バンドルメトリック

微分幾何学では、計量テンソルの概念は、任意のベクトル束といくつかの主ファイバー束に拡張することができ、この計量はしばしば束計量またはファイバー計量と呼ばれます。

M が位相多様体でπ  : E → M がM上のベクトル束である場合、 E上の計量は、 Eとそれ自身とのファイバー積からファイバーRを持つ自明な束への束写像 k  : E × _M E → M  ×  Rであり、 k のM上の各ファイバーへの制限はベクトル空間の非退化双線型写像となる。^[1]大まかに言えば、k はMの各点の上のベクトル空間上の一種のドット積（必ずしも対称または正定値ではない）を与え、これらの積はM上で滑らかに変化する。

パラコンパクト基底空間を持つすべてのベクトルバンドルは、バンドルメトリックを備えることができます。^[1]ランクnのベクトルバンドルの場合、バンドルチャート から次のようになります。バンドルメトリックは、上のメトリックの内積の引き戻しとして取ることができます。たとえば、ユークリッド空間の正規直交チャートです。このようなメトリックの構造群は、直交群O ( n ) です。 ${\displaystyle \phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Mがリーマン多様体で、E がその接束T Mである場合、リーマン計量は束計量を生成し、逆もまた同様である。^[1]

バンドルπ : P → M がグループGを持つ主ファイバーバンドルであり、G がコンパクトリー群である場合、ファイバー上に、対応するコンパクトリー代数上の内積から取られたAd( G ) 不変の内積kが存在する。より正確には、垂直バンドルE = V P上に定義された計量テンソルkが存在し、k は左乗法に対して不変である。

${\displaystyle k(L_{g*}X,L_{g*}Y)=k(X,Y)}$

垂直ベクトルX、Y、Lの場合、 _gはファイバーに沿ったgの左乗算であり、 L _{g* は}プッシュフォワードです。つまり、Eは主バンドルの接線の垂直部分空間で構成されるベクトルバンドルです。

より一般的には、ハール測度μを持つコンパクト群と、Gのある点の接空間で定義された任意の内積 h(X,Y)がある場合、群全体を平均するだけで不変計量を定義できます。つまり、次のように定義します。

${\displaystyle k(X,Y)=\int _{G}h(L_{g*}X,L_{g*}Y)d\mu _{g}}$

平均として。

上記の概念は、 VがGの何らかの表現の下で共変変換するベクトル空間である関連バンドル に拡張できます。 ${\displaystyle P\times _{G}V}$

基底空間Mも計量空間であり、計量gを持ち、主バンドルが接続形式ω を備えている場合、π ^{* g+kω は}接バンドル E = T P全体で定義される計量です。^[2]

より正確には、π ^* g( X , Y ) =  g ( π _* X , π _* Y ) と書きます。ここで、π _{* は}射影πのプッシュフォワードであり、gは基底空間M上の計量テンソルです。式kω は、 ( kω )( X , Y ) =  k ( ω ( X ), ω ( Y ))と理解する必要があります。ここで、 kは各ファイバー上の計量テンソルです。ここで、XとY は接空間T Pの要素です。

揚力π ^* g は垂直部分空間T V上ではゼロになります( π _{* は}垂直ベクトル上ではゼロになるため)。一方、kω は水平部分空間 T H上ではゼロになります (水平部分空間は、接続 ω がゼロになる接空間 T Pの部分として定義されるため)。バンドルの全接空間は垂直部分空間と水平部分空間の直和であるため (つまり、T P = T V  ⊕ T H )、この計量はバンドル全体で明確に定義されます。

このバンドル計量は、いくつかの興味深い性質を備えているため、カルツァ＝クラインの理論の一般化された形式の基礎となっています。この計量から導かれるスカラー曲率は各ファイバー上で一定であり、^[2]これはファイバー計量kのAd( G ) 不変性から生じます。バンドル上のスカラー曲率は、3つの異なる部分に分解できます。

R _E = R _M ( g ) + L ( g , ω) + R _G ( k )

ここで、R _Eはバンドル全体のスカラー曲率（上記の計量π ^* g+kω から得られる）、R _M ( g ) は基本多様体M上のスカラー曲率（アインシュタイン–ヒルベルト作用のラグランジアン密度）、L ( g , ω) はヤン–ミルズ作用のラグランジアン密度、R _G ( k ) は各ファイバー上のスカラー曲率（ファイバー計量kから得られ、計量kの Ad( G ) 不変性により定数）です。引数は、R _M ( g ) が基本多様体上の計量gのみに依存し、 ω やk には依存しないこと、同様に、R _G ( k ) がkのみに依存し、gや ω には依存しないこと、などを示しています。