に低下すると考えられます。このようなランダムネットワークのシート抵抗（ ）は、エッジ（ワイヤ）密度（ ）、抵抗率（）、幅（）、および厚さ（）で次のように表すことができます。 ${\displaystyle R_{sn}}$${\displaystyle N_{E}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle w}$${\displaystyle t}$

• 構成方程式
• 浸透閾値

• Lakhtakia, A. 編 (1996)。線形光学複合材料に関する選集 [Milestone Vol. 120] 。ワシントン州ベリンガム、米国: SPIE Press。ISBN 978-0-8194-2152-4。
• タック、チョイ（1999年）。『有効媒体理論』（第1版）。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-851892-1。
• Lakhtakia (Ed.), A. (2000).非従来型材料および構造における電磁場。ニューヨーク: Wiley- Interscience。ISBN 978-0-471-36356-9。
• Weiglhofer (編) ; Lakhtakia (編)、A. (2003)。光学および電磁気学のための複合媒体入門。ワシントン州ベリンガム、米国：SPIE Press。ISBN 978-0-8194-4947-4。
• Mackay, TG ; Lakhtakia, A. (2010).電磁異方性と双異方性: フィールドガイド(第 1 版). シンガポール: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0。