歴史 ピカール・ヴェシオ理論の歴史については、ボレル（2001年 、第VIII章） で論じられている。
ピカール＝ヴェシオ理論は、ピカールが1883年から1898年にかけて、ヴェシオが1892年から1904年にかけて発展させた（ピカール ( 1908年 、第XVII章) とヴェシオ ( 1892年 、 1910年 ) に要約されている）。彼らの理論の主な結果は、線形微分方程式が求積法で解けるのは、その微分ガロア群が連結かつ可解で ある場合に限る、と大まかに述べている。残念ながら、「求積法で解ける」という概念は彼らの論文で厳密に定義されておらず、一貫して使用されていないため、彼らが何を証明したのかを正確に判断するのは難しい。コルチン ( 1946年 、 1948年 ) は、必要な概念を厳密に定義し、この定理の厳密なバージョンを証明した。
コルチン（1952） はピカール・ヴェシオ理論を偏微分場に拡張した（いくつかの可換な導出を含む）。
コヴァチッチ（1986） は、2階同次線形方程式が求積法で解けるかどうかを判定するアルゴリズムを記述した。これはコヴァチッチのアルゴリズム として知られている。
微分場の拡張F ⊆ Kは、すべての定数が F およびK に含まれ、同次線形常微分多項式の解を隣接させることによって生成できる場合、ピカール・ヴェシオ拡張と呼ばれます。
微分体F 上のピカール・ヴェシオ環 Rは、 F 上の単純な微分環(0 とR 以外の微分イデアルを持たない) であり、 A と 1/det( A )の係数によってk 代数として生成される微分環である。ここで、 Aは F 上の可逆行列であり、B = A ′ A の 係数はF に属する。(したがって、A は微分方程式y ′ By の基本行列である。)
リウヴィル風拡張 微分場の拡張F ⊆ Kは、すべての定数が F に含まれ、K が有限個の積分、積分の指数関数、および代数関数を付加することによって生成できる場合、リウヴィル的であると呼ばれます。ここで、要素aの積分は y ′ a の任意の解として定義され、 a の積分の指数関数はy ′ ay の任意の解として定義されます。
ピカール・ヴェシオ拡張がリウヴィル的であるのは、その微分ガロア群の恒等成分が可解である場合に限る（ コルチン 1948 、p. 38 、ファン・デル・プット ＆ シンガー 2003 、定理 1.39 ）。より正確には、代数関数による拡張は有限微分ガロア群に対応し、積分による拡張は微分ガロア群の 1 次元かつ単冪な部分商に対応し、積分の指数関数による拡張は微分ガロア群の 1 次元かつ縮約的（トーラス）な部分商に対応する。
情報源 Beukers, Frits (1992)、「8. 微分ガロア理論」、Waldschmidt, Michel、Moussa, Pierre、Luck, Jean-Marc 他 編、『数論から物理学へ。1989年3月7日～16日にフランスのレ・ウーシュ物理センターで開催された数論と物理学に関する会議の講演録』 、ベルリン：Springer-Verlag 、pp. 413–439 、ISBN 3-540-53342-7 、Zbl 0813.12001 ボレル、アルマン （2001）、『リー群と代数群の歴史に関するエッセイ』 、数学史、第 21巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会 、ISBN 978-0-8218-0288-5 MR 1847105 Kolchin, ER (1946)、「同次線形常微分方程式のピカール・ヴェシオ理論」、米国科学アカデミー紀要 32 (12): 308–311 、Bibcode : 1946PNAS...32..308K、doi : 10.1073/pnas.32.12.308 、ISSN 0027-8424、JSTOR 87871、MR 0018168、PMC 1078958 、PMID 16578224 Kolchin, ER (1948)、「代数行列群と同次線形常微分方程式のピカール・ヴェシオ理論」、Annals of Mathematics 49 (1): 1–42 、doi : 10.2307/1969111、ISSN 0003-486X、JSTOR 1969111、MR 0024884 Kolchin, ER (1952)、「偏微分場のピカール・ヴェシオ理論」、アメリカ数学会紀要 3 (4): 596–603 、doi : 10.2307/2032594 、ISSN 0002-9939、JSTOR 2032594、MR 0049883 コルチン、ER（1973）、『微分代数と代数群』 、純粋応用数学、第 54巻、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス 、ISBN 978-0-12-417650-8 MR 0568864 Kovacic, Jerald J. (1986)、「2階線形同次微分方程式を解くためのアルゴリズム」、Journal of Symbolic Computation 、2 (1): 3–43 、doi : 10.1016/S0747-7171(86)80010-4 、ISSN 0747-7171、MR 0839134 ピカール、エミール (1908 年) [初版 1896 年]、Traité d'analyse (フランス語)、vol. 3 (ドゥーズィエム 版)、ゴーティエ ヴィラール– インターネット アーカイブ 経由 ファン・デル・プット、マリウス。シンガー、マイケル F. (2003)、線形微分方程式のガロア理論 、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基礎]、vol. 328、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag 、ISBN 978-3-540-44228-8 MR 1960772 Vessiot, Ernest (1892)、「Sur l'intégration des équations différentielles linéaires」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 9 : 197–280 、doi : 10.24033/asens.372 、hdl : 2027/hvd.32044102925955 Vessiot, Ernest (1910)、「Méthodes d'intégration élémentaires」、Molk, Jules (編)、Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées (フランス語)、vol. 3、ゴーティエ ヴィラール & トイブナー、58 ～ 170ページ Teresa Crespo および Zbigniew Hajto (2011): Algebraic Groups and Differential Galois Theory 、AMS (GSM122)、ISBN 978-0-8218-5318-4。
外部リンク Kovacic, JJ (2005),ピカール・ヴェシオ理論、代数群および群スキーム (PDF) 